O ENSINO DE CÔNICAS ATRAVÉS DE UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA UTILIZANDO O SOFTWARE GEOGEBRA

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1 O ENSINO DE CÔNICAS ATRAVÉS DE UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA UTILIZANDO O SOFTWARE GEOGEBRA Nayane Carvalho Freitas Universidade Estadual de Santa Cruz nayanematematica@hotmail.com Jésu Alves Marques Filho Universidade Estadual de Santa Cruz jesufilho@gmail.com Ma. Rosane Leite Funato Universidade Estadual de Santa Cruz rlfunato@uesc.br Resumo: Este mini-curso tem como objetivo contribuir no processo de ensino e aprendizagem das seções cônicas, aprofundando e ampliando os conhecimentos teóricos adquiridos por meio da utilização do software GeoGebra. Para que isso seja possível, será aplicada neste mini-curso partes de uma sequência didática, previamente construída durante uma pesquisa de iniciação científica, cujo objetivo foi realizar um estudo sobre as seções cônicas utilizando o software livre GeoGebra. Apoiando-se na Teoria da Instrumentação proposta por Rabardel (1995) durante a pesquisa foi realizado um estudo do software supracitado, a fim de destacar suas potencialidades e entraves que podem intervir no tratamento de problemas geométricos em torno das cônicas. Palavras-chave: Cônica; GeoGebra; Sequência Didática. INTRODUÇÃO Este minicurso visa o estudo e a exploração das seções cônicas com o auxílio do software GeoGebra para alunos do curso de matemática ou interessados da área que já cursaram a disciplina Geometria Analítica. Para isso, será proposta a realização de questões da sequência didática construída durante uma pesquisa de iniciação cientifica, vinculada ao Grupo de Pesquisa em Ensino e Aprendizagem da Matemática em Ambiente Computacional GPEMAC da UESC, como alternativa metodológica para o ensino das seções cônicas em ambiente computacional, para as instituições de ensino superior, sendo destacadas, durante a elaboração da mesma, as potencialidades e os entraves do software GeoGebra. Para fundamentar essa sequência didática, foram realizados estudos dos seguintes referenciais teóricos: a Engenharia Didática e a Teoria da Instrumentação. Anais do 1

2 A Engenharia Didática como metodologia abrange quatro etapas as quais permitem a concepção de sequência de ensino, são elas: Análise Preliminar, Concepção e Análise a priori, Experimentação, Análise a posteriori e Validação. Na análise preliminar é feito um levantamento sobre tudo o que envolve o objeto matemático em estudo; a Concepção e Análise a Priori consistem na elaboração de sequências didáticas que serão aplicadas na fase experimental, tomando como base a análise preliminar e o referencial teórico; na experimentação se aplica a sequência didática; na Análise a Posteriori é efetuada a compreensão e a interpretação dos resultados obtidos na fase experimental e na Validação é realizada a confrontação entre os dados obtidos na Análise a Priori e na Análise a Posteriori, verificando se as hipóteses feitas no início da pesquisa foram confirmadas. Tendo sido realizadas as Análises Preliminares e a Priori, durante a pesquisa de Iniciação Científica, este mini curso visa apresentar parte da sequência didática construída na análise a priori, permitindo que os participantes realizem algumas questões de cada sessão. A Teoria da Instrumentação, segundo Henriques, Attie e Farias (7, p.53), refere-se à aprendizagem da utilização de ferramentas tecnológicas, onde seu ponto de partida é a idéia de que uma ferramenta não é, automaticamente um instrumento eficaz e prático. Nesse contexto, faz-se necessário distinguir duas palavras bastante empregadas nessa teoria: ferramenta (artefato) e instrumento. A ferramenta é todo objeto material utilizado como meio de ação. Porém para que o sujeito possa utilizar essa ferramenta é necessário que ele aprenda como ela funciona. Esse processo permite que o sujeito elabore idéias e procedimentos de utilização da ferramenta fazendo com que a mesma evolua para a condição de instrumento. Como exemplo dessa teoria pode-se citar os computadores e/ou os softwares, os mesmos serão objetos sem significado ao menos que, aprendendo a sua utilização possamos aplicar determinadas funções específicas que ajudará no desenvolvimento de determinada atividade como, por exemplo, a construção de seções cônicas com o auxílio do software GeoGebra tornando-o assim um instrumento útil. O processo de aprendizagem no qual um artefato torna-se progressivamente um instrumento é chamado de gêneses instrumental. Neste processo o sujeito deve desenvolver competências para identificar problemas dos quais um dado instrumento é adaptado e, em seguida executá-los por meio desse instrumento, afirma Henriques, Attie e Farias (7, p.53) citando Drijvers. Anais do

3 Para evidenciar a diversidade de interações que intervêm nas atividades instrumentais torna-se importante uma análise do modelo SAI (Situações de Atividades Instrumentais) (Figura 1). Nesse modelo além da interação usual sujeito-objeto {S-O}, outras interações são consideradas, tais como as interações entre o sujeito e o instrumento {S-i}, o instrumento e o objeto {i-o} e o sujeito e objeto, pela mediação do instrumento {S(i)-O}. Sendo todas elas inseridas num ambiente de aprendizagem construído pelos três elementos: sujeito, objeto e instrumento. (Figura 1) Assim, como este minicurso visa o estudo e a exploração das seções cônicas com o auxílio do software GeoGebra, logo, pretende-se uma interação entre o sujeito e o objeto, pela mediação do instrumento {S(i)-O}, sendo o sujeito os participantes do minicurso, o objeto as seções cônicas e o instrumento o GeoGebra. Porém, para que essa interação seja possível é necessário considerar duas dimensões do processo de gêneses instrumental, a instrumentação que consiste na interação entre o sujeito e o instrumento {S-i} e a instrumentalização que consiste na interação entre o instrumento e objeto {i-o}. São essas duas dimensões do processo de gêneses instrumental que descrevem a forma como o sujeito lida com o objeto através do instrumento, isso porque, a instrumentação permite ao sujeito construir tarefas e maneiras de resolver essas tarefas visando o uso do instrumento e a instrumentalização permite verificar se um instrumento é adequado ou não para estudar o objeto. Dessa forma, para a elaboração da sequência didática a instrumentação permitiu explorar as ferramentas do GeoGebra a fim de propor problemas que permitissem a utilização desse software e a instrumentalização permitiu verificar se o GeoGebra é ou não um instrumento adequado para estudar as cônicas e quais potencialidades e entraves permitem estudar o respectivo objeto. A partir da realização desses dois processos é que foi possível propor o estudo e a exploração das seções cônicas com o auxílio do GeoGebra. Anais do 3

4 A SEQUÊNCIA DIDÁTICA Para Henriques: Uma seqüência didática é um esquema experimental de situações problemas desenvolvido por sessões de ensino a partir de um estudo preliminar, caracterizado por objetivos específicos de cada problema, análise matemática e análise didática relativas às atividades. A análise matemática destaca as resoluções possíveis, a forma de controle e os resultados esperados, enquanto a análise didática se preocupa com as variáveis didáticas, pré-requisitos e competência (Henriques, 1, p.61). A elaboração da seqüência didática foi realizada com o auxílio do GeoGebra e a escolha pelo respectivo software ocorreu devido as potencialidades das ferramentas que permitem a exploração das seções cônicas e principalmente pela possibilidade de interação das representações geométricas e analíticas disponibilizadas pelo software. Criado pelo professor Dr. Markus Hohenwarter na Flórida Atlantic University, em 1, o GeoGebra é um software livre de matemática dinâmica que reúne geometria, álgebra e cálculo e esta disponível, em português, no endereço eletrônico Uma das suas potencialidades é que nele há duas janelas de visualização: a janela algébrica e a geométrica e cada objeto visualizado na janela geométrica tem sua representação algébrica mostrado na janela algébrica. A seqüência didática desenvolvida foi dividida em cinco sessões. Na sessão I foi estudada a parábola, na sessão II a elipse, na sessão III a hipérbole, na sessão IV as cônicas não degeneradas e na sessão V as cônicas degeneradas. A seguir será apresenta uma questão da sessão IV a fim de exemplificar o estudo que será desenvolvido durante o minicurso. Sessão IV Objetivo da sessão: Proporcionar aos alunos a visualização das transformações sofridas pelas Cônicas não-degeneradas quando se realiza uma rotação e translação de eixos, permitindo dessa forma uma melhor análise do assunto abordado. Questão 1: Considerando a equação x² + 3xy + y² -1x -1y + 5 = pede-se: a) Identificar a Cônica; Anais do 4

5 b) Achar o centro (ou o vértice); c) Calcular a equação Canônica. Objetivos da questão: Fazer com que os alunos possam identificar uma Cônica a partir de sua equação geral, achar seu centro ou vértice, calcular sua equação canônica e utilizar das diversas ferramentas do software GeoGebra que permitem construir as Cônicas não degeneradas. Análise Matemática: a) Uma cônica pode ser identificada como uma elipse, uma hipérbole ou uma parábola, conforme o valor do discriminante B² 4AC. Assim, B ² 4AC 3² Portanto como o discriminante é maior que, a cônica é uma hipérbole. b) Segundo a ordem das transformações, como B ² 4AC 5 primeiramente será efetuada uma translação e em seguida a rotação. Assim, substituindo as fórmulas de translação na equação dada, temos: ( x )² 3( x )( y ) ( y )² 1( x ) 1( y ) 5 Fazendo o coeficiente de fazendo o coeficiente de sistema, obtêm-se: x' igual a zero, temos que x 3y 1. De modo análogo, igual a zero, resulta que x y 1. Daí, resolvendo o 3 x 3x 3y y 1 1 x y Portanto, o centro da hipérbole é O ' (,). Como na translação de O ' (,) para O (,) são eliminados os termos do 1º grau, resulta assim a equação x '² 3x' ² F', onde F x ² 3x y 1x y ² 1 5 F ' 15. ' y Anais do 5

6 Portanto, pela translação a equação dada se transforma numa equação do tipo: x '² 3x' ² 15. c) Na equação encontrada deve-se eliminar o termo x ', para isso, será aplicada uma rotação de eixos. Assim, como A C 45º. Pelas fórmulas de rotação, temos: x' 'cos 45º ' sen45º ' sen45º ' cos 45º ( x' ' ') ( x'' ' ) Substituindo as equações supracitadas na equação encontrada pela translação, temos: ( x '' ' ) 3 ( x' ' ') ( x' ' ') ( x' ' ') 15 x' '² 6 '² 1 3 (equação canônica da hipérbole). Resolução no GeoGebra: 1º Passo: Digite no campo de entrada a equação da cônica dada, em seguida tecle enter. Tendo identificado a cônica como uma hipérbole, tecle em comando e escolha a opção centro. Dentro dos colchetes digite a nomenclatura da hipérbole, em seguida tecle enter. º Passo: Digite no campo de entrada as coordenadas da origem, em seguida tecle enter. Na caixa de ferramentas clique no comando vetor definido por dois pontos. Em seguida, Anais do 6

7 defina o vetor com origem no centro da hipérbole (ponto A) e extremidade na origem (ponto B). 3º Passo: Na caixa de ferramentas clique no comando transladar por um vetor. Em seguida, clique na cônica e no vetor, uma vez que se deseja transladar a cônica a partir do vetor determinado. 4º Passo: Para uma melhor visualização, clique com o botão direito do mouse sobre primeira equação da hipérbole na janela algébrica (a hipérbole não transladada), em seguida escolha a opção exibir objeto. Dessa forma a figura representante da equação não aparecerá na janela geométrica, permitindo visualizar melhor a figura determinada a partir da translação. 5º Passo: Para rotacionar a cônica, na caixa de ferramentas escolha a opção girar em torno de um ponto por um ângulo. Clique na cônica, pois ela é o objeto o qual desejamos que Anais do 7

8 sofra a rotação, e no ponto de origem. Defina o ângulo encontrado e escolha o sentido horário, em seguida clique em aplicar. 6º Passo: Dessa forma, encontramos a equação canônica da hipérbole. Para a melhor visualização, clique com o botão direito do mouse sobre a equação da hipérbole transladada na janela algébrica, em seguida escolha a opção exibir objeto, faz-se do mesmo modo com o vetor determinado e o centro da hipérbole inicial. Dessa forma as figuras representantes desses elementos não aparecerão na janela geométrica, permitindo visualizar melhor a equação canônica da hipérbole. Resultados Esperados: A partir dessa e das demais atividades a serem realizadas durante o minicurso espera-se contribuir no processo de ensino e aprendizagem das seções cônicas, aprofundando e ampliando os conhecimentos teóricos adquiridos por meio da utilização da do ambiente computacional GeoGebra, o qual permite uma interação dinâmica dos diferentes registros de representações do objeto estudado, algo que não ocorre quando o aluno desenvolve a mesma atividade apenas com o uso do ambiente papel e lápis e não se faz presente tão claramente nos livros didáticos. Anais do 8

9 REFERÊNCIAS HENRIQUES, Afonso. Dinâmica dos elementos da Geometria Plana em Ambiente Computacional Cabri-Géomètre II. Ilhéus: Editus, 1. p. HENRIQUES, Afonso; ATTIÊ, João Paulo; FARIAS, Luis Márcio. Referenciais teóricos da didática francesa: uma análise didática visando o estudo de integrais múltiplas com auxílio do software Maple. Educação Matemática Pesquisa: Revista do Programa de Estudos Pós-Graduandos em Educação Matemática, v. 9, n. 1, p , 7. RABARDEL, P. (1995).Les hommes et les technologies: approche cognitive des instruments contemporains. Paris, Armand Colin Editeur. Anais do 9