CADERNO DE ORIENTAÇÕES

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1 CADERNO DE ORIENTAÇÕES UNIDADE DE APRENDIZAGEM DO MÉTODO DE EXAUSTÃO AO CÁLCULO DE ÁREAS E VOLUMES Sugestões de problematização da UA: - Que problemas motivaram o desenvolvimento do cálculo integral? Produção de material multimídia autoinstrutivo explicitando o desenvolvimento dos conceitos do cálculo integral para a resolução do problema apresentado. - Como se aplica a Integral no cálculo de áreas e volumes? Produção de material multimídia apresentando problemas e suas soluções através do cálculo integral.

2 1 PRIMEIRA SEMANA As áreas das figuras planas. CADERNO DE ORIENTAÇÕES COMPREENDENDO O CONCEITO DE CÁLCULO INTEGRAL Entendendo a unidade: No cálculo, a integral de uma função foi criada originalmente para determinar a área sob uma curva no plano cartesiano1 e também surge naturalmente em dezenas de problemas de Física, como por exemplo na determinação da posição em todos os instantes de um objeto, se for conhecida a sua velocidade instantânea em todos os instantes. O processo de se calcular a integral de uma função é chamado de integração. Diferentemente da noção associada de derivação, existem várias definições para a integração, todas elas visando a resolver alguns problemas conceituais relacionados a limites, continuidade e existência de certos processos utilizados na definição. Estas definições diferem porque existem funções que podem ser integradas segundo alguma definição, mas não podem segundo outra. Descobrindo soluções para o cálculo da área das figuras planas. Medindo áreas: A humanidade mede áreas há milhares de anos. A área de alguns quadriláteros, como o quadrado e o retângulo é facilmente medida, por isso é comum tais figuras serem usadas na divisão de terras. Calcular a área de triângulos, círculos ou polígonos regulares também é uma tarefa fácil, mas outras formas são um pouco mais difíceis. As cônicas (parábolas, elipses, hipérboles) por exemplo deram muita dor de cabeça aos gregos que não conseguiam medir sua áreas com precisão. Como resolver a questão destas áreas e de outras figuras, muitas irregulares? Um passo importante para a compreensão das cônicas foi dado por Descartes com a geometria analítica. Estamos mais próximos de calcular as áreas, mas ainda não é uma solução. A chave é dividir a área em formas conhecidas, que sabemos como medir e somar todos os pedaços. A idéia básica do conceito de integral já estava no método da exaustão atribuído a Eudoxo ( a.c.), desenvolvido e aperfeiçoado por Arquimedes ( a.c.). Podese obter a área de uma figura plana irregular ou obter o volume de um sólido. O método da exaustão consiste em "exaurir" a figura dada por meio de outras de áreas e volumes conhecidos. O caso mais conhecido é o famoso problema da quadratura do

3 2 círculo, isto é, o problema de obter um quadrado com a mesma área de um círculo de raio r dado. Uma primeira aproximação para a área do círculo é dada pela área do quadrado inscrito no círculo. Com o acréscimo de quatro triângulos isósceles convenientes, obtemos o octógono regular inscrito no círculo, cuja área fornece uma aproximação melhor à área do círculo Continuando com o processo de acrescentar novos triângulos, tomamos um polígono regular de 16 lados. Do ponto de vista geométrico, é possível observar que já se tem a impressão de termos exaurido o círculo, embora saibamos que existem algumas áreas que não foram cobertas. Continuamos a exaurir o círculo para obter aproximações cada vez melhores para a área do círculo, através de polígonos regulares inscritos de 2n lados. Usando um procedimento similar a este, com polígonos inscritos e circunscritos, Arquimedes calculou a área do círculo de raio unitário mostrando que a área A (=Pi) O Cálculo Diferencial e Integral foi criado por Isaac Newton ( ) e Wilhelm Leibniz ( ). O trabalho destes cientistas foi uma sistematização de idéias e métodos surgidos principalmente ao longo dos séculos XVI e XVII O que permitiu a passagem do método de exaustão para o conceito de integral foi a percepção que em certos casos, a área da região pode ser calculada sempre com o mesmo tipo de aproximação por retângulos. Atividade I Assista aos vídeos sobre Arquimedes Após produza: a) Referência bibliográfica/título dos vídeos: b) Resumo: c) Comentário d) Destaques: ATIVIDADE II: - Calcule o Valor Aproximado do Número Irracional π, Usando o Método da Exaustão de Arquimedes

4 3 No livro sobre a Medida do Círculo, Arquimedes prova primeiro que a área de um círculo é igual à de um triângulo retângulo tendo por base o comprimento do círculo e por altura o raio. Neste processo ele assume que existe um segmento de reta igual em comprimento à circunferência uma hipótese condenada por alguns críticos antigos, sob alegação de que não é evidente que uma linha reta possa ser igual a uma curva (Cajori 2007, p. 67). Sabe-se que Arquimedes usava um método em que inscrevia e circunscrevia polígonos regulares em uma mesma circunferência. É claro que o perímetro da circunferência era sempre maior que o do polígono inscrito e menor que o do polígono circunscrito. Com essa comparação, Arquimedes, aumentando exaustivamente o número de lados desses polígonos como se já trabalhasse com limites!, conseguiu uma boa aproximação para o número π. Desenvolvimento da Atividade 1. Tome dois polígonos regulares de n lados, um inscrito e outro circunscrito em uma mesma circunferência. Represente por l o lado do polígono regular inscrito, por L o lado do polígono regular circunscrito e por R o raio da circunferência. 2 Calcule o ângulo central α e, ao traçarmos sua bissetriz (que também é mediana e altura do triângulo isósceles formado), obtemos dois triângulos retângulos com um ângulo igual à metade de α. 2. Use relações trigonométricas e calcule o perímetro do polígono regular inscrito (Dica: use seno de alfa / 2) 3. Procedendo de modo análogo, usando agora o polígono regular circunscrito, calcule o perímetro. (Dica: use tangente de alfa / 2)

5 4 4. O perímetro da circunferência está compreendido entre o perímetro do polígono regular inscrito e o perímetro do polígono regular circunscrito. Assim é possível escrever: Perímetro Polígono Inscrito < Perímetro Circunferência < Perímetro Polígono Circunscrito 5. A partir desses passos tente imitar Arquimedes e calcule Pi pela dedução acima. Atividade III Imagine um roteiro para uma animação ou vídeo sobre o método da exaustão (sugestão : pode ser usada a atividade I). Discuta sua ideia com 2 colegas e produza em conjunto com eles uma proposta com o roteiro, descrevendo diálogos, figurino, animação ou vídeo.

6 5 A VARIAÇÃO ACUMULADA O objetivo é o de desenvolver estratégias para recuperar informações sobre uma quantidade expressa por uma função F(t), no caso de conhecer a sua taxa instantânea de variação df y dt f (t) Isso quer dizer: pretende-se obter informações sobre uma função F(t) a df. dt partir do conhecimento de sua taxa instantânea de variação y f (t) SEGUNDA SEMANA A variação acumulada df dt Iremos trabalhar a noção de variação acumulada a partir de uma taxa y f (t), em um intervalo [a, b], estimando valores para a variação total, neste mesmo intervalo. A proposta agora é a de discutir alguns exemplos. Ao refinar os procedimentos técnicos para medir a variação acumulada, introduz-se a ideia de partição em intervalos, bem como, aos poucos, a notação utilizada em matemática que lhe corresponde. Para recuperar informações sobre as variações acumuladas e também resolver de forma eficaz o problema das áreas das figuras irregulares desenvolveu-se o conceito de Integral. No cálculo, a integral de uma função foi criada originalmente para determinar a área sob uma curva no plano cartesiano e também surge naturalmente em dezenas de problemas de Física, como por exemplo na determinação da posição em todos os instantes de um objeto, se for conhecida a sua velocidade instantânea em todos os instantes. O processo de se calcular a integral de uma função é chamado de integração. Diferentemente da noção associada de derivação, existem várias definições para a integração, todas elas visando a resolver alguns problemas conceituais relacionados a limites, continuidade e existência de certos processos utilizados na definição. Estas definições diferem porque existem funções que podem ser integradas segundo alguma definição, mas não podem segundo outra. A integral indefinida também é conhecida como antiderivada. Saiba mais sobre a integral em: culus.htm Após faça a Atividade I: Faça um resumo do texto sobre integrais. CONCEITO DE INTEGRAL Integral Indefinida Vimos nas aulas anteriores como determinar a deriva f ( de uma função f(, juntamente ao conceito de derivada de uma função. Agora estudaremos o inverso, teremos uma função g( = f (, iremos obter a função primitiva f(. Por exemplo, tomamos a função g( = 2x, deveremos achar a função f( tal que f ( = 2x. Esse procedimento é chamado de integração. É claro que f( = x 2 é uma solução, mas

7 6 não é a única, pois f( = x 2 +5 ou f( = x 2 6. Portanto, a integral da função g( = 2x acaba sendo f( = x 2 + c, ou seja, x 2 mais uma constante. Lembrando da diferencial de uma função, podemos interpretar f como sendo a soma das quantidades infinitesimais da df. Fazer esta soma é o que chamamos de integrar, palavra que significa juntar, reunir, etc. À integral indefinida indicamos pelo símbolo g ( dx, que é uma primitiva qualquer de g( adicionada de uma constante arbitrária c. Assim: g( dx f ( c Regras de integração As regras de integração decorrem das regras de derivação, fazendo-se o caminho inverso: a) Função constante: 1 dx x c n 1 b) Função potência: n x x dx c n 1 Algumas propriedades a) [ f 1( f 2( ] dx f1( dx f 2( dx b) [ f 1( f 2( ] dx f1( dx f 2( dx c) c f ( dx c f ( dx Atividade I Encontre a integral indefinida das funções: a) f( = 7x 5/2 + 4 b) g(t) = t5 4 2 t 3 + 3t c) h(u) = u 3 (-2u + u -5 ) d) f( = x+1 x 5 e) h (v) = (- 2 + v -2 ) 2 f) g (s) = 1 s 4 g) x x 8x5 + 1 x 4 dx x2 h) ( x3 +2x 7 ) dx x

8 7 i) ( ex 2 + x Exemplo envolvendo a aplicação de integral indefinida: Sabendo-se que o custo marginal de uma empresa é expresso por C mg ( 0,08x 3 e que o custo fixo é de R$ 100,00, obtenha a função custo. Resolução C( C mg ( dx 1 1 0,08x C( 3x c ,08x C( 3x c 2 2 C( 0,04x 3x c Como o custo fixo é de R$ 100,00, C(0) é igual a 100, ou seja, a constante c vale 100. Portanto, a função custo é 2 C ( 0,04x 3x 100. Atividade Procure artigos sobre o tema que pretende usar na problematização. Leia o resumo deles e comece a decidir quais usará como referencial teórico.

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