Matemática Discreta. Aula 01: Análise Combinatória I. Tópico 02: Arranjos com e sem repetição. Solução. Arranjos com Repetição.

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1 Aula 01: Análise Combinatória I Tópico 02: Arranjos com e sem repetição Agora que demos o pontapé inicial aprendendo os Princípios Fundamentais de Contagem com e sem repetições, vamos ver que o restante da matéria fica na verdade bastante simples. As fórmulas serão naturalmente deduzidas a partir do princípio fundamental, facilitando por demais a aprendizagem, e no futuro, o ensino. Este aspecto é fundamental, pois este é um curso de aperfeiçoamento de professores. Melhorar nossa prática profissional é o nosso principal objetivo. Como sempre comecemos com exemplos que é a maneira mais didática e fácil de se começar uma matéria nova. Exemplo 1 Uma urna contém uma bola vermelha (V), uma branca (B) e uma azul (A). Uma bola é extraída, observada sua cor e reposta na urna. Em seguida outra bola é extraída e observada sua cor. Quantas são as possíveis seqüências de cores observadas? Observe que a solução do problema são simplesmente os pares (x, y) onde x, y {V, B, C}. Pelo Princípio Fundamental de Contagem com Repetição, o número de pares é simplesmente 3.3 = 9. Arranjos com Repetição Dado um conjunto M = {a 1, a 2,..., a m } com m elementos. O número de arranjos com repetição dos m elementos tomados r a r, é simplesmente o número de r-uplas que podem se formar com os m elementos. Pelo Princípio Fundamental de Contagem com Repetição, o número de r-uplas é = m r. por: Assim, a fórmula do Arranjo com Repetição de m elementos tomados r a r, (AR) m,r, é dada 1

2 (AR) m,r = = m r. Observação O tamanho dos agrupamentos r deve ser maior ou igual 1. Exemplo 2 Quantos pares de elementos distintos podemos formar com os elementos do conjunto {a, b, c, d}? Novamente, é só aplicar o Princípio Fundamental de Contagem sem Repetição, o número de pares ordenados distintos é dado por: 4.3 = 12. Dica Está esquecido da fórmula dos princípios de contagem? Sempre que necessário recorra ao diagrama de árvore. Diagrama de árvore 2

3 Arranjos Sem Repetição Dado um conjunto M = {a 1, a 2..., a m } com m elementos. Chamamos de Arranjo dos m elementos tomados r a r (1 r m) a qualquer r-upla (seqüência de r elementos) formada com os elementos de M todos distintos. Assim pelo Princípio Fundamental de Contagem sem Repetição, o número de Arranjos de m elementos tomados r a r, A m.r, é dado por: Assim vemos que na verdade a noção de Arranjo não traz nenhum conceito realmente novo, mas simplesmente é uma conseqüência dos Princípios Fundamentais de Contagem com e sem Repetição. Esta é a vantagem de aprendermos não decorando fórmulas, mas entendendo as noções desde suas origens. De agora em diante precisamos resolver exercícios. Como no Tópico passado, vamos apresentar alguns exercícios resolvidos e depois passamos uma lista de exercícios propostos. Exercícios Resolvidos Exemplo 3 De um baralho com 52 cartas, 3 cartas são retiradas sucessivamente e sem reposição. Quantas seqüências de cartas são possíveis de se obter? 3

4 Façamos o diagrama de árvore. Para a primeira carta temos 52 opções. Para a segunda, temos 51 opções (não podemos mais usar a primeira carta), para a terceira carta, temos 50 opções (não podemos usar a primeira e a segunda cartas). Assim, teremos seqüências de cartas possíveis. Exemplo 4 Em um torneio (de dois turnos) do qual participam seis times, quantos jogos são disputados? Note que o jogo A X B é diferente de B X A devido ao mando de campo. É um problema de arranjo sem repetição onde se formam pares ordenados com elementos distintos (um time não joga com ele mesmo), assim temos, 6.5 = 30 jogos diferentes. Exemplo 5 Quatro times disputaram as semi-finais do segundo turno do campeonato cearense de 2008 Ceará, Fortaleza, Ferroviário e Horizonte. Quantas são as possibilidades para os três primeiros lugares? A solução são as triplas ordenadas com elementos distintos formadas pelos quatro times. Pelo Princípio Fundamental da Contagem sem Repetição é dada por: = 24. Podemos resolver também pela fórmula do Arranjo sem repetição com m = 4 e p = 3. A 4,3 = = 24. Exemplo 6 As placas dos carros no Brasil são formadas por três letras seguidas de 04 algarismos. Quantas placas são possíveis? Podemos resolver com dois arranjos com repetição, um para as letras e o outro para os algarismos. Para as letras teremos = e para os algarismos: = Juntando as duas respostas teremos: = Portanto, pode-se emplacar até aproximadamente 180 milhões de carros que é um número muito maior que o número de carros existentes no Brasil. Por que 4

5 se multiplicam os dois números? Note que para cada terno de letras, exemplo, HXM, temos números para formarmos placas distintas. Como são combinações de letras, ao todo teremos, placas distintas. etapas. Note-se que se pode resolver diretamente este exercício pelo diagrama de árvores em cinco Exemplo 7 Fichas podem ser azuis, vermelhas ou amarelas; circulares, retangulares ou triangulares; finas ou grossas. Quantos tipos de fichas existem? Observe que cada ficha é uma tripla com três atributos (cor, forma, espessura). Assim o problema mais uma vez reduz-se a uma aplicação do Princípio Fundamental de Contagem. O número de triplas é: = 18. Exercícios Propostos Exercitando 1 E25 Usando o diagrama da árvore, obter todos os arranjos dos elementos de M = {a,b,c,d} tomados 2 a 2. Exercitando 2 E26 Calcule: a) A 6,3 b) A 10,4 c) A 20,1 d) A 12,2 Exercitando 3 E.27 Em um campeonato de futebol participam 20 times. Quantos resultados são possíveis para os três primeiros lugares? 5

6 Exercitando 4 E47 Com os dígitos 2, 5, 6, 7 quantos números formados por 3 dígitos distintos ou não são divisíveis por 5? E se forem 3 distintos? Exercitando 5 E56 De quantas formas podemos colocar 8 torres num tabuleiro de xadrez de modo que nenhuma torre possa capturar outra? Exercitando 6 E71 Obter m na equação (m + 2)! = 72 * m! Atividade de Portfólio Entregue no portfólio da aula 1: os exercitandos 2, 3 e 4 do tópico 01 e os exercitandos 3, 4 e 5 do tópico 02. 6