AULA 4. Atividade Complementar 10: Sistemas lineares 2x2 e sua interpretação geométrica 31

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1 AULA 4 Atividade Complementar 10: Sistemas lineares 2x2 e sua interpretação geométrica 31 Conteúdos Estruturantes: Números e Álgebra / Geometrias Conteúdo Básico: Sistemas lineares / Geometria espacial Série(s): 2º ou 3º Ano - Ensino Médio Objetivo: Reconhecer e interpretar geometricamente as equações lineares e suas soluções. Após abrir o software Geogebra, estudar o seguinte sistema linear: 3x+2y=5 e x- 2y=-1: - clicar no menu Exibir Eixos; - clicar no menu Exibir Malha; - no campo Entrada, digitar a expressão 3x+2y=5; - selecionar a reta e mudar a sua cor, para facilitar visualização; - novamente no campo Entrada, digitar x-2y=-1; - selecionar a reta e mudar a sua cor, para facilitar visualização, e propor as seguintes questões. Questões: 1) Que tipo de sistema é esse? Pode-se definir uma solução? 32 2) Qual é a posição relativa entre essas retas? 33 3) Comparando as equações, o que podemos dizer em relação aos coeficientes angular e linear? - Sabendo que o ponto de interseção entre as retas determina a solução para este sistema, clicar sobre o botão Interseção de Dois Objetos, na barra de ferramentas, e selecionar as duas retas construídas anteriormente; - o ponto A é marcado como ponto de interseção; - para visualizar as coordenadas deste ponto, ou seja, encontrar a solução para o sistema, clicar no menu Disposições e Álgebra e Gráficos 34 ; - a Janela de Álgebra, que contém a descrição dos objetos contidos na janela de visualização do Geogebra, abre no canto esquerdo da tela; - portanto, a solução para o sistema é x=1 e y=1 (o aluno pode verificar resolvendo o sistema, também, na forma algébrica). 31 Atividade adaptada de conteudo= Como as retas apresentam um ponto em comum, o sistema apresenta uma solução determinada (SPD). 33 Retas concorrentes. 34 Disponível nas versões mais atualizadas do Geogebra (a partir da versão 4). 17

2 Solução geométrica para o sistema de equação 2x2 (SPD) - Da mesma forma, os seguintes sistemas lineares também podem ser estudados no software: 5x-10y=15 e 2x-4y=6; 4x+2y=4 e 2x+y=5; As mesmas questões anteriores podem ser apresentadas aos alunos antes da sistematização dos conteúdos. No primeiro caso, percebe-se que, ao digitar no campo Entrada a equação da reta 5x-10y=15, na Janela de Álgebra aparecerá a equação simplificada, ou seja, a reta a: x- 2y=3. Da mesma forma acontece com a segunda equação 2x-4y=6. Portanto, as retas são coincidentes e o sistema é possível, porém indeterminado, pois há mais de uma resposta para este sistema de equação. No segundo sistema de equação, ao entrar com as retas sugeridas, percebe-se que as retas são paralelas. Neste caso, não há solução possível para o sistema, uma vez que não há pontos em comum entre as duas retas. 18

3 Solução geométrica para o sistema de equação 2x2 (SPI) Solução geométrica para o sistema de equação 2x2 (SI) 19

4 Questão: Qual é a equação da reta r que passa pelo ponto de encontro das retas a e b de equações x y+2=0 e 3x y+6=0, respectivamente, e é paralela à reta c, cuja equação é y = ½ x 1? Como construir no software Geogebra: - inserir no campo Entrada as equações das retas a e b; - trocar a cor das retas para facilitar a visualização; - determinar o ponto A da interseção das retas a e b; - inserir no campo Entrada a equação da reta c: y=1/2x-1; - com o botão Reta Paralela na barra de ferramentas, construir uma reta selecionando o ponto A e posteriormente a reta c; - a equação da nova reta pode ser visualizada na Janela de Álgebra. Atividade 11 Aplicação do Teorema de Tales a) A sombra de um poste vertical, projetada pelo sol sobre o chão plano, mede 12m. Nesse mesmo instante, a sombra de um bastão vertical de 1m de altura mede 4m. Qual a altura do poste? b) Um projetor de slides, colocado a 9 m de distância de uma tela, projeta um retângulo de altura 6 m. A que distância da tela deve ser colocado o projetor para que o retângulo projetado tenha 2 m de altura? Atividade 12 Criando novas ferramentas no Geogebra para estudar Geometria Fractal - Construa um triângulo equilátero com a ferramenta Polígono regular. - Determinar os pontos médios dos lados do triângulo. 20

5 - Com a ferramenta Polígono, determinar o triângulo cujos vértices são os pontos médios do triângulo anteriormente construído. - No menu Ferramentas, clique em Criar uma nova ferramenta. - Na aba Objetos finais, selecione Triângulo pol2: Polígono F, E, D objeto geométrico final, característica dos fractais de autosimilaridade. - Clicar no botão Próximo. - Na aba objetos finais, selecione o ponto A objeto geométrico que deu início a construção do triângulo. - Clicar no botão Próximo. - Na aba Nome e Ícone, dar nome a nova ferramenta, neste caso, sugere-se Autosimilaridade. - Para utilizar a ferramenta, clicar sobre o ícone criado na barra de ferramentas e posteriormente em dois pontos da figura. 21