INTEGRAÇÃO NUMÉRICA: ABORDAGEM MATEMÁTICA E COMPUTACIONAL

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1 INTEGRAÇÃO NUMÉRICA: ABORDAGEM MATEMÁTICA E COMPUTACIONAL Hérica de Jesus Souza 1 Universidade Estadual de Santa Cruz hericajsouza@hotmail.com Elisângela Silva Farias 2 Universidade Estadual de Santa Cruz fariaselis@yahoo.com.br Resumo: Alguns grupos de pesquisa de universidades brasileiras, como o Grupo de Pesquisa em Ensino e Aprendizagem da Matemática em Ambiente Computacional (GPEMAC) da Universidade Estadual de Santa Cruz (UESC), por exemplo, vêm desenvolvendo projetos referentes à análise e utilização de softwares educacionais no ensino e na aprendizagem da matemática. Nesse contexto, o presente trabalho tem por objetivo mostrar a importância da utilização do software livre Scilab (ambiente computacional destinado à resolução de problemas que requerem análise numérica), no ensino e aprendizagem do cálculo numérico, especificamente na resolução de integrais. Para desenvolver esse trabalho, fundamentamo-nos na Teoria da Transposição Didática proposta por Chevallard e na Teoria da Transposição Informática de Balacheff e utilizamos como alternativa metodológica uma seqüência didática, que envolve alguns conceitos de integração numérica. Mostraremos como implementar, desenvolver e analisar os métodos numéricos na resolução de problemas referentes a integração numérica. Nesse âmbito, acreditamos que o uso de softwares, como Scilab, pode permitir a criação de novas possibilidades de aprendizagem de objetos matemáticos, favorecendo a interação mais ativa do aluno com o conhecimento. Palavras-chave: Educação matemática; Seqüência didática; Scilab. Introdução Várias universidades brasileiras como, por exemplo, a Universidade Estadual de Santa Cruz (UESC), Universidade Estadual Paulista (UNESP), Universidade Federal da Paraíba (UFPB), entre outras vêm desenvolvendo projetos de pesquisas referentes à Educação Matemática, especificamente à informática no ensino da matemática. Estes projetos têm sido cada vez mais freqüentes e têm como objetivo contribuir com a implantação da informática no ensino/aprendizagem da matemática nas escolas e nas universidades públicas. 1 Discente do curso de licenciatura em Matemática UESC 2 Professor de Matemática UESC Anais do 1

2 Nesse contexto, o presente trabalho, também tem o intuito de fortalecer as pesquisas sobre o uso de softwares educacionais no processo de ensino e aprendizagem da matemática, em particular, o Scilab. Sendo assim, mostraremos como desenvolver o estudo de integração numérica por meio do ambiente computacional Scilab, utilizando como suporte teórico as seguintes teorias: Transposição Didática, proposta por Chevallard e Transposição Informática, desenvolvida por Balacheff. A metodologia a ser adotada consiste na elaboração de uma seqüência didática que envolve os principais conceitos da integração numérica. Mostraremos como implementar, desenvolver e analisar os métodos numéricos que permitam a resolução de problemas referentes a integração numérica. Desenvolvimento Autores como Valente (1993), Moran (2000), Almeida (2005), Silva (2006), Henriques (2001), por exemplo, enfatizam as potencialidades da utilização das Tecnologias de Informação e Comunicação (TIC) em particular os ambientes computacionais de aprendizagem (softwares educacionais), que vêm sendo desenvolvidos/utilizados visando melhorar o processo de ensino e aprendizagem. Nesse sentido, temos desenvolvido dentro do Grupo de Pesquisa em Ensino Aprendizagem de Matemática em Ambiente Computacional (GPEMAC), da Universidade Estadual de Santa Cruz (UESC), algumas pesquisas que contribuam para o desenvolvimento conceitual de conteúdos matemáticos e temos utilizado ambientes computacionais para o ensino/aprendizagem da matemática no ensino superior, no ensino médio e no ensino fundamental. O estudo do Software Scilab em nossa instituição faz parte de um projeto maior do GPEMAC o Projeto Estudo das Relações em Sala de Aula com a Presença de Ambientes Computacionais de Aprendizagem (PERSAC), que visa à análise e a utilização de softwares educacionais livres. O grupo também tem como objetivo incentivar os alunos da graduação em matemática, principalmente os da licenciatura, a utilizarem essas ferramentas tecnológicas tanto na sua formação acadêmica quanto na sua atuação profissional. Ressalto, são duas idéias relevantes, primeiro, que o graduando aprenda os Anais do 2

3 conteúdos (entender os conceitos) ensinados na universidade com o auxílio de um ambiente computacional; e segundo, que ele possa utilizar ferramentas, como o Scilab, por exemplo, na sua atuação profissional, ou seja, no ensino da matemática nas escolas de nível fundamental e médio e nas instituições de ensino superior. O software Scilab é um ambiente computacional desenvolvido para a resolução de problemas que requerem análise numérica. Ele nos permite a implementação e resolução de situações-problema, auxiliando o ensino/aprendizagem de conceitos matemáticos envolvidos. Ele apresenta uma interface simples e pode auxiliar no estudo de disciplinas como: álgebra linear; cálculo numérico; métodos computacionais; entre outras. É também uma excelente ferramenta de suporte para linhas de pesquisa onde o uso de computadores na resolução numérica de problemas é intensivo. Com o auxílio do Scilab, estudaremos os métodos numéricos que nos permite calcular a integral definida de Riemann, a utilização desses métodos (numéricos) no estudo desse objeto matemático (integral de Riemann), chama-se integração numérica. O conceito de integral de Riemann foi estabelecido através dos trabalhos de Cauchy ( ), alicerçados em bases rigorosas, e por Riemann ( ). Tornou-se uma ferramenta poderosa na resolução de vários problemas, como por exemplo, o cálculo de áreas e volumes de figuras geométricas, sendo estes problemas freqüentes na matemática tanto pura quanto aplicada. Nota-se que a sua utilização é constante dentro da matemática e áreas afins. Mas, por que calcular a integral definida de Riemann por meio da integração numérica e não pelas técnicas do cálculo diferencial e integral? Um dos motivos é por que geralmente no cálculo de integrais não se conhece a expressão analítica da função que estamos integrando, somente os seus valores, com isso, as técnicas do cálculo diferencial e integral não podem ser utilizadas. Surgindo assim, a necessidade de buscar métodos aplicáveis a esse tipo de problema, como a integração numérica, por exemplo. Devido a sua grande importância na resolução de problemas tanto da matemática pura quanto aplicada é que propomos o seu estudo. Nesse contexto, espera-se com este mini-curso (destinado a alunos do curso de graduação em Matemática) que os participantes consigam construir um conceito em relação à integração numérica, com o auxílio do Scilab, além de poder mostrar a importância da utilização desse software no estudo de Anais do 3

4 objetos matemáticos, como a integral de Riemann, por exemplo. Fundamentação teórica Esse trabalho se baseia em aspectos da Transposição Didática e da Transposição Informática. A Transposição Didática é o conjunto de transformações que sofre um saber sábio (HENRIQUES, 2001, p.29), ou seja, consiste em adequar um conhecimento (é necessário que esse conhecimento seja reconhecido pela comunidade científica) de uma instituição (unidade de ensino) para outra. Sabe-se que para um determinado conhecimento acadêmico possa ser transmitido à escola ele precisa ser transformado de maneira a ser compreendido pelos estudantes dessa instituição, esse fato exemplifica a Transposição Didática. Já a Transposição Informática ocorre em meios computacionais, pode ocorrer tanto do ambiente papel/lápis para o computacional quanto do computacional para o papel/lápis. Com o intuito de estudar a integração numérica com o auxílio do software Scilab, torna-se imprescindível o estudo dessas teorias que têm servido de alicerce para muitos trabalhos e projetos na área da informática no ensino da matemática. Percebe-se que um conteúdo, em particular matemático, ao ser ensinado por meio de um ambiente computacional de aprendizagem, precisa passar por várias transformações, ou seja, necessita sofrer adaptações que tornem possível o seu ensino e sua aprendizagem por meio do software. Metodologia Os problemas matemáticos que serão abordados visam conduzir o aluno a uma participação ativa (agir, falar, refletir, questionar, etc.), o professor intervém por meio de indagações pertinentes aos conhecimentos que ele pretende que seus alunos alcancem. Tendo em vista, que os alunos consigam formar um conceito em relação à integração numérica (que é o nosso objeto de estudo) por meio do software Scilab, propomos desenvolver uma seqüência didática. Segundo Henriques, para desenvolver uma seqüência didática é necessário fazer um estudo preliminar, sendo este realizado pelo professor-pesquisador. Nesse estudo Anais do 4

5 preliminar são feitas duas análises referentes às atividades que compõem a seqüência didática, são elas: a análise matemática e a análise didática. As resoluções possíveis, a maneira de controlar e os resultados esperados de cada questão são quesitos da análise matemática. Enquanto que, a análise didática, preocupa-se com os pré-requisitos da atividade; com a competência que o aluno precisa desenvolver para realizar a atividade e com os elementos matemáticos que possibilitam ao pesquisador analisar as situações que emergem em sala de aula no momento da aplicação da seqüência didática. A citação abaixo mostra como se define uma seqüência didática. Uma seqüência didática é um esquema experimental de situações problemas desenvolvidos por sessões de ensino a partir de um estudo preliminar, caracterizando os objetivos específicos de cada problema, a análise matemática e a análise didática relativa às atividades propostas. A análise matemática destaca as resoluções possíveis, a forma de controle e os resultados esperados, enquanto que a análise didática se preocupa com as variáveis didáticas de situações, pré-requisitos e com a competência (HENRIQUES, 2001, p.61) No presente trabalho, desenvolveremos uma seqüência didática contendo duas sessões de ensino, cada sessão contendo no máximo cinco atividades. Antes de iniciarmos as atividades propriamente ditas, faz-se necessário a apresentação do software livre Scilab, destacando quais são as suas ferramentas e as funcionalidades de cada uma delas. Na primeira sessão da seqüência didática abordaremos inicialmente a definição de integração numérica, entender a definição é o pré-requisito básico para a compreensão desse objeto, depois veremos como resolver exemplos (simples) de integral de Riemann, onde conhecemos a expressão analítica da função que estamos integrando, utilizando técnicas do cálculo diferencial e integral, e em paralelo como resolvê-los por meio de métodos numéricos (utilizando o software em questão), como a regra Trapezoidal e a regra de Simpson, por exemplo. É necessário traçar esse paralelo para observamos quais são os procedimentos utilizados em ambos e quais são as vantagens e desvantagens de usar os métodos numéricos e o Scilab na resolução dessas atividades. Na segunda sessão da seqüência didática daremos ênfase à resolução de problemas (por meio da integral definida de Riemann) que envolvem cálculo de áreas e volumes. Anais do 5

6 Nestes exercícios não se conhece a expressão analítica da função, somente os seus valores, com isso, torna-se imprescindível recorrer aos métodos numéricos. Mostraremos como resolver as atividades propostas tanto no ambiente papel e lápis quanto no ambiente computacional, destacando as potencialidades e entraves do software na resolução desses problemas. Sendo assim, para a realização desse trabalho é necessário basicamente um laboratório de informática, que disponha de uma lousa e de um data show, e que tenha no mínimo de dez computadores em funcionamento. Além disso, como iremos trabalhar no ambiente computacional e no ambiente papel/lápis, é necessário que os participantes tenham folhas de ofício para fazer as respectivas anotações. Conclusão O uso de novas tecnologias no ensino e na aprendizagem da matemática é muito importante, pois pode permitir a criação de novas possibilidades de aprendizagem de objetos matemáticos, favorecendo a interação mais ativa do aluno com o conhecimento. O software educacional não tem como objetivo ocupar o lugar do ambiente papel/lápis mais de ser um ajudador, um facilitador no processo de ensino e aprendizagem da Matemática, que é vista pela maioria dos alunos e da sociedade em geral como um bicho de sete cabeças ; como uma disciplina que só os gênios são capazes de compreender; co mo uma disciplina que exalta a poucos e a muitos exclui. Nota-se que a Educação Matemática está tomando novos rumos, e estes novos rumos pode levar a Matemática a ser vista com bons olhos pelos alunos e consequentemente pela sociedade brasileira. Referências HENRIQUES, A. Dinâmica dos Elementos da Geometria Plana em Ambiente Computacional Cabri Géomètre II. Ilhéus: Editus, Cap. 2, p Dinâmica dos Elementos da Geometria Plana em Ambiente Computacional Cabri Géomètre II. Ilhéus: Editus, Cap. 4, p Anais do 6

7 PIRES, P. S. M. Introdução ao Scilab Versão 3.0. Natal, p. Disponível em < SPERANDIO, D.; MENDES, J. T.; MONKEY E SILVA, L. H. Integração Numérica. In:. Cálculo Numérico: Características Matemáticas e Computacionais dos Métodos Numéricos. São Paulo: Pearson Prentice Hall, Cap. 6, p Anais do 7