CRIVO-GEOMÉTRICO: CONSERVAÇÃO ÚNICA DE PARTES DE SUPERFÍCIES REUNIDAS QUE FORMAM O CONTORNO DO SÓLIDO ENQUANTO OBJETO GEOMÉTRICO FECHADO

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1 CRIVO-GEOMÉTRICO: CONSERVAÇÃO ÚNICA DE PARTES DE SUPERFÍCIES REUNIDAS QUE FORMAM O CONTORNO DO SÓLIDO ENQUANTO OBJETO GEOMÉTRICO FECHADO Ma. Rosane Leite Funato Universidade Estadual de Santa Cruz - UESC rlfunato@uesc.br Afonso Henriques Universidade Estadual de Santa Cruz - UESC henry@uesc.br Resumo: Este trabalho tem como objetivo apresentar a técnica instrumental denominada Crivo-Geométrico, desenvolvida por Henriques (2006), aplicada no ensino de Integrais Múltiplas, em particular na modelização didática de problemas de cálculos de volumes com o auxílio do software Maple. A aplicação desta técnica mostrou-se eficiente diante das dificuldades para a obtenção de Representação Gráfica de qualquer sólido isolado delimitado por várias superfícies. Além disso, merece destacar a sua importância na conversão de registros e consolidação da coordenação entre os registros gráficos e analíticos das Integrais Múltiplas. Palavras-chave: Crivo-Geométrico; Integrais Múltiplas; Maple. INTRODUÇÃO O presente artigo tem como objetivo apresentar a técnica instrumental Crivo- Geométrico, cujo objetivo é a obtenção da Representação Gráfica(RG) de sólidos isolados descritos a partir da interseção de superfícies que o delimitam. Esta técnica contribui no processo de cálculos de Integrais Múltiplas(IM), além de servir como instrumento de controle nesse processo. Nos cursos de Cálculo Diferencial e Integral (CDI), uma das práticas institucionais preliminares ao cálculo das IM é o estudo das Integrais Simples (IS) e o estudo de Funções de Várias Variáveis (FVV). No primeiro estudo (IS), aparecem as primeiras técnicas de integração. Algumas dessas técnicas servem para calcular: áreas de superfícies planas e volumes de sólidos de revolução, por seções transversais e por anéis cilíndricos. No segundo estudo (FVV), quanto a ele, podemos citar práticas sobre: leitura de propriedades; 1

2 descrição do domínio de uma função; representação gráfica; continuidade de uma função; derivação parcial; etc. A princípio, essa prática é desenvolvida isoladamente, examinando uma única função em cada problema. A passagem para o ensino e aprendizagem de IM é acompanhada com analogias e com mudanças ou rupturas em relação ao lugar ocupado para as funções e suas representações gráficas. Nessa passagem, uma função não será mais examinada de uma forma isolada. Na maioria dos casos de resolução de problemas, uma função interagirá com outras funções para formar um domínio de integração, que é um sólido resultante de uma RG e/ou RA no espaço. Essas representações tomam outro aspeto no ensino de IM em relação aos estudos precedentes. Os alunos vão ser confrontados com novos tipos de exercícios e com novas técnicas de cálculos de integrais em conjunto com as RG no espaço. A princípio, essas representações são operacionalmente difíceis a realizar com as técnicas tradicionais de representação no ambiente papel/lápis. Podemos assim pensar que a utilização de um ambiente computacional como Maple pode ser uma alternativa. Contudo, essa utilização, necessita da construção de processos de instrumentação das ferramentas do software no tratamento dos exercícios propostos aos alunos. Daí foi pensando em como o aluno pode utilizar o Maple para obter o tipo de sólidos delimitados por superfícies presentes no ensino de IM que Henriques(2006) desenvolveu essa técnica instrumental, que se estabelece progressivamente na medida em que o indivíduo participa na construção do sólido, pois ele deve descrever o crivo. Isso mostra que o ambiente computacional não é neutro nesse processo. Participando nessa descrição o indivíduo vai conviver a relação existente entre a Representação Gráfica e a Representação Analítica do sólido na atividade de cálculo da integral. É importante notar que o processo de estabelecer uma integral constitui uma fase de modelização didática de problemas de cálculos de integrais. Contudo, essa modelização possível de um problema parece implícita no ensino de IM. Além disso, observamos que a RG ocupa um grande espaço nesse ensino, mas ela é do domínio do professor. Ela não é transformada em exercícios explícitos com praxeologias associadas. A obtenção de um sólido isolado é escondida do aluno, na medida em que faltam técnicas explícitas que permitem obter esse tipo de sólidos. O que parece é que o autor do livro didático espera que o aluno leia (ou que reproduza) os gráficos presentes no livro. Enquanto que nos 2

3 exercícios que lhe são propostos, este deve produzir, por si, esse tipo de gráficos e utilizálos na modelização do problema. Observamos que a articulação entre Representação Gráfica e Analítica não é trabalhada. Contudo, esta articulação exerce um papel importante na conceitualização bem como na modelização de IM, considerando os conhecimentos geométricos dos objetos em causa, as variáveis visuais dos gráficos e as simbólicas. O nosso interesse por esse assunto deve-se a nossa experiência como professores da UESC, bem como das discussões entre colegas e alunos, quando surgiu a constatação empírica de diversas dificuldades sobre o ensino e aprendizagem de Cálculo Diferencial e Integral (CDI), particularmente sensíveis nos cálculos de áreas e de volumes por IM. Tais dificuldades atingem os alunos, principalmente na resolução dos problemas e parece faltar meios de controle e de validação daquilo que eles fazem. Esse tipo de produção em que o aluno deve produzir uma representação gráfica do sólido isolado não é objeto de um ensino explícito e, é problemática. Como não é ensinada, nem são ditas as técnicas utilizadas para obtê-las, resolvemos apresentar como esta etapa pode ser desenvolvida com auxílio do software Maple, a partir da aplicação da técnica instrumental Crivo-Geométrico. Para ilustrar esta aplicação, consideraremos o seguinte exercício: calcular o volume do sólido delimitado pelo cilindro y=x 2 e pelos planos y+z=4 e z=0, que passamos a chamar de problema da calha vertical e os dois planos secantes, o qual analisamos como segue. RELAÇÕES POSSÍVEIS ENTRE A RG E O CÁLCULO DE IM: O CASO DA TÉCNICA CRIVO-GEOMÉTRICO Constatamos que o ambiente computacional Maple oferece possibilidade de estudar as interações possíveis de objetos matemáticos manipuláveis nos dois domínios (RG e IM) graças à estreita relação existente entre a geometria e a álgebra, bem como à utilização simples e lógica das sintaxes de comandos adequados e identificados a partir de uma análise previa das potencialidades e entraves do software Maple relativo ao cálculo de áreas e de volumes por Integrais Múltiplas. Inicialmente, procuramos traçar os gráficos das superfícies dadas pelas equações do enunciado do problema a calha vertical e os dois planos secantes. Privilegiamos a sintaxe relativa à RG de superfícies parametrizadas, evitando assim, os entraves funcional e implícito. O estudo dos entraves revelou dois tipos: um funcional ligado à existência e à forma do comando plot3d segundo a sintaxe: > 3

4 plot3d(f, x=a..b, y=c..d, <opções>); que não permite obter todo tipo de solução que um usuário é capaz de fornecer e, um entrave implícito ligado à existência e à forma do comando implicitplot3d pela sintaxe > implicitplot3d(expre, x=a..b, y=c..d, z=m..n, <opções>); que não permite obter todo tipo de sólido isolado. Por uma apresentação detalhada sobre esses entraves, sugerimos consultar a tese de Henriques (2006). As escritas lineares de expressões instrumentais no Maple retornam respectivamente às superfícies ou gráficos dados na tabela seguinte. > implicitplot3d(z=0,x=-2..2, y=0..5,z=0..4, color=red, scaling= constrained); > implicitplot3d(y=x^2,x=-2..2,y=0..4, z=0..4,color=blue,scaling=constrained); > implicitplot3d (z=4-y,x=-2..2, y=0..4, z=0..4, color=yellow, scaling=constrained); G. 1 G. 2 G. 3 A partir do comando display e da técnica de recuperação obtemos a representação das três superfícies reunidas (cf. G.4 abaixo), onde %, %% e %%% contém G.1, G.2 e G.3, respectivamente, visto que o comando display permite visualizar um conjunto de resultados, enquanto que a técnica de recuperação consiste em recuperar resultados que precedem a linha atual. Para isso, é suficiente utilizar o símbolo % que recupera o resultado da operação imediatamente anterior à linha corrente. Os símbolos %% e %%% permitem recuperar resultados de instruções dadas, respectivamente, na segunda e terceira linha que precedem à atual (não podemos ir além desses >display (%, %%, %%%) ; três). A princípio, a representação simultânea das três superfícies dá uma visualização convincente, na percepção de que o sólido é efetivamente delimitado pelas partes dos dois planos secantes e da calha vertical. Com efeito, calcular o seu volume é, portanto, um problema pertinente. Ora, se queremos obter o sólido isolado, enquanto objeto geométrico, surge a dificuldade de conservar unicamente as partes de superfícies que lhe formam. Quais são as técnicas necessárias para obter a visualização do sólido isolado? De nossas análises, constatamos que o Maple não traça sólidos, mas sim as superfícies que os 4

5 delimitam. Além disso, não existem no Maple sintaxes "prontas" que podem retornar uma RG desse tipo de sólidos, salvo o desenvolvimento de procedures específicos, o que foge ao nosso propósito, pois não se trata de uma pesquisa sobre programação. Mas então, como proceder para obter os sólidos isolados tal como aparecem repentinamente nos livros didáticos? Para visualizar o sólido isolado é necessário entrar, nas sintaxes de comandos do Maple, com os dados que permitem delimitar as partes das superfícies que formam o contorno do sólido da interseção. A determinação de tais dados é muito próxima do trabalho necessário na pesquisa dos limites da integração. Assim, o trabalho necessário para obter uma RG de um sólido isolado com Maple é uma ajuda importante na modelização de cálculos de Integrais Múltiplas, em particular, no cálculo de volume. Essa idéia permitiu-nos propor a técnica instrumental que chamamos de Crivo-Geométrico: Conservação única de partes de superfícies reunidas que formam o contorno do sólido enquanto objeto geométrico fechado. O objetivo explícito dessa técnica é obter uma RG de qualquer sólido isolado ou crivado descrito por várias superfícies. Além disso, ela tem uma importância particular na conversão de registros, e consolida a coordenação entre os registros gráfico, analítico e algébrico da integral. Com efeito, conduz o aluno a trabalhar com vários registros em um mesmo exercício. Esse fenômeno está de acordo com Duval (1995), quando ele sublinha que uma das condições essenciais para a apreensão conceitual dos objetos matemáticos é dispor, para um mesmo objeto, de várias representações semióticas. A descrição do Crivo-Geométrico, do problema em questão, conduz às seguintes escritas lineares de expressões instrumentais que resultam na visualização das subsuperfícies do contorno do sólido isolado ou crivado. > plot3d([s,t,0],s=-2..2,t=s^2..4, color=red) ; > plot3d([s,s^2,v],s=-2..2, v=0..4- s^2, color=blue) ; >plot3d([s,t,4-t],s=-2..2,t=s^2..4, color=yellow) ; G. 5 S S1 G. 6 G. 7 S S S3 S2 Utilizando o display e a técnica de recuperação obtemos a RG do sólido crivado. 5

6 > display(%, %%, %%%, labels[s,t,v], scaling= constrained) ; G. 8 Podemos observar que os intervalos -2 s 2 ; x 2 t 4 e 0 v 4-x 2 de variação das variáveis das superfícies parametrizadas implementadas no Maple, correspondem respectivamente com os limites -2 x 2 ; x 2 y 4 e 0 z 4-x 2 (mesmo que 0 z 4-y, pois y=x 2 ) do sólido Q (cf. G.8) compreendido entre os dois planos secantes, que representamos analiticamente por: Q={(x,y,z) ; -2 x 2, x 2 y 4, 0 z 4-y}. Essa RA é tradicionalmente menosprezada, ela aparece de forma implícita nas práticas institucionais realizadas pelos alunos sobre as IM. Ora, o trabalho necessário para obter uma RG do sólido isolado com Maple é fortemente ligado ao que é realizável na pesquisa dos limites de integração, necessários na transformação do volume de Q por uma integral dupla ou tripla. A coordenação das representações obtidas nas duas práticas utilizando o Maple oferece meios de controle e de validação dos cálculos. Essa representação corresponde-se exatamente com o domínio de integração, permitindo assim estabelecer uma integral dupla ou tripla que conduz ao cálculo de volume do sólido Q. No caso de uma integral dupla, com o auxílio do Maple temos E usando uma integral tripla, o cálculo do volume do sólido Q é dado por 6

7 A tabela abaixo reúne as representações possíveis nesse tipo de prática sobre as Integrais Múltiplas. Podemos ver claramente que o trabalho necessário para obter uma RG do sólido 7

8 crivado é ligado a uma RA colocada evidência na descrição do Crivo-Geométrico. O aluno tem um trabalho preliminar a fazer, não somente para obter o sólido crivado, mas também para obter uma RA adequada. Além disso, os dados que são introduzidos no Maple para obter o sólido permitem um controle gráfico e analítico do domínio de integração, como indicam as relações mostradas com as flechas. Assim, o Crivo-Geométrico cobre uma importância particular na conversão de registros e reforça a coordenação entre registro gráfico, analítico e da escrita algébrica da integral. CONCLUSÃO Apesar da RG estar presente no ensino, alimentando o nicho geométrico, ela não é operacional no estudo das integrais. Percebemos que a obtenção de um sólido isolado desempenha um papel importante na modelização dos exercícios do tipo emblemático e faz intervir os conhecimentos geométricos. Mas, existem dificuldades na interação entre os registros gráficos e analíticos. Além disso, falta um ensino que alimente essa interação, tanto com técnicas habituais papel/lápis quanto com técnicas instrumentais no Maple. Esse último está presente nas práticas dos alunos da instituição envolvida na pesquisa, mas exige processos de instrumentação adequados para que venha a ser um instrumento de ajuda no tratamento desse tipo de problema. Tal processo deve envolver conhecimentos matemáticos ensinados. Apesar das dificuldades encontradas, a apresentação dessa técnica instrumental constitui um primeiro esboço que pode servir, sobretudo, aos professores que têm cargo com os cursos de cálculos e de geometria e, que têm interesse de integrar as tecnologias educacionais ou Sistemas de Computação Algébrica (CAS) na Educação Matemática no ensino superior. O que abre, a nosso ver, futuras possibilidades de pesquisas neste domínio. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS DUVAL R. (1995). Sémiosis et pensée humaine, Bern : Peter Lang. HENRIQUES, A. (2006). L enseignement et l apprentissage des intégrales multiples : analyse didactique intégrant l usage du logiciel Maple. UJF-Grenoble, Lab. Leibniz. 8