OS JOGOS DE QUADROS PARA O ENSINO MÉDIO SITUAÇÕES DE APRENDIZAGEM NA CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS

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1 OS JOGOS DE QUADROS PARA O ENSINO MÉDIO SITUAÇÕES DE APRENDIZAGEM NA CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS Lúcia Helena Nobre Barros Universidade Bandeirantes - UNIBAN Rede pública de ensino do Estado de São Paulo, E. E. Brasílio Machado. lucianobre@ibest.com.br Evando Cardoso Centro Universitário Nossa Senhora do Patrocínio. cardosocardoso@uol.com.br Resumo: Centrado na noção de jogos de quadros de Douady (1984, 1992) escolhemos a relação da interdependência entre duas ou mais grandezas por meio de funções para esta pesquisa, assim, inicialmente apresentamos uma breve descrição sobre a Nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo (2008a), Base Curricular para o ensino de toda a rede pública, e a maneira pela qual pode se articular a noção de jogo de quadros. Para o refino das análises é construída uma grade, adaptada do modelo utilizado por Dias (1998). Essa grade permite identificar as possibilidades como são considerados os quadros, mudança de quadros e jogo de quadros para o ensino e aprendizagem do estudo de gráficos de função, isto é, a construção, interpretação, intervalos de variação crescimento e decrescimento, sinal da função. Os resultados encontrados mostram que é preciso considerar o jogo de quadros para que o conteúdo proposto seja desenvolvido de forma eficaz, ou seja, articular os quadros de forma que os estudantes percebam a transposição do trabalho matemático, para melhor compreender a tarefa 1 proposta. Palavras-chave: Jogo de quadros; Situações de aprendizagem; Relação da interdependência entre duas ou mais grandezas; Funções; Estudo do comportamento de gráficos de função. Introdução Este trabalho faz parte de um extrato da pesquisa de mestrado em Educação Matemática sob o tema Derivada de uma função de uma variável real a valores reais, assim, escolhemos o estudo do comportamento do gráfico de funções desenvolvido na Nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo apresentado no Caderno do Professor e do Aluno para o 3 o bimestre da 3 a série do Ensino Médio (2009a, 2009b), para identificar 1 Tarefa: Será tratada aqui, como sendo o enunciado dos exercícios, da mesma maneira que Robert (1997) utiliza (ROBERT, 1997, apud Nobre Barros e Dias, 2009a, p.2). 1

2 os possíveis jogos de quadros de Douady (1984, 1992), por meio das tarefas propostas, buscando articular a relação de interdependência entre duas ou mais grandezas com as noções de taxa de variação. Para melhor compreendermos como esse conteúdo se apresenta tanto para o professor quanto para o estudante, buscamos a abordagem teórica dos jogos de quadros de Douady (1984, 1992) por considerarmos satisfatória para as análises das tarefas, isto é, as diferentes situações de aprendizagem apresentadas nesses materiais didáticos. Assim, para fazer tais estudos construímos uma grade de análise que possibilite a identificação dos diversos tipos de tarefas desenvolvidas nesses cadernos e, quais os quadros em jogo em que essas tarefas são enunciadas e solucionadas. Apresentamos abaixo, uma breve exposição do referencial teórico escolhido. Referencial teórico Abordamos aqui a proposta de Douady (1984, 1992) relacionando à questão dos jogos de quadros com o objetivo de analisar que possíveis dificuldades essas tarefas podem apresentar para os estudantes quando desenvolvemos as noções de interpretação e construção de gráficos de funções. Segundo Douady (1984) um quadro é: [...] constituído de objetos de um ramo das matemáticas, das relações entre os objetos, de suas formulações eventualmente diversas e das imagens mentais associadas a esses objetos e essas relações. Essas imagens têm um papel essencial e funcionam como ferramentas dos objetos do domínio. Dois quadros podem conter os mesmos objetos e diferir pelas imagens mentais e problemáticas desenvolvidas (Douady, 1984, p.128, apud Nobre Barros et al., 2009b, p. 3). A mudança de quadros é uma transposição do trabalho do matemático para a didática, isto é, é a passagem de um quadro para outro com o objetivo de facilitar a solução de uma tarefa. Esta mudança poderá ser provocada pelo professor como também poderá partir do próprio estudante, ou seja, o estudante poderá articular os seus conhecimentos prévios para identificar os quadros que melhor se adéquam para a solução do problema. 2

3 Um jogo de quadros é a passagem de um quadro para outro e retornando ao primeiro quadro onde a tarefa fora enunciada com a solução, ou seja, trabalha uma mesma tarefa em dois diferentes domínios da matemática. Dessa forma, quando existe uma dificuldade, ou a tarefa proposta é mais bem solucionada em outro quadro, sugerimos a mudança de quadro, isto é, procuramos outro quadro onde as ferramentas matemáticas 2 facilitem a resolução do problema, e depois deste resolvido, retornamos ao quadro inicial, caso o problema venha exigir que a resposta se apresente no quadro em que fora enunciado. Na seqüência apresentaremos uma breve descrição da Nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo (2008a) e como se dá a articulação desses conteúdos quando se considera o estudo do comportamento de gráficos de funções. Descrição e comentários da Nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo A relação de interdependência entre duas ou mais grandezas. Supondo que os estudantes já tenham conhecimento sobre função e representação de pontos no Sistema Cartesiano Ortogonal, ao ser abordado o conteúdo da relação de interdependência entre duas ou mais grandezas, a nova proposta retoma as noções de funções, em particular, a determinação de domínio e imagem, suas representações, estudo de sinal, variação, máximos e mínimos, com o objetivo de caracterizar melhor a situação de interdependência entre duas grandezas, uma das quais pode variar livremente chamada de variável independente sendo que a outra tem o seu valor determinado pelo valor da primeira definida como variável dependente. Assim, no Ensino Médio o tema, Álgebra: números e funções, enfatiza a apresentação da linguagem e representação matemática com variedades de gráficos presentes no cotidiano (noticiários e jornais) procurando relacionar funções com atividades significativas. No estudo dos gráficos de função, os procedimentos básicos referem-se a identificar variáveis, propriedades em relação ao comportamento das funções, como por 2 Ferramentas matemáticas: noções matemáticas que permitem ou possibilitem a articulação de noções matemáticas, bem como, a modelagem de diversas situações matemáticas, por exemplo, a noção de sistemas de equações lineares como ferramenta matemática para questões de álgebra linear. (Nobre Barros e Dias, 2009a, p. 4) 3

4 exemplo: crescimento e decrescimento, sinal da função; a partir da noção de função, procurando-se amenizar excessiva linguagem formal. A construção e a interpretação dos gráficos vêm incorporadas às noções de funções afins, quadráticas, exponencial, logarítmica e trigonométricas, que em geral, possibilitam desenvolver medições, cálculos de proporcionalidades, previsões de posições no Sistema Cartesiano Ortogonal inacessíveis para observação e, construção de modelos matemáticos importantes aos estudos dos fenômenos periódicos. Dessa forma, historicamente posicionado, o estudo das funções tem sentido desde a análise de situações de proporcionalidade, direta ou inversa, que permite um contexto aos estudantes para a interpretação de situações-problema, isto é, situações de aprendizagem. Há também naturalmente, a ampliação desses conceitos associados aos respectivos gráficos, relacionando-se ao crescimento ou decrescimento, bem como à eventual existência de valores máximos ou mínimos, por exemplo. Nesse sentido, abre-se também no Ensino Médio um rico leque de possibilidades para o cruzamento desse eixo com os demais, por exemplo, com a geometria analítica por meio de explorações da linguagem gráfica de uma função, ou, ainda, de investigações sobre a idéia de taxa de variação (São Paulo. 2008b, p. 47). Portanto, essas situações de proporcionalidade são exploradas de modo mais sistematizado, ou seja, as qualidades / características das funções estudadas nas séries anteriores, ampliando-se para a construção de gráficos e a compreensão das formas básicas de crescimento ou decrescimento, possibilitando a utilização de funções para o entendimento de fenômenos da realidade, assim o documento acredita que [...] os estudantes poderão apreciar com mais nitidez a riqueza da linguagem das funções (São Paulo, 2009a, p.10). Então, como conteúdo proposto para ampliação e desenvolvimento das habilidades dos estudantes, as funções e suas especificidades, estudadas no Ensino Médio, em particular, no 3 o bimestre da 3 a série do Ensino Médio, tentam buscar atitudes de identificação em problemas que envolvam fenômenos que possibilitem articular os conhecimentos prévios a novos conhecimentos. 4

5 A seguir, construiremos uma grade de análise que permite identificar os jogos de quadros nas tarefas propostas dos cadernos didáticos usados na Nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo. A grade de análise e o seu funcionamento O propósito dessa grade é de servir como um instrumento que permita analisar os jogos de quadros considerados para o enunciado e a solução das tarefas. Dessa forma, inicia-se identificando as tarefas usualmente encontradas para a relação de interdependência entre duas ou mais grandezas. Em seguida, para melhor especificar a tarefa se considera as seguintes variáveis das tarefas: Quadro em que a tarefa é anunciada; Quadro em que a tarefa é solucionada. Para melhor compreender o funcionamento da grade, exemplificaremos a seguir com algumas tarefas propostas no caderno didático selecionado para as análises. TAREFA 1 5

6 Figura 01 TAREFA 1 Fonte: São Paulo, 2009a, p Quadro em que a tarefa é anunciada: quadro da geometria plana; Quadro em que a tarefa é solucionada: quadro algébrico; Considerações: para solucionar a tarefa o estudante terá que efetuar uma mudança de quadro, pois a mudança de quadro permite o funcionamento de ferramentas e técnicas não pertinentes no enunciado da tarefa. TAREFA 2 6

7 Figura 02 TAREFA 2 Fonte: São Paulo, 2009a, p Quadro em que a tarefa é anunciada: quadro das funções; Quadro em que a tarefa é solucionada: quadro das funções para os itens (a) e (b), e para o item (c) quadro geométrico; Considerações: para responder os itens (a) e (b) o estudante não necessitará de uma mudança de quadro, solucionará as tarefas no mesmo quadro em que ela é proposta, porém para responder ao item (c) ele terá que efetuar uma mudança de quadro, considerando que a tarefa pede a construção do gráfico da função trabalhada. TAREFA 3 7

8 Figura 03 TAREFA 3 Fonte: São Paulo, 2009a, p Quadro em que a tarefa é anunciada: quadro das funções; Quadro em que a tarefa é solucionada: quadro das funções; Considerações: para solucionar as tarefas o estudante primeiramente terá que construir o gráfico, portanto ele terá que fazer uma mudança de quadro quadro das funções para o quadro geométrico, em seguida para que ele efetivamente solucione a tarefa, ele terá que retornar ao quadro em que a tarefa fora enunciada, pois para as análises terá que fazer conjecturas de propriedades abordadas no quadro de funções. Dessa forma, observamos que o espaço para o desenvolvimento de tarefas pautadas nas relações de interdependência entre duas ou mais grandezas quando se considera as tarefas acima enunciadas é mais trabalhado nas mudanças de quadros, por se tratar de questões onde as situações de aprendizagem se evidenciam, em geral, mais nesse contexto. Verificamos ainda que, as noções de taxa de variação, crescimento e decrescimento, estão relacionadas, em particular, na leitura e interpretação dos gráficos, mesmo que para isso o estudante tenha que executar a sua construção. Assim, esperamos que os estudantes possam compreender melhor e articular o comportamento dos gráficos de uma função com 8

9 uma situação real, isto é, que as observações acima venham auxiliar nesse estudo para que o estudante consiga associar às ferramentas explícitas a solução de situações-problema, em particular, aquelas que possam ser contextualizadas. Considerações finais As análises apresentadas nesse estudo estão centradas na noção de jogo de quadros de Douady (1984, 1992) conforme foi exposta no referencial teórico acima. Essas análises mostram que existe preocupação em desenvolver, mesmo que implicitamente, interpretação e leitura de gráficos por meio de situações de aprendizagem reais. Para tal, essa melhor interpretação da representação gráfica de uma função permite, principalmente nas resoluções das tarefas, a necessidade de articular conhecimentos prévios a novos. Assim sendo, as análises dos cadernos didáticos é uma ferramenta eficiente para averiguar como essa articulação poderá aparecer. Portanto, no caso da nova proposta esperamos que, os professores trabalhem pelo menos os conteúdos e tarefas sugeridas no caderno didático, mas é possível também completar os conteúdos indicados utilizando os livros indicados pelo PNLEM Programa Nacional do Livro Didático para o Ensino Médio. Referências bibliográficas DIAS, M. Les problèmes d articulation entre points de vue «artésien et paramétrique» dans l enseignement de l algèbre linéaire. Tese de Doutorado. Paris: Université Paris VII, DOUADY, R. Des apports de la didactique des mathématiques à l enseignement. Repères IREM, n NOBRE BARROS, L. H., DIAS M. A. Os pontos de vista disponíveis para a Introdução de Derivada de uma Função na Transição do Ensino Médio e Superior. Ouro Preto: Anais do IV Encontro de Educação Matemática de Ouro Preto, CD ROOM, 2009a. 9

10 NOBRE BARROS, L. H., et alli. As articulações de pontos de vista no ensino e aprendizagem da noção de derivada de uma função. São Paulo: Anais do II Seminário Internacional de Educação Matemática, CD ROOM, 2009b. SÃO PAULO, Secretaria de Educação do Estado de São Paulo. Proposta Curricular do Estado de São Paulo. São Paulo: SEE, 2008a., Secretaria de Educação do Estado de São Paulo. Proposta Curricular do Estado de São Paulo: Matemática. São Paulo: SEE, 2008b., Secretaria de Educação do Estado de São Paulo. Caderno do professor: Matemática, Ensino Médio 3ª série, 3º bimestre. São Paulo: SEE, 2009a., Secretaria de Educação do Estado de São Paulo. Caderno do aluno: Matemática, Ensino Médio 3ª série, 3º bimestre. São Paulo: SEE, 2009b. 10