Sumário. 2 Índice Remissivo 9

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2 Sumário 1 Teoria dos Conjuntos e Contagem Teoria dos Conjuntos Comparação entre conjuntos União de conjuntos Interseção de conjuntos Diferença entre conjuntos Complementar de um conjunto Propriedades entre as relações entre conjuntos Contagem Regra da multiplicação Regra da adição Permutação Arranjos Combinações Binômio de Newton Índice Remissivo 9 ii

3 Capítulo 1 Teoria dos Conjuntos e Contagem O objetivo deste capítulo é apresentar os pré-requisitos necessários para estudar probabilidade. 1.1 Teoria dos Conjuntos Conjunto é uma coleção de objetos. A natureza desses objetos é arbitrária, ou seja, podemos ter conjunto de qualquer coisa. Por exemplo, podemos ter conjuntos de pessoas; conjuntos de números; conjuntos de letras; podemos ter até conjuntos de conjuntos! Nós representaremos conjuntos por letras maiúsculas A,B,C,... Chamamos os objetos que formam o conjunto de elementos. Assim, para descrever um conjunto, basta listar seus elementos. Existem três maneiras de descrever os elementos de um conjunto A: Listando os elementos. Por exemplo, A = {1,2,3,4,...}; Descrevendo os elementos. Por exemplo, A é o conjunto de todos os números inteiros; Colocando condições. A = {x;x é número real e 0 x 1}. Nota É importante observar a notação. Sempre escreveremos os elementos que formam um conjunto entre chaves. O ponto-e-vírgula, quando estiver entre chaves deve ser lido como tal que. Por exemplo, no conjunto A = {x;x é número real e 0 x 1}, lemos, A é o conjunto dos números reais tais que 0 x 1. Quando o objeto x é elemento do conjunto A, dizemos que x pertence a A, e escrevemos x A. Analogamente, se x não é elemento do conjunto A, dizemos que x não pertence a A, e escrevemos x / A. Existe um conjunto que não possui nenhum elemento. Esse conjunto especial é chamado de conjunto vazio e é denotado por /0. Importante É muito importante notar que o conjunto vazio /0 não possui nenhum elemento, portanto não há chaves na sua notação. O conjunto {/0} NÃO é o conjunto vazio, e sim um conjunto com um elemento, e esse elemento é o conjunto vazio. 1 / 9

4 1.1.1 Comparação entre conjuntos Sejam A e B dois conjuntos. Dizemos que A é subconjunto de B, e escrevemos, A B se todo elemento de A é elemento de B. Ou seja, se sempre que x A, temos que x B. Se existe x A tal que x / B, dizemos que A não é subconjunto de B, e escrevemos A B. Exemplo 1.1 Exemplo de comparação entre conjuntos Sejam A = {1,2,3,4,5}, B = {2,4} e C = {3,5,7}. Então, temos que B A, mas C A, A C, A B, C B e B C. Exercício Mostre que para todo conjunto A, o conjunto vazio é subconjunto de A, ou seja, que /0 A. Solução Suponha que /0 A, então por definição, isso significa que existe x /0 tal que x A. Como /0 não possui nenhum elemento, é impossível encontrar o tal elemento x. Portanto, a afirmação /0 A é falsa. Isso mostra que /0 A. Definição: Igualdade de conjuntos Dizemos que os conjuntos A e B são iguais, e escrevemos A = B, se todo elemento de A é elemento de B e todo elemento de B é elemento de A. Equivalentemente, temos que A = B se, e somente se, A B e B A União de conjuntos Suponha que temos dois conjuntos A e B. Podemos definir um terceiro conjunto, chamado de conjunto união de A e B, formado pelos elementos de A e pelos elementos de B. Matematicamente, escrevemos A B = {x;x A ou x B}. Exemplo 1.2 Exemplo de união de conjuntos Sejam A = {1,2,3,4,5}, B = {2,4} e C = {3,5,7}. Então, A B = {1,2,3,4,5}, Nota Se A B, então todo elemento de A já é elemento de B, e portanto A B = B. De maneira geral, dados conjuntos A 1,A 2,A 3,..., definimos o conjunto formado pela união dos conjuntos A 1,A 2,..., como o conjunto que contém todos os elementos de A 1, de A 2, etc.. Matematicamente, temos: A i = {x;existe i tal que x A i }. i=1 2 / 9

5 Exercício Forneça a definição da união de n conjuntos A 1,A 2,...,A n. Solução Definimos a união de n conjuntos A 1,...,A n, como o conjunto formado pelos elementos de A 1,...,A n, ou seja, é o conjunto n A i = {x;x A 1 ou x A 2,..., ou x A n }. i= Interseção de conjuntos Suponha que temos dois conjuntos A e B. Considere agora o conjunto formado pelos objetos que são elementos de A e também são elementos de B. Este conjunto é chamado de conjunto interseção de A e B. Escrevemos este conjunto, matematicamente, como A B = {x;x A e x B}. Exemplo 1.3 Exemplo de interseção de conjuntos Sejam A = {1,2,3,4,5}, B = {2,4} e C = {3,5,7}. Então, A B = {2,4}, A C = {3,5} e B C = /0. Nota Se A B, então todo elemento de A é elemento de B, assim os elementos que estão em A e B, são os elementos de A. Ou seja, A B = A. De maneira geral, dados conjuntos A 1,A 2,A 3,..., definimos a interseção entre os conjuntos A 1,A 2,A 3,... como o conjunto formado pelos elementos que estão simultaneamente em todos os conjuntos. Escrevemos esse conjunto matematicamente como A i = {x;x A 1,x A 2,...}. i=1 Exercício Forneça a definição da interseção de n conjuntos A 1,A 2,...,A n. Solução Definimos a interseção de n conjuntos A 1,...,A n, como o conjunto formado pelos elementos que estão simultaneamente A 1,...,A n, ou seja, é o conjunto n A i = {x;x A 1 e x A 2,..., e x A n }. i=1 3 / 9

6 1.1.4 Diferença entre conjuntos Suponha que temos dois conjuntos A e B. Considere agora o conjunto formado por objetos que são elementos de B, mas não são elementos de A. Esse conjunto é chamado de B menos A, e é denotado por B \ A. Matematicamente, temos B \ A = {x;x B e x / A}. Exemplo 1.4 Exemplo de diferença de conjuntos Sejam A = {1,2,3,4,5}, B = {2,4} e C = {3,5,7}. Então, A \ B = {1,3,5}, A \C = {1,2,4}, B \C = {2,4}, B \ A = /0, C \ A = {7} e C \ B = {3,5,7} Complementar de um conjunto Um caso particular e importante de diferenças de conjunto é o complementar. Esta definição é particularmente útil no curso de probabilidade. Suponha que temos um conjunto de referência, digamos M. Dado qualquer conjunto A M, definimos o complementar de A (em M), como o conjunto A c = M \ A. Atenção Quando está claro no contexto quem é o conjunto de referência, o conjunto A c é referido apenas como complementar de A. O complementar de A é descrito como o conjunto dos elementos que não pertencem a A. Fica claro que é o conjunto dos elementos que não pertencem a A, mas pertencem ao conjunto de referência M Propriedades entre as relações entre conjuntos Valem as seguintes identidades entre união, interseção e complementação entre conjuntos:\\ A (B C) = (A B) (A C); A (B C) = (A B) (A C); A /0 = /0; A /0 = A; (A B) c = A c B c ; (A B) c = A c B c ; (A c ) c = A. 1.2 Contagem Vamos agora introduzir técnicas de contagem. 4 / 9

7 1.2.1 Regra da multiplicação A primeira técnica é conhecida como regra da multiplicação. Para ilustrar a técnica, considere o seguinte exemplo: Exemplo 1.5 Exemplo para ilustrar a regra da multiplicação Fernando possui 10 pares de meias e 3 pares de sapatos. Sabendo que Fernando pode utilizar qualquer par de meia com qualquer sapato, de quantas formas diferentes, ele pode combinar pares de meias com sapatos? Vamos começar colocando rótulos nos sapatos: sapato 1, sapato 2 e sapato 3. O sapato 1 pode ser usado com 10 pares de meias; o sapato 2 também pode ser usado com 10 pares de meias; e o sapato 3 também pode ser usado com 10 pares de meias. Portanto, como Fernando pode utilizar o sapato 1, o sapato 2 e o sapato 3, ele poderá fazer = 30 combinações diferentes entre pares de meias e sapatos. Resumindo, cada sapato pode ser associado a 10 pares de meias, e como temos 3 sapatos, o total de combinações é 30 = Por isso o nome regra da multiplicação. Pois multiplicamos o número de sapatos pelo número de pares de meias. A regra geral é dada por: Regra da multiplicação Suponha que temos 2 tipos de objetos: tipo 1 e tipo 2. Suponha que cada objeto do tipo 1 pode ser combinado com todos os objetos do tipo 2. Assim, se temos n objetos de tipo 1 e m objetos de tipo 2, teremos n m combinações possíveis entre objetos de tipo 1 e objetos de tipo Regra da adição Vamos agora ilustrar outra técnica de contagem, que é conhecida como a regra da adição. motivar, considere o seguinte exemplo: Para Exemplo 1.6 Exemplo para ilustrar a regra da adição Paulo tem 15 blusas de manga comprida e 10 blusas de manga curta e apenas uma calça. Sabendo que Paulo não usa duas blusas ao mesmo tempo, de quantas formas ele pode se vestir? Como Paulo só possui uma calça, o que determina a quantidade de formas de se vestir é a quantidade de blusas. Como Paulo possui 25 = blusas, segue que Paulo pode se vestir de 25 formas diferentes. Assim, como Paulo não pode usar uma blusa de manga comprida e outra de manga curta ao mesmo tempo, segue que temos que escolher uma única blusa entre o total de blusas que é dada pela soma entre a quantidades de blusas de manga comprida e blusas de manga curta. A regra geral é dada por: Regra da adição Suponha que temos objetos de dois tipos, digamos tipo 1 e tipo 2. Suponha que temos n objetos do tipo 1 e m objetos do tipo 2. Temos então n + m formas de escolher um objeto (de qualquer tipo) entre os objetos disponíveis. 5 / 9

8 Outra forma de escrever essa regra é a seguinte: suponha que temos n formas de executar uma tarefa usando o procedimento 1, e m formas de executar essa mesma tarefa usando o procedimento 2. Sabendo que não podemos usar os dois procedimentos conjuntamente, esta tarefa pode ser realizada de n + m formas diferentes Permutação Suponha que temos k objetos organizados em uma determinada ordem. Se mudarmos a ordem em que estes objetos estão colocados, dizemos que fizemos uma permutação entre esses objetos. Uma pergunta importante é saber qual o número de permutações possíveis entre estes k objetos. Para ilustrarmos a ideia considere o seguinte exemplo: Exemplo 1.7 Exemplo de permutações Quantas filas diferentes podemos formar com Pedro, Paulo, Carlos e João? Também poderíamos escrever a pergunta como: Qual o número de permutações possíveis entre quatro pessoas? Vamos enumerar as posições: primeira, segunda, terceira e quarta. Para a primeira posição temos 4 escolhas possíveis. Agora, supondo que já escolhemos a primeira posição, qualquer que seja a primeira pessoa escolhida, temos possibilidades para a segunda posição. Analogamente, temos 2 possibilidades para a terceira posição e apenas uma para a quarta. Pela regra da multiplicação, temos = 24 possibilidades. Notação O número n! é chamado de fatorial de n e é dado por n! = n (n 1) (n 2) Por exemplo, 6! = No exemplo anterior, o número de possibilidades é 4! = 24. Finalmente, temos a regra da permutação: Permutações Suponha que temos n objetos, então o número de permutações desses n objetos é n! Arranjos Suponha que temos n objetos, de quantas formas podemos escolher k objetos entre esses n objetos, sabendo que a ordem em que esses objetos são escolhidos importa? O número de formas é chamado de número de arranjos. Considere o seguinte exemplo: Exemplo 1.8 Exemplo de arranjos Suponha que uma corrida de rua tem 1000 atletas inscritos. Quantos pódios podemos formar com esses 1000 atletas? Um pódio consiste de três pessoas, ordenadas pelo campeão, vice-campeão e terceiro lugar. Assim, temos 1000 formas de escolher o campeão, 999 formas de escolher o vice-campeão e 998 formas de 6 / 9

9 escolher o terceiro lugar. Portanto, temos pódios possíveis. Note que = 1000! 997!. Assim, a regra dos arranjos é: Arranjo Suponha que temos n objetos disponíveis. Então, o número de formas de escolher k objetos, onde a ordem em que os objetos foram escolhidos importa, é dada por A n,k = n! (n k)!. No exemplo anterior, podemos pensar nas pessoas como 1000 objetos, e queríamos escolher 3 objetos, onde a ordem importa (a ordem determina o campeão, vice-campeão e terceiro lugar), e portanto o número de formas é A 1000,3 = 1000! 997! Combinações Suponha que estamos no mesmo cenário dos arranjos, ou seja, temos n objetos e queremos escolher k objetos. Entretanto, suponha que a ordem não importa mais. Assim, só estamos interessados no número de formas de escolher os k objetos, mas a ordem em particular pela qual os objetos foram escolhidos não importa. O número de tais formas é dado pelo número de combinações possíveis. Considere o seguinte exemplo: Exemplo 1.9 Exemplo de combinações Suponha que uma empresa possui 1000 funcionários, e que o presidente da empresa gostaria de saber o número de equipes de 3 pessoas que podem ser formadas com esses 1000 funcionários. Qual o número que o presidente procura? Note que este exemplo é muito parecido com o dos arranjos, inclusive temos 1000 objetos e queremos escolher 3. Entretanto o fato da ordem não importar muda tudo. Como em uma equipe a ordem das pessoas não importa, devemos levar essa informação em consideração. Vamos então fingir que a ordem importa, então a quantidade de formas seria A 1000,3 = 1000! 997!. Observe agora que para cada equipe de formada por 3 pessoas, temos 3! pódios possíveis a se formar. Desta forma, se C é o número de equipes de 3 pessoas que podemos formar com 1000 funcionários, então 3! C é o número de pódios que podemos formar com 1000 pessoas, pois cada equipe fornece 3! pódios (aqui utilizamos a regra da multiplicação). Como sabemos que o número de pódios possíveis é A 1000,3 = 1000! 997!, segue que C = A 1000,3 3! = 1000! 3!997!. Assim, temos a regra geral das combinações: Combinação Suponha que temos n objetos e queremos escolher k objetos, onde a ordem em que os objetos foram escolhidos não importa. Então temos C n,k = n! k!(n k)! formas de escolher esses k objetos. C n,k é chamado o número de combinações de n, k-a-k. 7 / 9

10 Nota ( n) Este número de combinações possui uma notação especial, a saber, k = n! k!(n k)!, e são chamados de coeficientes binomiais. Cuidado Observe que em geral o número de arranjos é bem maior que o número de combinações. De fato, temos que A n,k = k!c n,k. Portanto, é importante não confundir arranjos com combinações porque os resultados podem ser muito diferentes Binômio de Newton Sejam a,b números reais, e seja n um número natural. Então, temos que (a + b) n = (a + b)(a + b) (a + b). }{{} n termos É fácil saber, pela distributividade, que o resultado da multiplicação será uma soma da forma: (a + b) n = (a + b) (a + b) = C 0 a n +C 1 a n 1 b + C n b n. Assim, queremos determinar quais são os valores de C i, para i = 0,...,n. Observe que C i é o número de termos da forma a n i b i que aparecem após a expansão do termo (a + b) n. Este número é dado pelo número de formas em que podemos escolher (n i) parcelas da multiplicação iguais a a (automaticamente as i parcelas restantes serão de termos iguais a b). Como a ordem das parcelas não importa, o número de formas é justamente o número de combinações de n, (n i)-a-(n i), e é dado por C i = C n,(n i) = n! (n i)!i! = C n,i = ( n i). Portanto, temos a fórmula do binômio de Newton: ( ) ( n n (a + b) n = a n i ) a n i b i + + ( ) n b n = n n i=0 ( ) n a n i b i. i 8 / 9

11 Capítulo 2 Índice Remissivo A Arranjos, 6 B Binômio de Newton, 8 C Coeficientes Binomiais, 8 Combinações, 7 Complementar, 4 Conjunto, 1 Complementar, 4 Diferença, 4 Elemento, 1 Igualdade, 2 Interseção, 3 Subconjunto, 2 União, 2 Vazio, 1 Contagem Regra da adição, 5 Regra da multiplicação, 5 S Subconjunto, 2 U União, 2 V Vazio, 1 D Diferença, 4 E Elemento, 1 I Igualdade, 2 Interseção, 3 P Permutação, 6 R Regra da adição, 5 Regra da multiplicação, 5 9 / 9