Palavras- chave: Níveis de conhecimento. Análise combinatória. Probabilidade. Ensino. Aprendizagem.

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1 MATEMÁTICA Níveis de conhecimento esperados dos estudantes: análise dos três níveis de conhecimento esperados dos estudantes em análise combinatória e cálculo de probabilidades Kelly Mitie Kamiya Pesquisador Marlene Alves Dias Orientador Resumo Neste trabalho apresentaremos de forma sucinta o quadro teórico de nossa pesquisa sobre os três níveis de conhecimento esperados dos estudantes segundo a definição de Aline Robert. Em seguida, apresentaremos a metodologia da pesquisa, assim como a grade de análise construída para avaliar como são tratados estes três níveis de conhecimento em um curso introdutório de análise combinatória e cálculo de probabilidades. Finalmente, apresentaremos exemplos sobre a análise dos livros didáticos e algumas conclusões globais que pudemos retirar deste trabalho. 133 Palavras- chave: Níveis de conhecimento. Análise combinatória. Probabilidade. Ensino. Aprendizagem. Abstract First, we will present in a brief way the theoretical picture of our research on students expected knowledge levels according to Aline Robert s definition. Then, we will present the research methodology, as well as a built analysis grating to evaluate how these three knowledge levels are trated in an introductory course of combinatory analysis and probabilities calculation. Finally, we will present examples on the analysis of the text books and some global conclusions. Key- words: Knowledge levels. Combinatory analysis. Probability. Teaching. Learning.

2 Kelly Mitie Kamiya 1 Introdução 2 Quadro teórico da pesquisa 134 Neste trabalho apresentamos de forma sucinta nossa análise sobre os três níveis de conhecimento esperados dos estudantes em análise combinatória e probabilidade. Iniciamos com o seguinte questionamento: 1) Quai s os questi onamentos matemáti cos necessários em análise combinatória e probabilidade e como eles aparecem na história? 2) Sobre que níveis de conhecimento fundamentar estas necessidades: técnicos, mobilizáveis e disponíveis (segundo A. Robert)? 3) Em que sistema de tarefas e práticas podemos desenvolver estes três níveis de conhecimento? 4) Como estão sendo trabalhados institucionalmente estes diferentes níveis de conhecimento? Para abordar as questões acima fizemos um estudo de alguns trabalhos didáticos e epistemológicos nos quais os três níveis de conhecimento têm um papel central. Analisamos ainda o funcionamento institucional dos três níveis de conhecimento em análise combinatória e probabilidade conforme definição proposta por A. Robert (ROBERT, 1997). Esta análise institucional foi feita através da pesquisa de um conjunto de livros didáticos e sites com proposta para o ensino médio e superior. A partir dos dados recolhidos, identificamos um conjunto de tarefas e práticas que permitem ao estudante trabalhar de forma autônoma em qualquer um dos três níveis. Nos apoiamos principalmente no seguinte: * Nas abordagens teóricas de A. Robert (1997), R. Douady (1992), R. Duval (1995), J. Robinet (1984), M. Rogalski (1995). * Nas diferentes pesquisas em probabilidade e estatística, em particular, nos trabalhos de Henry M. e Rousset- Bert S. (1996) e Pichard J. F. (1997). 2.1 Os três níveis de conhecimento esperados dos estudantes A abordagem teórica dos três níveis de conhecimento esperados dos estudantes será fundamentada na definição de A. Robert, a saber: O nível técnico corresponde a um trabalho isolado, local e concreto. Está relacionado principalmente às ferramentas e definições utilizadas em uma determinada tarefa. Exemplo: Usando o diagrama da árvore, obter todos os arranjos dos elementos de M={ a,b,c,d} tomados dois a dois. (HAZZAN, 1985). O nível mobilizável corresponde a um início de justaposição de saberes de um certo domínio, podendo até corresponder a uma organização, vários métodos podem ser mobilizados. O caráter ferramenta e objeto do conceito estão em jogo, mas o que se questiona é explicitamente pedido. Se um saber é identificado, ele é considerado mobilizado se ele é acessível, isto é, se o estudante o utiliza corretamente.

3 Níveis de conhecimento esperados dos estudantes: análise dos três níveis de conhecimento esperados dos estudantes em análise combinatória e cálculo de probabilidades Exemplo: Lançamos dois dados honestos, um vermelho e um azul. Determine: a) O universo desta prova. b) Descreva o evento A: Nos dois dados saem os mesmos números. E calcule a sua probabilidade. O nível disponível corresponde a saber responder corretamente o que é proposto sem indicações de poder, por exemplo, dar contra-exemplos (encontrar ou criar), mudar de quadro (fazer relações), aplicar métodos não previstos. Este nível de conhecimento está associado à familiaridade, ao conhecimento de situações de referência variadas que o estudante sabe que as conhece (servem de terreno de experimentação), ao fato de dispor de referências, de questionamentos, de uma organização. Podendo funcionar para um único problema ou possibilitando fazer resumos. Exemplo: * Sobre um quadriculado, consideramos os dois pontos O (0,0) e A (n,m). Enumerar trajetórias (caminhos) de O até A. (XUONG, 1992) 3 Metodologias da pesquisa Nesta pesqui sa cruzamos as abordagens seguintes: 1) Uma análise preliminar das diferentes tarefas que intervêm num curso de análise combi natória e probabilidade e os diferentes níveis de conhecimento em jogo nestas tarefas. Com base nesta análise, estudamos o funcionamento institucional, relacionado à articulação dos três níveis de conhecimento (técnico, disponível e mobilizável). 2) Uma análise da forma como estes três níveis são gerados institucionalmente, através da pesquisa de livros didáticos e sites. Observamos as regularidades e diferenças existentes entre os autores e entre alguns livros e sites de nível médio e superior. 4 A grade de análise O propósito desta grade é de servir como um instrumento que permita analisar os diferentes níveis de conhecimento exigido dos estudantes num curso de introdução de análise combinatória e cálculo de probabilidade para o ensino médio e superior. Esta grade permite analisar os três níveis de conhecimento (técnico, mobilizável e disponível) exigido dos estudantes: Em função das noções de análise combinatória e cálculo de probabilidade em jogo, em um curso de introdução; Em função das tarefas encontradas neste nível; Em função das variáveis destas tarefas, daremos ênfase ao nível de conhecimento pedido explicitamente no enunciado e os diferentes níveis de conhecimento de outras noções que devem ser utilizados para a solução da tarefa; Em relação às noções de análise combinatória, agrupamos em quatro classes: a noção de Princípio Fundamental da Contagem a noção de Permutação com e sem repetição a noção de arranjo com e sem repetição 135

4 Kelly Mitie Kamiya 136 a noção de combinação com e sem repetição; Em rel ação às noções de cál cul o de probabilidade, agrupamos em cinco classes: a noção de probabilidade e suas propriedades a noção de variáveis aleatórias discretas a noção de lei (distribuição ou modelo) discreta e suas propriedades a noção de variáveis aleatórias contínuas a noção de lei(distribuição ou modelo) contínua e suas propriedades. Para cada uma destas noções, evidenciamos as diferentes tarefas usualmente encontradas num curso de introdução e quais diferentes níveis de conhecimento são exigidos dos estudantes. Para especificar a tarefa em relação aos diferentes níveis de conhecimento exigidos, consideramos as variáveis das tarefas definidas abaixo: O nível de conhecimento pedido na tarefa; Os regi stros e representações dadas no enunciado; O quadro em que a tarefa é enunciada; Os tipos de representação exigidos na solução da tarefa; Os níveis de conhecimento necessários para a execução da tarefa em relação às noções que serão utilizadas. 4.1 Exemplo de funcionamento da grade em uma tarefa Determinar o número de permutações com repetição de n elementos. Exemplo: Sobre um quadriculado, consideramos os pontos O (0,0) e A (n,m). Enumerar as trajetórias (caminhos) de O até A. (XUONG, 1992). Nesta tarefa particular, as variáveis são as seguintes: * Nível de conhecimento exigido na tarefa: disponível; * Registros de representação dados no enunciado: registro de representação simbólica intrínseca; * Quadro em que a tarefa é enunciada: quadro da análise combinatória; * Tipos de representação exigidos na solução da tarefa: passagem ao registro gráfico que permite verificar a necessidade de n caminhos horizontais e m verticais; * Níveis de conhecimento necessários para a execução da tarefa em relação às noções que serão utilizadas: para a solução desta tarefa todas as noções que serão utilizadas não são indicadas no problema, logo dependem da familiaridade e do conhecimento de situações de referência exigindo, desta forma, o nível disponível para a sua solução. 5 A análise dos livros didáticos Nossa análise foi estruturada em torno das seguintes questões: * Como são introduzidas as diferentes noções e como elas se articulam?

5 Níveis de conhecimento esperados dos estudantes: análise dos três níveis de conhecimento esperados dos estudantes em análise combinatória e cálculo de probabilidades * Que pesos respectivos ocupam os níveis: técnico, disponível e mobilizável nas tarefas propostas aos estudantes? * Existe um discurso do tipo metamatemático no curso e no tratamento dos exemplos que o acompanham que auxilie os estudantes no desenvolvimento dos níveis mobilizável e disponível? 5.1 Exemplos de análise dos livros didáticos A) Análise da obra de S. Hazzan O organograma seguinte mostra a progressão do curso de S. Hazzan, concebido como um curso introdutório de análise combinatória e cálculo de probabilidades, para ser utilizado no ensino médio. Comentários e análise: O autor inicia seu trabalho no quadro da análise combinatória com a noção de Princípio Fundamental da Contagem. Ele desenvolve esta noção utilizando o diagrama da árvore. Após esta introdução, o autor define arranjo com e sem repetição, permutação com e sem repetição, e introduz a noção de fatorial que permite simplificar a notação utilizada. O autor trata somente o caso da combinação sem repetição e os exemplos dados, assim como os exercícios propostos em todo o curso, estão sempre em uma ordem que só exige dos estudantes a aplicação direta de uma definição, isto é, os exemplos e os exercícios são tratados em um nível técnico sendo os níveis mobilizável e disponível associados a outras noções que estão em jogo na tarefa proposta como mostra o exemplo abaixo: 137

6 Kelly Mitie Kamiya 138 Por outro lado cada função vai ser definida por uma n upla de imagens, onde todos os elementos da n upla devem ser distintos, pois a função é injetora. Por exemplo, uma das funções é definida pela n upla de imagens. Outra função é definida pela n upla Logo, o número de funções é o número de arranjos dos r elementos de B, tomados n a n, isto é, A r n r! ( n r)!. (HAZZAN, 1977). O autor propõe como aplicações o binômio de Newton, o triângulo de Pascal e uma série de exercícios que exigem no máximo o nível mobilizável, mesmo assim em relação a noções estudadas anteriormente. Da mesma forma, o autor faz uma introdução ao cálculo de probabilidades apresentando as definições e os principais teoremas e propriedades que são demonstrados utilizando os conceitos de teoria dos conjuntos. Como observado acima, o exemplo e a tarefa proposta exigem, no máximo, o nível mobilizável e mesmo assim relativo às noções anteriormente estudadas.

7 Níveis de conhecimento esperados dos estudantes: análise dos três níveis de conhecimento esperados dos estudantes em análise combinatória e cálculo de probabilidades Na realidade, trata-se de um curso introdutório para os estudantes do ensino médio de análise combinatória e cálculo de probabilidades. B) Análise da obra de Magalhães M. N. e Pedroso Lima A. C. O organograma mostra a progressão do curso de Magalhães e Lima, concebido como um curso introdutório de Probabilidade e Estatística, podendo ser utilizado por diferentes públicos científicos. Comentários e análise: Os autores iniciam com um capítulo de introdução à análise exploratória dos dados no qual procuram dar uma idéia geral do que é estatística e como se organizam os dados com ou sem o uso do computador. Em seguida, os autores fazem uma breve introdução da álgebra dos eventos e definem espaço amostral. A relação entre álgebra dos eventos e álgebra dos conjuntos é feita implicitamente, portanto, fica a cargo dos estudantes dispor dos conhecimentos em álgebra dos conjuntos e associá-los à álgebra dos eventos. Os autores definem probabilidade e utilizam também implicitamente as propriedades dos conjuntos para o caso do cálculo de probabilidades, o que lhes permite defi nir probabi lidade condicional e eventos independentes. Para tratar os exemplos, os autores utilizam a árvore de probabilidade, o diagrama de Venn e um discurso metamatemático que podemos caracterizar como em um nível disponível porque, neste momento, os autores justificam as diferentes passagens utilizando definições e teoremas que não são pedidos no enunciado. O exemplo abaixo permite compreender melhor a necessidade deste apelo ao nível disponível. Exemplo: Suponha que um fabricante de sorvetes recebe 20% de todo o leite que utiliza da fazenda F 1, 30% de uma outra fazenda F 2 e 50% de F 3. Um órgão de fiscalização inspecionou as fazendas de surpresa e observou que 20% do leite produzido por F 1 estava adulterado por adição de água, enquanto que para F 2 e F 3 essa proporção era de 5% e 4%, respectivamente. Na indústria de sorvetes os galões de leite são armazenados em um refrigerador sem identificação das fazendas. Para um galão escolhido ao acaso, vamos analisar o leite e decidir sobre sua adulteração ou não. Se denotamos por A o evento o leite está adulterado, temos que P(A F 1 ) = 0,20, P(A F 2 ) = 0,05 e P(A F 3 ) = 0,02. Além disso, F 1, F 2 e F 3 formam uma partição do espaço amostral, pois uma dada amostra de leite vem, necessariamente, de uma e apenas uma das três fazendas. Desta forma, o evento A pode ser escrito em termos de interseções de A com os eventos F 1, F 2 e F 3, conforme ilustra a figura a seguir: Podemos ainda estar interessados em saber qual a probabilidade de que a amostra adulterada tenha sido obtida do leite fornecido pela fazenda F 1, isto é, P(F 1 A), o que implica em se inverter a probabilidade conhecida P(A F 1 ). (MAGALHÃES; LIMA, p. 46 e 47). 139

8 Kelly Mitie Kamiya Da mesma forma, os autores prosseguem definindo as variáveis aleatórias contínuas e os modelos usuais a elas associados. Para esses modelos, os exemplos dados são sempre acompanhados de um di scurso metamatemático que se desenvolve em um nível mobilizável e disponível em relação às noções em jogo, assim como em relação aos diferentes registros de representações utilizados e às mudanças de quadro e pontos de vista que se mostram necessários para o desenvolvimento das tarefas apresentadas. As tarefas propostas também exigem os níveis mobilizável e disponível e assim como os exercícios resolvidos, em geral, tratam de questões nas quais a modelagem matemática assume um papel fundamental. Nos exemplos dos livros considerados acima, fica evidente a importância dos níveis mobilizável e disponível tanto para a análise combinatória quanto para o cálculo de probabilidades. Nos dois casos, os exemplos e exercícios tratados estão sempre associados a uma descrição da realidade exigindo um trabalho ainda mais complexo que é o da solução de uma tarefa que faz apelo a um modelo matemático. 140

9 Níveis de conhecimento esperados dos estudantes: análise dos três níveis de conhecimento esperados dos estudantes em análise combinatória e cálculo de probabilidades Uma breve conclusão A avaliação do funcionamento institucional através dos livros didáticos de diferentes níveis do Brasil e da França deixa evidente que a análise combinatória não é considerada, de um ponto de vista mais generalizado, nos livros brasileiros como nos livros franceses, onde essas noções são retomadas no superior. Dessa forma, podemos supor que esta escolha poderá conduzir a dificuldades no tratamento de problemas onde os níveis mobilizável e disponível sejam necessários. O estudo do panorama matemático de análise combinatória quando considerado de um ponto de vista mais avançado do que o tratado no ensino médio, mostrase de grande interesse para as articulações de quadro, registro e pontos de vista que permitem o acesso aos três níveis de conhecimento (técnico, mobilizável e disponível). Essas articulações são essenciais para o tratamento de tarefas que ultrapassem uma abordagem que se restringe ao nível técnico de aplicação da análise combinatória. Em relação ao cálculo de probabilidades, a avaliação do funcionamento institucional tende a mostrar que os diferentes livros didáticos propõem abordagens mais ou menos profundas. A abordagem do assunto, com menos prof undi dade, poderá di f i cul tar o desenvolvimento do nível disponível, essencial para o trabalho com os diferentes modelos. Portanto, o desempenho futuro nesse conteúdo depende da escolha bibliográfica feita. A análise das tarefas, tanto de análise combinatória quanto de cálculo de probabilidades, permite identificar uma forte tendência dos níveis mobilizável e disponível e, portanto, uma necessidade de articulação entre quadros, registros e pontos de vista fica cada vez mais evidente. Neste caso, verifica-se uma forte integração entre diferentes conteúdos e disciplinas. 141 Referências DOUADY, R. Des apports de la didactique des mathématiques à l enseignement. Repères IREM, n DUVAL, R. Sémiosis et pensée humaine. Peter Lang, Paris HAZZAN, S. Fundamentos de matemática elementar. 5. ed. São Paulo: Atual, v. 5. HENRY, M.; ROUSSET-BERT, S. Modélisation et registres de représentations. Actes de L universite d ete MAGALHÃES, M. N.; LIMA, A. C. P. Noções de probabilidade e estatística. 3. ed. São Paulo: IME-USP, PICHARD, J. F. La théorie des probabilités au tournant du XVII siècle. Enseigner les probabilités au lycée. IREM ROBERT, A. Quelques outils d analyse épistemologique et didactique de connaissances mathématiques à enseigner au lycée et à l université. Actes de la IX école d ete de didactique dês mathématiques. Houlgate. França ROBINET, J. Ingénierie didactique de l élémentaire au supérieur ROGALSKI, M. Notas du seminaire à São Paulo. Brasil XUONG, N. H. Mathématiques discrets et informatique. Masson. Paris.1992.

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