Introdução à Estatística. Segundo Semestre/2018

Transcrição

1 Introdução à Estatística Segundo Semestre/2018

2 Probabilidade Sua origem está relacionada a jogos de azar; Exemplo: Jogo de dados; Retirar uma carta de um baralho; Lançar uma moeda;...

3 Probabilidade Normalmente é impossível identificar com certeza o resultado de um evento futuro: Qual lado da moeda vai sair, A carta que vou puxar do baralho será de qual naipe, Com quantos anos determinada pessoa vai morrer, De qual sexo será o primeiro filho de determinado casal, Determinada pessoa vai desenvolver diabetes,... Usando a teoria da probabilidade, é possível quantificar a chance de um evento ocorrer.

4 Experimentos Aleatórios efenômenos Aleatórios Experimento aleatório: Experimentos que quando repetidos, nas mesmas condições, produzem diferentes resultados: Jogar um dado numa superfície plana; Retirar uma carta de um baralho;... Fenômeno aleatório: Situações ou acontecimentos cujos resultados não podem ser previstos com certeza: Condições climáticas do próximo domingo; Taxa de inflação do próximo mês;...

5 Espaço Amostral O conjunto de resultados possíveis, relacionado a um experimento, é denominado espaço amostral (representado pela letra Ω). Exemplos: Lançamento de um dado (Existem 6 resultados possíveis) Ω : {1, 2, 3, 4, 5, 6}; Retirar uma carta de um baralho (Existem 52 resultados possíveis -são 13 cartas de cada naipe e 4 naipes). Ω : {Ás de Copas, Ás de Ouros,..., Rei de Paus, Rei de Espadas}. Lançar uma moeda (Existem 2 resultados possíveis). Ω : {Cara, Coroa}.

6 Eventos Um evento pode se referir a um único resultado, ou a um subconjunto de resultados, pertencente à um espaço amostral Ω(representado pelas letras,, ); Lançamento de um dado: :{sair 5}; : {sair um valor menor do que 3}. Retirar uma carta de um baralho: : {Sair um 3 de espadas}; : {Sair uma carta de paus}. Lançar uma moeda: : {sair cara}; : {sair coroa}.

7 Exercício 1 Defina um espaço amostral para cada um dos seguintes experimentos aleatórios: Num hospital, conta-se o número de pacientes atendidos num intervalo de uma hora; Investigam-se famílias com três crianças, anotando-se a configuração segundo o sexo; Mede-se a duração de tubos de oxigênio, até que se esvaziem.

8 Exemplo: Evento Nulo e Evento Certo Lançamento de um dado: : {sair um número menor ou igual a 6} Evento Certo; : {sair um valor menor do que 1} Evento Nulo. Retirar uma carta de um baralho: : {Sair uma carta de paus, ou de ouros ou de espadas ou de copas} Evento Certo; : {Sair um 14 de paus} Evento Nulo. Lançar uma moeda: : {sair cara ou coroa} Evento Certo; : {sair o número 13} Evento Nulo.

9 Operações entre Eventos Teoria dos Conjuntos A reunião de dois eventos é denotada por: ; A interseção entre dois eventos é dada por: ; O complementar do evento, denotado por, é o evento que ocorre quando não ocorre; ; ; ;.

10 Operações entre Eventos Teoria dos Conjuntos

11 Eventos Mutuamente Exclusivos Eventos mutuamente exclusivos são aqueles que jamais podem ocorrer ao mesmo tempo. Exemplo: Lançamento de um dado: Evento A = sair 2; Evento B = sair um valor maior do que 4.

12 Exercício 2 Sendo A e B dois eventos em um mesmo espaço amostral traduza para a linguagem da Teoria dos Conjuntos, as seguintes situações: Pelo menos um dos eventos ocorre; O evento A ocorre, mas B não; Nenhum deles ocorre; Exatamente um dos eventos ocorre.

13 Exercício 3 Considere os eventos, e (definidos abaixo) relativos ao espaço amostral Ω definido no Exercício Encontre os conjuntos:,,,,.

14 Frequência Relativa Suponha que o experimento tenha sido repetido vezes; Sejam os eventos e associados ao experimento ; Considerando-se que os eventos e tenham ocorrido e vezes, respectivamente, dentro das repetições de.

15 Frequência Relativa Definição: repetições de. Propriedades de : 0 1; é denominada frequência relativado evento nas 1se, e somente se, ocorrer em todas as repetições de ; 0se, e somente se, nunca ocorrer nas repetições de ; Se e forem eventos mutuamente excludentes, e se for a frequência relativa associada ao evento, então, ;, com base em repetições do experimento, é considerada como uma função de, que converge em certo sentido probabilístico para, quando.

16 Noções Fundamentais de Probabilidade Definição: Seja um experimento. Seja Ωum espaço amostral associado a. A cada evento associaremos um número real representado por e denominado probabilidadede!, que satisfaça às seguintes propriedades: 0 1; Ω 1; Se e forem eventos mutuamente excludentes, então, ; Se ", #,, forem, dois a dois, eventos mutuamente excludentes, então, %&" % %&" %.

17 Espaço Amostral Finito A princípio, iremos considerar, apenas, experimentos cujos espaços amostrais sejam finitos. ( ) ",) #,,) *

18 Espaço Amostral Finito Para encontrar nesses casos, é necessário, inicialmente, considerar o evento formado por um resultado simples evento simples, ou elementar ) %. A cada evento simples ) % será associado um valor + %, denominado probabilidade de ) %, que satisfaça as seguintes condições: + %,0, -1,2,,.; + " + # + * 1. Em seguida pode se considerar um evento 0 constituído por 1resultados, com ) 02,) 03,,) 04, consequentemente:

19 Exercício 4 Suponha-se que somente três resultados sejam possíveis em um determinado experimento aleatório, a saber, ) ", ) # e ). Além disso, suponha-se que ) " seja duas vezes mais provável de ocorrer que ) #, e que ) # seja duas vezes mais provável de ocorrer que ). Quais as probabilidades de ) ", ) # e ), cada, ocorrerem?

20 Resultados Igualmente Verossímeis A hipótese mais comumente feita para espaços amostrais finitos é a de que todos os resultados sejam igualmente verossímeis. Essa hipótese não deve ser tomada como certa, mas sim justificada para cada caso. Se todos os.resultados forem igualmente verossímeis, segue-se que cada probabilidade será dada por + % ". * + %,0,-1,2,,.; + % ", para quaisquer -e >, com,-,>1,2,,. * + " + # + *..+.. " * 1. Logo, para qualquer evento formado por 1 resultados, tem-se: C *. DúFGHI JG KLMIM NLOIHáOGQM L RGSIM TULQM V RIJG IKIHHGH DúFGHI WIWLS JG KLMIM RGSIM TULQM V RIJG IKIHHGH.

21 Exercício 5 Em uma universidade, 2000 estudantes do curso de medicina, em determinado ano, foram classificados de acordo com o tipo de esporte que praticam. Futebol é praticado por 260 estudantes, natação por 185 estudantes e musculação por 210 estudantes, sendo que alguns estudantes praticam mais de um desses esportes. Assim, tem-se 42 estudantes que praticam natação e musculação, 12 futebol e musculação, 18 futebol e natação e 3 praticam as três modalidades. Se um desses estudantes é sorteado ao acaso, qual é a probabilidade de: Praticar somente musculação; Praticar pelo menos um destes esportes; Praticar pelo menos dois destes esportes; Não praticar nenhum destes esportes.

22 Algumas Propriedades 1; Ω 0; 1X. 1 X

23 Algumas Propriedades X ; = + + -

24 Eventos Mutuamente Exclusivos. = +

25 Exercício 6 Sejam e dois eventos em um mesmo espaço amostral, tais que 0,2, +, 0,5 e 0,1. Determine o valor de +.

26 Probabilidade Condicional Muitas vezes existe o interesse em determinar a probabilidade de um evento, dado que já se conhece o resultado de um outro evento A; A probabilidade de ocorrer o evento, dado que ocorreu o evento A é dada pela seguinte expressão: [ [, desde que 0. Para 0, temos \].

27 Exercício 7 Em um estudo feito com 15 pessoas, foram coletadas informações sobre o estilo de vida de cada um (sedentário ou não) e sobre o peso de cada um (obeso ou não). Foi observado 5 pessoas obesas e 9 sedentárias; dentre as 5 pessoas obesas, 4 foram classificadas como sedentárias. Qual a probabilidade de: Um indivíduo ser obeso e sedentário; Um indivíduo ser obeso ou sedentário; Um indivíduo ser obeso dado que ele é sedentário; Um indivíduo ser sedentário dado que ele é obeso;

28 Regra Multiplicativa Sai diretamente da probabilidade condicional:. Essa regra é de grande utilidade na verificação de dependência entre os eventos envolvidos.

29 Eventos Independentes Dois eventos são considerados independentes quando a ocorrência de um não influencia na ocorrência ou nãoocorrência do outro; Logo, se dois eventos, e, são independentes tem-se: e ; Ou seja,. OBS: Os termos mutuamente exclusivos e independentes não são sinonimos; basta lembrar que eventos mutuamente exclusivos não possuem interseção.

30 Exercício 8 Considere as situações dadas abaixo. Identifique se os eventos são mutuamente exclusivos ou independentes. Evento A: O primeiro filho de um casal ser menina; Evento B: O segundo filho de um casal ser menina. Evento A: Um indivíduo, de determinada população, ter o tipo sanguíneo A; Evento B: Um indivíduo, de determinada população, ter o tipo sanguíneo O. Considere dois eventos, A e B, dado que 0,8, 0,5e 0,4.

31 Partição do Espaço Amostral Uma partição do espaço amostral é dada por um conjunto de eventos mutuamente exclusivos que quando unidos formam o espaço amostral: # b " e a d c a Ω *&" *

32 Exemplo Suponha que um fabricante de sorvetes recebe 20% de todo o leite que utiliza de uma fazenda f ", 30% de uma outra fazenda f # e 50% de f. Um órgão de fiscalização inspecionou as fazendas de surpresa e observou que 20% do leite produzido por f " estava adulterado por adição de água, enquanto que para f # e f, essa proporção era de 5% e 2%, respectivamente. Na indústria de sorvetes os galões de leite são armazenados em um refrigerador sem identificação das fazendas. Para um galão escolhido ao acaso, vamos analisar o leite para decidir sobre sua adulteração ou não.

33 Exemplo Se denotarmos por o evento o leite está adulterado, temos: f " 0,20e f " 0,20 f # 0,30e f # 0,05 f # 0,50e f 0,02 Além disso, f ", f # e f formam uma partição do espaço amostral, já que uma dada amostra de leite vem, necessariamente, de uma e apenas uma das três fazendas.

34 Teorema da Probabilidade Total Dado um evento e uma partição do espaço amostra ",, * tem-se: # b " e a d c *&" * *&" * *

35 Exemplo Temos as seguintes informações do enunciado: f " 0,20e f " 0,20 f # 0,30e f # 0,05 f # 0,50e f 0,02 Queremos saber a probabilidade do evento o leite está adulterado ocorrer: f " f # f f " \f " ] f # \f # ] f \f ) 0,20 0,200,05 0,300,02 0,50 0,040,0150,01 0,065

36 Teorema de Bayes Dado um evento e uma partição do espaço amostra ",, * tem-se: # b " e a d c * [ i [ [ i [ i j [ i [ i ik2

37 Exemplo Podemos, ainda, estar interessados em saber qual a probabilidade de que a amostra adulterada ter sido obtida do leite fornecido pela fazenda f ", ou seja, \f " ]: f " [ l 2 [\] f " [ l 2 [\l 2 ] [ l 2 [\l 2 ]m[ l 3 [\l 3 ]m[ l n [\l n ] o,#o o,#o f " o,#o o,#omo,oc o,omo,o# o,co f " o,ob 0,615 o,odc

38 Exercício 9 Três candidatos disputam as eleições para o Governo do Estado. O candidato do partido de direita tem 30% da preferência eleitoral, o de centro tem 30% e o da esquerda 40%. Em sendo eleito, a probabilidade de dar, efetivamente, prioridade para Educação e Saúde é de 0,4; 0,6 e 0,9 para os candidatos de direita, centro e esquerda, respectivamente. Qual é a probabilidade de não ser dada prioridade a essas áreas no próximo governo? Se a área teve prioridade, qual a probabilidade do candidato de direita ter ganho a eleição?