CONCEITO E APLICAÇÃO DE INTEGRAÇÃO NUMÉRICA PELOS MÉTODOS DE NEWTON-CÔTES: 1ª E 2ª REGRAS DE SIMPSON

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1 CONCEITO E APLICAÇÃO DE INTEGRAÇÃO NUMÉRICA PELOS MÉTODOS DE NEWTON-CÔTES: 1ª E 2ª REGRAS DE SIMPSON Júlio Paulo Cabral dos Reis¹ Dimas Felipe Miranda² ¹PUC-MG/DME, julio.cabral.reis@hotmail.com ²PUC-MG/DME, dimasfm48@yahoo.com.br Resumo O minicurso propõe um estudo sobre Integração Numérica, estudo que será retomado a partir, da necessidade da utilização do processo de Integração Numérica, da dedução de métodos para se trabalhar este processo e com uma aplicação. Visa-se principalmente a construção conceitual de Integração Numérica, utilizando dois métodos de Newton- Cotês: 1ª Regra e 2ª Regra de Simpson. A metodologia adotada será a resolução de problemas, em uma sequência didática, a partir de uma discussão guiada, pretendendo construir a compreensão da necessidade do processo de Integração Numérica. Para tal utiliza-se recurso computacional e atividades empíricas. A fundamentação teórica para a elaboração do minicurso baseou-se nos estudos de Stewart (2013) e Barroso et al (1987) entre outros. Pretende-se que, ao final do minicurso, que seus participantes observem que o processo de Integração Numérica pelas regras de Simpson é um poderoso instrumento para abordar aplicações do Cálculo, em especial, aquelas aplicações que não permitem métodos analíticos. Palavras-Chave: Integração; Regras de Simpson; Integração Numérica; Introdução O processo de integração permite a resolução de variados problemas que envolvem fenômenos físicos. Stewart (2013) cita alguns exemplos de problemas que podem ser resolvidos utilizando o processo de integração, problemas relativos a volumes, comprimentos de curvas, predições populacionais, saída de sangue do coração, força sobre um dique, trabalho, excedente de consumo e beisebol, entre muitos outros. (p.325). Tal processo pode-se dar de forma analítica, isto é, a partir de manipulações algébricas e técnicas é possível obter a primitiva procurada. Porém Stewart (2013) enfatiza Algumas vezes, no entanto, é difícil, ou mesmo impossível, encontrar uma primitiva. (p.458). Isto ocorre em pelo menos dois casos: o primeiro onde as técnicas e as manipulações algébricas não oferecem suporte para o tratamento analítico da função integranda para se calcular a sua primitiva e o segundo é quando a função primitiva

2 procurada advém de um experimento científico por meio de leituras de instrumentos ou dados coletados. Pode não haver uma fórmula para a função. (p. 458), assim os métodos analíticos para obtenção de uma primitiva dão lugar aos métodos numéricos para a obtenção de um valor para a primitiva por meio de uma aproximação. Para chegar a esta aproximação, segundo Barroso et al (1987) pode-se utilizar os métodos de Newton-Côtes, estes são, a Regra dos Trapézios, a 1ª Regra de Simpson e a 2ª Regra de Simpson, cada qual com a sua precisão para a aproximação requerida. Para o minicurso em questão trabalharemos com a 1ª e a 2ª Regra de Simpson, que são obtidos pela integração do polinômio interpolador de Gregory-Newton sob certas condições. Para abordar estes métodos segundo Barbosa (2009) defende a utilização das TIC s para o ensino e a aprendizagem de Cálculo, como um poderoso instrumento que facilita assimilações. Uma das contribuições, oferecidas por estes recursos, é a visualização, para Barbosa (2009) a visualização, realçada pelas TIC s, constitui um elemento fundamental para a produção do conhecimento matemático, não apenas associada às representações numéricas e algébricas, mas também às gráficas (p.62). Assim, utilizaremos o software Graph 1, o qual é gratuito e está disponível na internet, para trabalhar a construção do conceito das regras de Simpson, juntamente com o material multimídia. Com o auxílio das TIC s e da resolução de problemas, apontada por Diniz e Smole (2001) e Stewart (2013) como uma metodologia para o ensino e aprendizagem de Matemática e Cálculo respectivamente, pois segundo estes autores, é possível potencializar o ensino e a aprendizagem por meio da resolução de problemas, o minicurso procura explorar o processo de Integração Numérica pelos métodos de Newton-Côtes: 1ª e 2ª Regras de Simpson com a resolução de problemas sob forma de atividades guiadas. Objetivo Geral Explorar o processo de Integração Numérica pela 1ª e 2ª Regras de Simpson. Objetivos específicos a) Compreender a necessidade da Integração Numérica. 1 Disponível in:

3 b) Construir o conceito dos métodos de Newton-Côtes: 1ª e 2ª Regra de Simpson utilizando TIC s. c) Aplicar o método de Integração Numérica no cálculo de área. Metodologia A metodologia adotada será a resolução de problemas com o auxílio de atividades guiadas. Segundo Diniz e Smole (2001) a resolução de problemas pode ser vista como uma perspectiva metodológica, pois solucionar problemas permite analisar, investigar e ampliar conceitos. Assim, a Resolução de Problemas contribui para um modo de organizar o ensino. O minicurso foi idealizado para professore e graduandos que se interessem pelo tema, visto ser um tema, do Ensino Superior. O minicurso será dividido em atividades que perpassam por três etapas. As duas primeiras etapas serão exploradas no primeiro dia de minicurso e a terceira etapa no segundo dia de minicurso. A primeira etapa é uma reflexão sobre a necessidade de recorrer aos métodos numéricos e uma análise do conceito de Integração Numérica. Nesta etapa refletiremos a obtenção de formas analíticas para a primitiva de funções, baseados no teorema: Se f(x) é contínua em [a, b] então é integrável em [a, b]. Os participantes do minicurso receberão a primeira atividade, esta primeira atividade trará três integrais. Será solicitada, a resolução as mesmas por qualquer processo analítico que os participantes conheçam. E utilizaremos o software Graph para verificar a continuidade de cada uma das funções que estão sendo integradas. As integrais são:,, e As três funções, apresentadas como integrandos, são contínuas no intervalo de integração trabalhado. Então pelo teorema tem-se a garantia de solução para as mesmas. Porém, a terceira integral, não há método analítico que a resolva, isto é, mesmo o teorema garantindo que há solução a obtenção da mesma por métodos analíticos ainda não existe. Mas, por processos numéricos, há possibilidade de resolução. A resolução se dará de forma aproximada por métodos a serem abordados na segunda etapa.

4 A segunda etapa abordará uma exploração conceitual dos métodos de Newton- Côtes: 1ª e 2ª regras de Simpson. Pretende-se mostrar a obtenção de Integração Numérica por tais métodos. Durante este processo pretende-se recorrer à utilização das TIC s para uma exploração dialogada. O foco desta etapa é analisar que o método numérico oferece uma aproximação, o que será realizado com a interpretação geométrica auxiliada pelo software Graph. Partindo do polinômio interpolador de Gregory-Newton, aproximaremos a integral de uma função qualquer, a priori a partir de três (1 regra de simpson) e posteriori quatro pontos (2 regra de simpson), o que será realizado de modo geométrico com a utilização do Graph e com anotações realizadas no quadro. Construindo assim as conceituações do processo de Integração Numérica pelos métodos de Newton-Cotês.. A exemplo: Figura 1: Início da construção conceitual da 1ª Regra de Simpson usando o Graph Fonte do Autor Figura 2: Término da construção conceitual da 1ª Regra de Simpson usando o Graph Fonte do Autor

5 A terceira etapa trata-se de uma atividade que será realizada em grupos de 6 alunos. Cada grupo receberá o seguinte problema: A Região D da figura corresponde a um espaço onde deve ser plantado gramínea. Sabendo que a escala utilizando é de 1:1000 DETERMINE quantos m² de gramínea serão necessários. Figura 3: Região D Fonte do Autor Cada grupo receberá materiais como régua, cola, lápis, borracha, papel A4 colorido, calculadora cintifíca e papel A4 branco para cálculos. Será pedido que para encontrar a área da figura utilizem a 1ª e a 2ª Regra de Simpson com h = 3cm. Após os grupos chegarem a uma conclusão da resposta, deverão recortar da folha colorida um retângulo de mesma área da Região D. Será pedido que ladrilhem, recortando o retângulo em questão, a Região D e verifiquem a aproximação fornecida pelo método. Por fim será feita uma reflexão sobre a atividade e sobre as questões didáticaspedagógicas relativa a este conteúdo que pôde ser explorada com a realização do minicurso. Referências BARBOSA, S. M. Tecnologias da informação e comunicação, função composta e regra da cadeia f. Tese (Doutorado) - Universidade Estadual Paulista, São Paulo. BARROSO, Leônidas C. et al. Cálculo Numérico (com aplicações). Habra. 2ª ed. São Paulo. SP DINIZ, Maria Ignez; SMOLE, Kátia Stocco. Ler, escrever e resolver problemas. São Paulo: Artmed

6 STEWART, James. Cálculo. Ed. Ceangage Learning. 7ª ed. Vol.1. São Paulo