Halliday & Resnick Fundamentos de Física

Transcrição

1 Halliday & Resnick Fundamentos de Física Eletromagnetismo Volume 3

2 O GEN Grupo Editorial Nacional reúne as editoras Guanabara Koogan, Santos, Roca, AC Farmacêutica, LTC, Forense, Método, EPU, Atlas e Forense Universitária O GEN-IO GEN Informação Online é o repositório de material suplementar dos livros dessas editoras

3 Capítulo 23 Lei de Gauss

4 23-1 Fluxo Elétrico

5 23-1 Fluxo Elétrico Fundamentos de Física Eletromagnetismo Vol. 3 Objetivos do Aprendizado Saber que a lei de Gauss relaciona o campo elétrico em pontos de uma superfície fechada (real ou imaginária, chamada superfície gaussiana) à carga total envolvida pela superfície Saber que o fluxo elétrico através de uma superfície é a quantidade de campo elétrico que atravessa a superfície Saber que o vetor área de uma superfície plana é perpendicular à superfície cujo módulo é igual à área da superfície Saber que qualquer superfície pode ser dividida em elementos de área suficientemente pequenos e planos para que possam ser associados a um vetor elemento de área, perpendicular ao elemento, cujo módulo é igual à área do elemento.

6 23-1 Fluxo Elétrico Calcular o fluxo do campo elétrico através de uma superfície integrando o produto escalar do vetor campo elétrico pelo vetor elemento de área No caso de uma superfície fechada, explicar os sinais algébricos associados a fluxos para dentro e para fora da superfície Calcular o fluxo total através de uma superfície fechada integrando o produto escalar do vetor campo elétrico pelo vetor elemento de área Determinar se uma superfície fechada pode ser dividida em partes (como as faces de um cubo) para simplificar a integração usada para calcular o fluxo através da superfície.

7 23-1 Fluxo Elétrico Os vetores campo elétrico e as linhas de campo atravessam uma superfície gaussiana imaginária, de forma esférica, que envolve a carga +Q. Agora a carga da partícula envolvida é +2Q. Qual é, nesse caso, a carga envolvida? Resposta: 0,5Q

8 23-1 Fluxo Elétrico O vetor área da de um elemento de área é um vetor, perpendicular ao elemento, cujo módulo é igual à área do elemento. O fluxo elétrico d através de um elemento de área com um vetor de área da é dado pelo produto escalar (a) Um vetor campo elétrico atravessa um pequeno elemento de área em uma superfície plana. (b) Apenas a componente x atravessa o elemento de área; a componente y é paralela ao plano. (c) O vetor área é perpendicular ao elemento e tem um módulo igual à área do elemento.

9 23-1 Fluxo Elétrico Podemos calcular o fluxo total integrando o produto vetorial para toda a superfície. O fluxo total através da superfície é dado por O fluxo líquido através de uma superfície fechada (usado na lei de Gauss) é dado por em que a integração é executada ao longo de toda a superfície.

10 23-1 Fluxo Elétrico Fluxo de um campo uniforme através de uma superfície cilíndrica

11 23-2 Lei de Gauss

12 23-2 Lei de Gauss Objetivos do Aprendizado Usar a lei de Gauss para relacionar o fluxo total através de uma superfície fechada à carga total q env envolvida pela superfície Saber que o sinal algébrico da carga envolvida corresponde ao sentido (para fora ou para dentro) do fluxo Saber que a carga do lado de fora de uma superfície gaussiana não contribui para o fluxo total através da superfície fechada Calcular o módulo do campo elétrico produzido por uma partícula carregada usando a lei de Gauss Saber que, no caso de uma partícula carregada ou uma esfera uniformemente carregada, a lei de Gauss pode ser aplicada usando uma superfície gaussiana que é uma esfera concêntrica com a carga ou com a esfera carregada.

13 23-2 Lei de Gauss A lei de Gauss relaciona o fluxo de um campo elétrico através de uma superfície fechada (uma superfície gaussiana) à carga total envolvida pela superfície. Em notação matemática, A lei de Gauss também pode ser escrita na forma Duas cargas pontuais, de mesmo valor absoluto e sinais opostos, e as linhas de campo que representam o campo elétrico. Quatro superfícies gaussianas são mostradas em seção reta.

14 23-2 Lei de Gauss Superfície S1. Como o campo elétrico aponta para fora em todos os pontos da superfície, o fluxo do campo elétrico através da superfície é positivo. A carga envolvida pela superfície é positiva, o que está de acordo com a lei de Gauss. Superfície S2. Como o campo elétrico aponta para dentro em todos os pontos da superfície, o fluxo do campo elétrico através da superfície é negativo. A carga envolvida pela superfície é negativa, o que está de acordo com a lei de Gauss. Duas cargas pontuais, de mesmo valor absoluto e sinais opostos, e as linhas de campo que representam o campo elétrico. Quatro superfícies gaussianas são mostradas em seção reta.

15 23-2 Lei de Gauss Superfície S3. Como essa superfície não envolve nenhuma carga, o fluxo através da superfície, de acordo com a lei de Gauss, deve ser nulo. Isso realmente acontece, pois todas as linhas de campo atravessam totalmente a superfície, entrando pela parte de cima e saindo pela parte de baixo. Superfície S4. Como a carga total envolvida por essa superfície é zero (a carga positiva e a carga negativa se cancelam), o fluxo através da superfície, de acordo com a lei de Gauss, deve ser nulo e isso realmente acontece, porque o número de linhas de campo que entram na superfície é igual ao número de linhas de campo que saem. Duas cargas pontuais, de mesmo valor absoluto e sinais opostos, e as linhas de campo que representam o campo elétrico. Quatro superfícies gaussianas são mostradas em seção reta.

16 23-3 Um Condutor Carregado

17 23-3 Um Condutor Carregado Objetivos do Aprendizado Usar a relação entre a densidade superficial de carga e a área da superfície para calcular a carga de um condutor Saber que, se uma carga em excesso (positiva ou negativa) for introduzida em um condutor isolado, a carga se acumulará na superfície e o interior do condutor permanecerá neutro Conhecer o valor do campo elétrico no interior de um condutor isolado Explicar de que forma a lei de Gauss é usada para determinar o módulo E do campo elétrico nas proximidades da superfície de um condutor com uma densidade superficial de carga uniforme No caso de uma superfície uniformemente carregada de um condutor, conhecer a relação entre a densidade superficial de carga e o módulo E do campo elétrico nas vizinhanças do condutor e a relação entre o sinal da carga e o sentido do campo elétrico No caso de um condutor com uma cavidade que contém um objeto carregado, determinar a carga na superfície da cavidade e na superfície externa do condutor.

18 23-3 Um Condutor Carregado (a) Vista em perspectiva (b) Vista lateral de uma pequena parte de um condutor de grande extensão com uma carga positiva na superfície. Uma superfície gaussiana cilíndrica, engastada perpendicularmente no condutor, envolve parte das cargas. Linhas de campo elétrico atravessam a base do cilindro que está do lado de fora do condutor, mas não a base que está do lado de dentro. A base que está do lado de fora tem área A e o vetor área é A.

19 23-4 Aplicações da Lei de Gauss: Simetria Cilíndrica

20 23-4 Aplicações da Lei de Gauss: Simetria Cilíndrica Objetivos do Aprendizado Explicar como a lei de Gauss pode ser usada para calcular o módulo do campo elétrico do lado de fora de uma linha de carga ou do lado de fora da superfície de um cilindro de material isolante com uma densidade linear de carga uniforme Conhecer a relação entre a densidade linear de carga em uma superfície cilíndrica e o módulo E do campo elétrico a uma distância r do eixo central da superfície cilíndrica Explicar como a lei de Gauss pode ser usada para calcular o módulo E do campo elétrico no interior de um cilindro isolante com uma densidade volumétrica de carga uniforme.

21 23-4 Aplicações da Lei de Gauss: Simetria Cilíndrica A figura mostra uma parte de um cilindro de plástico de comprimento infinito com uma densidade de carga uniforme λ. A distribuição de carga e o campo têm simetria cilíndrica. Para determinar o campo a uma distância r do eixo do cilindro, envolvemos parte do cilindro com um cilindro gaussiano concêntrico de raio r e altura h. O fluxo através da superfície lateral do cilindro é dado por De acordo com a lei de Gauss, o que nos dá Uma superfície gaussiana de forma cilíndrica envolve parte de uma barra de plástico cilíndrica de comprimento infinito com uma densidade linear uniforme de carga positiva.

22 23-5 Aplicações da Lei de Gauss: Simetria Planar

23 23-5 Aplicações da Lei de Gauss: Simetria Planar Objetivos do Aprendizado Usar a lei de Gauss para calcular o módulo E do campo elétrico nas proximidades de uma superfície plana, isolante, de grandes dimensões, com uma densidade superficial de carga uniforme No caso de pontos nas proximidades de uma superfície plana, isolante, de grandes dimensões, com uma densidade superficial de carga uniforme, conhecer a relação entre a densidade de carga e o módulo E do campo elétrico e a relação entre o sinal da carga e o sentido do campo elétrico No caso de pontos nas proximidades de duas superfícies planas, condutoras, de grandes dimensões, com uma densidade superficial de carga, conhecer a relação entre a densidade de carga e o módulo E do campo elétrico e a relação entre o sinal das cargas e o sentido do campo elétrico.

24 23-5 Aplicações da Lei de Gauss: Simetria Planar Placa Isolante A figura mostra parte de uma placa fina, infinita, isolante, com uma densidade superficial de carga uniforme σ. Uma folha de plástico, com uma das superfícies uniformemente carregada, pode ser um bom exemplo. Nesse caso, é simplesmente EdA e, portanto, a Lei de Gauss, se torna em que σa é a carga envolvida pela superfície gaussiana. Isso nos dá

25 23-5 Aplicações da Lei de Gauss: Simetria Planar Duas Placas Condutoras A figura (a) mostra uma seção reta de uma placa fina, infinita, condutora, positivamente carregada com uma densidade superficial de carga uniforme σ 1. A figura (b) mostra uma placa igual, negativamente carregada com uma densidade superficial de carga de mesmo valor absoluto. Suponha que as duas placas sejam colocadas lado a lado, como na figura (c). Nesse caso, as cargas das duas placas se atraem mutuamente e todas as cargas em excesso se acumulam na superfície interna das placas, como mostra a figura (c). Como existe agora uma quantidade de carga duas vezes maior nas superfícies internas, a nova densidade superficial de carga é

26 23-6 Aplicações da Lei de Gauss: Simetria Esférica

27 23-6 Aplicações da Lei de Gauss: Simetria Esférica Objetivos do Aprendizado Saber que uma casca esférica com uma distribuição uniforme de carga atrai ou repele uma partícula carregada situada do lado de fora da casca como se toda a carga da casca estivesse concentrada no centro da casca Saber que uma casca esférica com uma distribuição uniforme de carga não exerce força eletrostática sobre uma partícula carregada situada no interior da casca No caso de um ponto situado do lado de fora de uma casca esférica com uma distribuição uniforme de carga, conhecer a relação entre o módulo E do campo elétrico, a carga q da casca e a distância r entre o ponto e o centro da casca No caso de um ponto situado no interior de uma casca esférica com uma distribuição uniforme de carga, conhecer o valor do módulo E do campo elétrico No caso de uma esfera com uma distribuição uniforme de carga, determinar o módulo e a orientação do campo elétrico em pontos no interior da esfera e do lado de fora da esfera.

28 23-6 Aplicações da Lei de Gauss: Simetria Esférica Aplicando a lei de Gauss à superfície S 2 da figura, obtemos Aplicando a lei de Gauss à superfície S 1 da figura, obtemos Vista em seção reta de uma casca esférica fina, uniformemente carregada, com uma carga total q. Duas superfícies gaussianas, S 1 e S 2, também são mostradas. A superfície S 2 envolve a casca e a superfície S 1 envolve apenas a cavidade vazia que existe no interior da casca.

29 23-6 Aplicações da Lei de Gauss: Simetria Esférica No interior de uma esfera com uma densidade volumétrica de carga uniforme, o campo é radial e o módulo do campo é dado por em que q é a carga total, R é o raio da esfera e r é a distância entre o ponto considerado e o centro da esfera. Uma superfície gaussiana concêntrica com r > R é mostrada em (a). Uma superfície gaussiana semelhante, com r < R, é mostrada em (b).

30 23 Resumo

31 23 Resumo Lei de Gauss De acordo com a lei de Gauss, Fluxo total do campo elétrico através de uma superfície gaussiana: Aplicações da Lei de Gauss Campo na superfície de um condutor carregado: Campo de uma linha de carga: Eq Eq Eq Eq Campo de uma placa condutora infinita: Campo do lado de fora de uma casca esférica carregada: Campo no interior de uma casca esférica uniformemente carregada: Campo no interior de uma esfera carregada: Eq Eq Eq Eq