ARTICULAÇÃO DOS OSTENSIVOS E NÃO OSTENSIVOS NO ENSINO DA NOÇÃO DE SISTEMAS DE DUAS EQUAÇÕES LINEARES E DUAS INCÓGNITAS

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1 Capítulo2.Propuestaparalaenseñanzadelasmatemáticas ARTICULAÇÃODOSOSTENSIVOSENÃOOSTENSIVOSNOENSINODANOÇÃODE SISTEMASDEDUASEQUAÇÕESLINEARESEDUASINCÓGNITAS MarleneA.Dias,MarizaC.daCosta,RuyC.Pietropaolo,TâniaM.M.Campos UNIBAN Brasil Campodeinvestigación: PensamentoAlgébrico Nivel: Básico Resumo. Utilizando como referencial teórico central a abordagem teórica de Bosch e Chevallard(1999)eChevallard(1992)ecomoreferenciaisteóricosdeapoioasabordagens teóricasemtermosdequadrodedouady(1984,1992),emtermosdepontosdevistade Rogalski(1995),sobreostrêsníveisdeconhecimentoesperadosdosestudantesdeRobert (1997)eanoçãode topos dechevallardegrenier(1997),apresentasenessetrabalhouma análisedaevoluçãodoensinodanoçãodesistemasdeduasequaçõeseduasincógnitaspara estudantes entre 13 e 14 anos da escola básica no Brasil. Consideramse, mais especificamente os ostensivos e não ostensivos utilizados nas tarefas propostas aos estudantesdasdiferentesépocas.finalmente,sãofeitasalgumasconsideraçõessobreos resultadosencontrados,quepermitemconsideraraexistênciadeumnúmeroreduzidode tarefasquepodemvariaremfunçãodosquadrosedospontosdevistaquesedesejaarticular paraalcançaroníveldeconhecimentodesejado. PalavrasChave:Sistemaslineares,ostensivosenãoostensivos,quadros Introdução Anoçãodesistemasdeequaçõeslineareséumaferramentamatemáticaimportantetantopara osestudantesdoensinosecundáriocomoparaosdoensinosuperior,poisalémdepermitira modelagemdediversassituaçõesmatemáticasdasoutrasciênciasedocotidiano,elatambém possibilita a articulação de outras noções matemáticas, desde o ensino fundamental até o superior.podesecitarcomoexemplo,suaaplicaçãoemquestõesdaengenharia,deálgebralinear edeequaçõesdiferenciais. Certamente,essasaplicaçõesnãosereduzemaossistemasdeduasequaçõeseduasincógnitas, masaescolhadessanoçãoparticularestárelacionadaaofatodelapermitirumaintroduçãoda noçãodesistemaslinearesquequandobemexplorada,permitediscutiraspossibilidadesde soluçõesdessessistemasdeequaçõeslineares,assimcomoalgumasdesuasaplicações. Sendoassim,oobjetivodessapesquisaécompreenderasescolhasparaotratamentodessanoção para estudantes brasileiros entre 13 e 14 anos, a fim de verificar como suas diferentes possibilidadesdetratamentosãoexploradasnessaetapadaescolaridade. ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 535

2 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa23 Dessa forma, estudase neste trabalho, a relação institucional esperada, via análise dos documentosoficiais:parâmetroscurricularesnacionais(1998)earelaçãoinstitucionalexistente emdiferentesdécadas,vialivrosdidáticosreferentesaessasépocas.ouseja,oestudoaqui proposto tenta compreender a ecologia das diferentes tarefas e técnicas encontradas nas diferentesdécadas. Iniciase,assim,esteestudo,apartirdoseguintequestionamento: Comoseabordaanoçãodesistemadeduasequaçõeslineareseduasincógnitasnas diferentesdécadas? Dequaisinstrumentososprofessoresdispõemparaefetuarsuasescolhas? Quaissãoosostensivosenãoostensivosemjogonasdiferentesabordagens,conforme definiçãodeboschechevallard(1999)? Em que sistema de tarefas é possível desenvolver os ostensivos e não ostensivos escolhidos? Quaissãoascondiçõeseempecilhosquefavorecemouatrapalhamsuautilização? Quaissãoasescolhasinstitucionaisparaasuautilização? Natentativaderesponderàsquestõesacima,apósoestudobibliográficodasobrasencontradas, observase a existência de alguns trabalhos de pesquisa sobre as noções de equações e inequações,masnãoencontramosnobrasiltrabalhosespecíficossobresistemasdeequações lineares,emparticular,sobreossistemasdeduasequaçõescomduasincógnitas,oqueaumentou onossointeressepordesenvolverumapesquisaespecíficasobreessanoçãomatemática. Referencialteóricodapesquisa OestudobibliográficoconduziunosaescolheraabordagemantropológicadeBoscheChevallard (1999) e Chevallard (1992) como referencial teórico central para a análise das relações institucionaisesperadaseexistentesnoensinodanoçãodesistemasdeduasequaçõeslinearese duasincógnitasparaestudantesbrasileirosentre13e14anos.dedicamonos,emparticular,ao examedosostensivos,istoé,dosobjetosdenaturezasensívelcomoossons,osgrafismoseos gestos,enãoostensivos,ouseja,osobjetoscomoasnoções,osconceitoseasidéiasquesó ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 536

3 Capítulo2.Propuestaparalaenseñanzadelasmatemáticas podemserevocadospormeiodamanipulaçãoadequadadosostensivosquelhesãoassociados, privilegiadosnasdiferentesdécadasparaoensinodanoçãodesistemasdeequaçõeslineares. Dessaforma,oobjetivodoestudodarelaçãoinstitucionalesperadaeexistenteparaoensinoda noção de sistemas de duas equações lineares e duas incógnitas, via documentos oficiais e, principalmente,livrodidático,éverificarquaissãoosdiferentestiposdetarefaspropostasnas diferentesdécadas,quaistécnicassãoprivilegiadasequaispodemserutilizadasparajustificaro trabalhomatemáticoem jogo,istoé,quediscursotecnológicoéempregadoparaauxiliaro estudanteadesenvolverasdiferentestarefasquelhesãopropostasemfunçãodosostensivose nãoostensivosutilizados. Alémdisso,paracompreendermelhorquepapéisoprofessoreoestudantedevemdesempenhar noprocessodeensinoeaprendizagem,escolheseanoçãode topos introduzidaporchevallard egrenier(1997),quepermiteanalisaroqueseesperadoprofessoredoestudante,tantoem relaçãoaosconhecimentospréviosnecessáriosquandoseintroduzumnovoconceitomatemático, como em relação às atividades e atitudes necessárias para que se desenvolva o trabalho matemáticoemjogonastarefasquecompetemacadaumdeles. Paraaconstruçãodagradedeanálise,foramaindautilizadasasnoçõesdequadro,conforme abordagemteóricadedouady(1984,1992),depontosdevista,conformedefiniçãoderogalski (1995)edeníveisdeconhecimentoesperadosdosestudantesconformeabordagemteóricade Robert(1997). Metodologiadapesquisa Após um estudo bibliográfico das noções de equações, inequações e sistemas de equações lineares para a escola básica no Brasil e dos trabalhos relacionados ao referencial teórico escolhido. Naseqüênciaforamlevantadasassugestõesdosdocumentosoficiaisparaotratamentodanoção desistemasdeduasequaçõeslineareseduasincógnitasressaltandoospapeisdoprofessoredo estudante e um conjunto de tarefas que possibilitam o tratamento proposto por esses documentos. ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 537

4 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa23 Apartirdessastarefasconstróiseumagradedeanáliseparaanalisarasregularidadesediferenças existentesnaspropostasdeensinodanoçãodesistemasdeduasequaçõeslineareseduas incógnitasnasdécadasescolhidas.essaanáliseéfeitavialivrodidático. Agradedeanálise Agradeservedeinstrumentoparaestudarosostensivosenãoostensivospossíveisnaintrodução danoçãodesistemasdeduasequaçõeslineareseduasincógnitas,destacando: Astarefasassociadasaessanoçãoe,emgeral,utilizadasnotrabalhocomalunosentre13 e14anos. Asvariáveisdessastarefas,paraasquaissedeuênfaseaosostensivosenãoostensivos possíveis para a sua solução e também as necessidades de mudança de quadro ou domínioemfunçãodosníveisdeconhecimentoesperadosdeprofessoreseestudantes emrelaçãoaopontodevistaescolhidoparasuasolução. Distinguimosastarefasapresentadasnafigura1emfunçãodasituaçãoqueelasprivilegiam: situaçãomatemáticaenunciadanoquadronumérico; situaçãomatemáticanuméricatransformadaparaumcontextocotidiano; situaçãomatemáticaalgébricatransformadaparaumcontextocotidiano; sistemasdeequaçõeslinearesalgébricosexplícitospedindoounãoométodoaser aplicado; estudográficodaspossibilidadesdesoluçãodeumsistemadeduasequaçõeseduas incógnitas; situaçãoqueexigeaarticulaçãodanoçãodesistemasdeequaçãolinearcomoutras noçõesmatemáticas. Figura1:Tiposdetarefas Paraasvariáveisdastarefasconsiderandoatarefa: Estudográficodaspossibilidadesdesolução deumsistemadeduasequaçõeseduasincógnitas,distinguimosasvariáveisdescritaspormeioda gradedafigura2. ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 538

5 Capítulo2.Propuestaparalaenseñanzadelasmatemáticas Otipodesituaçãodadanoenunciadodatarefa; Osquadrosemqueatarefaéenunciada; Osnãoostensivospossíveisparaoseudesenvolvimento,colocandoemevidênciaaquelesque devemfazerpartedo topos doalunoe/oudoprofessor; Osostensivospossíveisparaodesenvolvimentodastarefas; Osquadrosquepodemserutilizadosparaasoluçãodatarefa; Osníveisdeconhecimentoesperadosparaasoluçãodatarefa,emfunçãodopontodevista escolhido; Ospontosdevistasobosquaisatarefapodesertrabalhada,colocandoemevidênciaaqueleque lheémaisadequado. Aanálisedoslivrosdidáticos Aanáliseéfeitaconsiderando: Figura2:Gradedeanálise Opapeldesempenhadopelanoçãodesistemasdeequaçõeslinearesnaobraemrelaçãoàsoutras noçõesintroduzidasnamesmasériepormeiodeumorganograma. Naseqüência,éestabelecido,teoricamente,opapeldoprofessoredoestudante,asaber: Paraaanálisedapartequecorrespondeaotrabalhodoprofessor:aintroduçãoteóricadanoção desistemasdeequaçõeslineareseosexercíciosresolvidos( topos doprofessor). Para a análise da parte que corresponde ao trabalho do estudante: os exercícios propostos ( topos doaluno). Resultadosdaanálise Osresultadosabaixocorrespondemàanálisedeoitoobrasquerepresentamaspossíveisrelações institucionaistrabalhadasentre1959e2005.essasobrasestãoindicadasseparadamentenas referênciasbibliográficascomolivrosdidáticosanalisados. ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 539

6 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa23 Verificaseque,emgeral,astarefasapresentadasnãoexigemocálculoliteral(regraseleisque permitemaaplicaçãodatécnica)podendoserresolvidasapenaspormeiodocálculonumérico, istoé,utilizandoocálculomentalouopontodevistadastentativascomomostraoexemploda seguintetarefa. Ummeninoquercortarumpedaçodebarbantecom30cmdecomprimentoemduaspartes,de formaqueumadessaspartesmeçaodobrodaoutra.quantodeverámedircadaparte?(estado desãopaulo,p.130,1992). As tarefas situação matemática transformada para um contexto cotidiano, sistemas de equaçõeslinearesalgébricoexplicitopedindoounãoométodoaseraplicado, estudográfico daspossibilidadesdesoluçãodeumsistemadeduasequaçõeseduasincógnitas correspondema apenas39%dototaldetarefaspropostas,sendoque34%sãoastarefasdeaplicaçãodeum métododesoluçãodesistemas,quecorrespondeaodesenvolvimentodastécnicasdesolução dessetipodesistema,istoé,privilegiaseapenasoníveltécnico. Atarefa situaçãomatemáticaalgébricatransformadaparaumcontextocotidiano,considerada algébrica,poisexigequeosestudantesdominemasnoçõesdeequaçõesesistemasdeduas equaçõeslineareseduasincógnitas,verificase,conformenossapropostadeanalise,queela corresponde a apenas 4% do trabalho proposto aos estudantes, o que pode dificultar a possibilidadedeaplicaçãodesseconhecimentoemoutroscontextos,nofuturo.ouseja,poucose exigedosestudantesoquepodedificultaraaplicaçãodanoçãodesistemaslinearesparaa modelagemdesituaçõesvariadas. Emrelaçãoaoquestionamentoinicialfoipossívelobservarque: Paraoensinodanoçãodesistemasdeequaçõeslinearesparaestudanteentre13e14anos,a abordagempropostaestáassociadaàsoluçãodesituaçõesproblemacotidianaseparaumtipode sistemamaisrestrito,istoé,osistemadeduasequaçõeseduasincógnitas. OsprofessoresdispõemdosParâmetrosCurricularesNacionaisparaefetuarsuasescolhas.Nesse documentoaabordagempropostaprivilegiaotrabalhosobreosostensivos,ouseja,sobreas representações dos sistemas lineares, e o nível técnico no desenvolvimento das seis tarefas propostas. ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 540

7 Capítulo2.Propuestaparalaenseñanzadelasmatemáticas Verificouse,ainda,queexisteumnúmeroreduzidodetarefasquepermitemaintroduçãoda noçãodesistemasdeduasequaçõeslineareseduasincógnitas,easescolhasvariamemfunção dosquadrosquesedesejamarticular,dospontosdevistaquesedesejamlevaremcontaedo níveldeconhecimentoquelhessãoassociados. Alémdisso,emfunçãodastarefasedagradedeanáliseconstruída,foipossívelobservar,pormeio daanálisedoslivrosdidáticosescolhidos,quenasobrasatuaisconsideraseanoçãodeequação do1ºgrau,comoconhecimentojáconstruídoquandoseintroduzanoçãodesistemasdeduas equaçõeslineareseduasincógnitas.essaescolhapodejustificarofatodenãoseutilizaroponto devistadastentativasouocálculomentalmesmoquandoesseépossível. Existe também a preocupação dos autores das três obras recentes em articular os quadros numérico,geométricoe algébrico,mesmoquandoasnoçõessãointroduzidaspormeiodos ostensivosqueasrepresentam,oqueexigeautilizaçãodeumdiscursotecnológicoparajustificar as passagens de uma representação à outra, ou a aplicação de conhecimentos prévios, no desenvolvimentodastarefaspropostas. Consideramosqueasescolhasestãoassociadasao topos doprofessoredoestudante,umavez quevariamemfunçãodotipoedaquantidadedetarefasqueficamacargodecadaumdeles, conformenossapropostadeanálise.dessaforma,parecemqueemrelaçãoàsobrasatuais analisadasexisteapreocupaçãodeselevaremcontaosseistiposdetarefasconsideradasnesta pesquisa. ConsideraçõesFinais Épossívelobservarquehouveumamelhordelimitaçãodoestudodanoçãodesistemasde equaçõeslineares,emqueaênfaseédadaaossistemasdeduasequaçõeslineareseduas incógnitas,masesseestudonãoselimitaapenasaocaráterferramentadesoluçãodetarefasda própriamatemática,deoutrasciênciasoudocotidiano.ouseja,seucaráterobjetotambémé destacadopelaexploraçãoediscussãodaspossíveissoluçõesdossistemas,possibilitandoainda umamudançadequadrosquepermitevisualizargeometricamenteessaspossíveissoluções. Observaseaindaqueentreasdécadasanalisadas,houveummomento(décadade50)emquese estudavam os sistemas de equações lineares de m equações e n incógnitas, mas o nível ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 541

8 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa23 privilegiadoeraapenasoníveltécnico.essaépocaéseguidaporumaabordagemnaqualse privilegiaoobjetomatemáticoenãoseconsideramassituaçõesdeaplicaçãodoconhecimento emjogo abordagemcaracterísticadaépocadamatemáticamoderna(década60). Podesedizerqueapartirdadécadade70,aquianalisadapormeiodaobradeScipione,seinicia umaarticulaçãoentreocaráterferramentaeocaráterobjetodossistemasdeduasequaçõese duasincógnitas,quevemsendoempregadaatéopresente. Éimportanteobservarqueaarticulaçãoconsideradaéfeitapormeiodeumamudançaentreos quadrosalgébricosegeométricos,nãoexigindoumtrabalhofundamentadonasestruturasde grupoaditivo,multiplicativo,abeliano,anelecorpo,comosepropunhanaépocadamatemática Moderna. Referênciabibliográfica Bosch, M. & Chevallard, Y. (1999). La sensibilité de l activité mathématique aux ostensifs. Recherchesendidactiquedesmathématiques19(1), Brasil.(1998).ParâmetrosCurricularesNacionais.(PCN):Matemática.MinistériodaEducação. SecretariadeEducaçãoFundamental.Brasília:MEC/SEF. Castrucci,G.(2002).AConquistadaMatemática,7ªsérie.SãoPaulo:FTD. ChevallardY.&Grenier,D.(1997).Letoposdel éleve.enactesdelaixécoled étédedidactique desmathématiquesdehoulgate(pp.3538).frança:houlgate. Chevallard,Y.(1992).Conceptsfondamentauxdeladidactique:perspectivesapportéesparune approcheanthropologique.recherchesendidactiquedesmathématiques12(1), DeFarias,S.(1959).CursodeÁlgebraEnsinoFundamental.RiodeJaneiro:Globo. DiPierroNetto,S.(1971)MatemáticanaEscolaRenovada.SãoPaulo:Saraiva. DiPierroNetto,S.(1982)MatemáticosConceitoseOperações.SãoPaulo:Saraiva. DiPierroNetto,S.(1991)MatemáticaScipione,7ªsérie.SãoPaulo:Scipione. Douady, R. (1984)..Jeux de cadre et dialectique outil objet dans l enseignement des mathématiques.paris:iremdel UniversitédeParisVII. ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 542

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