Cálculo Numérico. Aula 21 Integração Numérica. Prof. Rafael Mesquita /07/2014

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1 Cálculo Numérico Aula 21 Integração Numérica /07/2014 Prof. Rafael Mesquita

2 Integração Numérica Problemas resolvidos pelo cálculo de integral definida Determinação de áreas Determinação de volumes... Mas, mem sempre o cálculo de integrais pode ser feito analiticamente... Buscamos uma solução numérica Duas situações possíveis: Função a ser integrada é desconhecida Temos apenas uma tabela de pontos Função é conhecida, mas a determinação de sua integral não é trivial (ou é impossível)

3 Integração Numérica Fórmulas de Newton-Cotes Integra o polinômio interpolador que substitui a função Aproximação Intervalo de integração [;]é dividido em partes iguais = +, =1,2,, Podemos então construir a tabela ( ;( )) A partir da tabela a função é interpolada para calcular o valor aproximado de

4 Fórmulas de Newton-Cotes Ideia Geral Integrar o polinômio interpolador da função Intervalo [a;b] é dividido em partes iguais = +, =1, () interpola em [a;b] Calculamos a area... " $! = #! = = & +'! $ % % () = =

5 Fórmulas de Newton-Cotes ( ) = ( = [ ++()] * ( ) = - ( ) - =. $ 1.% => polinômio lagrange

6 Fórmulas de Newton-Cotes Assim, ( ) ( ) ( = [ ++()] * ( ). = - ( ) ++ ( ). = - ( ) ( ) + +. ( ) = [ - ( )]+ + ( )

7 Fórmulas de Newton-Cotes. ( ) = [ - ( )]+ + Definindo que 5 ( ) = - ( 7 ) = +,, =0,1,, e temos o método de Newton-Cotes generalizado: ( ) ( ) =.5 +7

8 Fórmulas de Newton-Cotes Para obter 5, faremos uma mudança de variável, onde = +8e teremos novos limites de integração: Para = 8=0 = 8=, pois z= (0 < Como 5 ( ) = - ( ) ( = * = ( ) $ 1.% (0 ( = 0 (0( > ( = 0( > (0( =?> ( = 0( =?> (0( =@> ( = 0( =@> (0( ) ( = 0( )

9 Fórmulas de Newton-Cotes 5 = ( ) (0 ( = 0 (0( > ( = 0( > (0( =?> ( = 0( =?> (0( =@> ( = 0( =@> (0( ) ( = 0( ) Como 8 = (0, temos que < (0 ( = 0 = (0 < = A De forma genérica, temos que (0( B = (0(C<) ( = 0( B 0 < = A0 0 0 = (00< 0 < = (0 0 < < 0 < = A 0

10 Fórmulas de Newton-Cotes Assim, aplicando a mudança de variável onde = +8e =8, teremos que 5 = ( ) 5 = A (0 ( = 0 (0( > ( = 0( > (0( =?> ( = 0( =?> (0( =@> ( = 0( =@> (0( ) ( = 0( ) A0 0 A0C 0C A00 00 A0 0 8

11 Fórmulas de Newton-Cotes De forma mais sintética, temos que: ( ) - =5 = 0 )?=.<! 0! G )(A) 8 A0 Com H = (8 ),

12 Método dos trapézios Calcula a área sob uma curva como uma série de trapézios Substitui, em cada subintervalo [ ; C ], a função por uma reta Calcula-se a área de cada trapézio e, em seguida, soma-se cada área

13 Método dos trapézios = =

14 Método dos trapézios Soma de cada subintervalo $! % J I =! +! % Usando o método de Newton-Cotes no intervalo % ; J temos que J $ + +! $?J >! = = % Como 5 =5 = <, obtemos que ( > = < + < +7 ( L = < + < +7 ( > ( N = < + < M +7 ( L M = < 0 + < +7 ( ) ( )?>

15 Método dos trapézios ( ) = O CO ( ) PQQR R SéURR RV UQWé8XRV Podemos reescrever o método dos trapézios como ( > ( Z +\+),onde E -> somatório das imagens nos pontos extremos P -> somatório das imagens nos pontos pares (sem extremos) I -> somatório das imagens nos pontos ímpares (sem extremos)

16 Método dos trapézios Exemplo Exemplo: Calcule, aproximadamente, o valor da %,^ %,% integral ]! usando o método dos trapézios, considerando 7 pontos dentro do intervalo [0,0;0,6]

17 Método dos trapézios Exemplo Poderíamos ainda...

18 Exercício Calcule, usando a regra do trapézio com 7 pontos, Resposta:

19 Exercício

20 Método de Simpson O método de Simpson se propõe a dar uma melhor precisão uma vez que são usadas partes de parábolas para aproximar a curva a ser integrada.

21 Método de Simpson Neste caso n tem que ser par, pois são somados dois subintervalos por vez.

22 Método de Simpson

23 Método de Simpson

24 Método de Simpson Outro caminho: Encontrar o polinômio e integrá-lo.

25 Método de Simpson

26 Método de Simpson

27 Exemplo 6.2

28 Exemplo 6.2 -Solução

29 Exercício Usando a regra de Simpson para 7 pontos, calcular: Solução

30 Exercício Solução

31 Dúvidas?

32 Referências Santos, J.D.; Silva, Z. C. Métodos Numéricos, Ed. Universitária UFPE. 3ª ed. Recife-PE, Cuminato, J.A. Cálculo Numérico. Notas de Aula ICMC/USP. Disponível em: Apostila%20-%20Cuminato.pdf