UM ESTUDO DIDÁTICO DAS CÔNICAS: quadros, registros e pontos de vista. GD 3- Educação Matemática no Ensino médio. Resumo

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1 UM ESTUDO DIDÁTICO DAS CÔNICAS: quadros, registros e pontos de vista Carlos Alberto Fernandes de Siqueira 1 GD 3- Educação Matemática no Ensino médio Resumo Este trabalho tem por objetivo apresentar uma problemática de pesquisa que será desenvolvida no mestrado com o intuito de construir um estudo didático de cônicas a partir do conceito de quadros de Douady (1986), dos registros de representação semiótica de Duval (1995) e de pontos de vista de Rogalski (1995) de acordo com o delineamento de uma pesquisa bibliográfica no sentido de Gil (2010). Neste contexto buscamos responder a seguinte questão de pesquisa: Quais são os quadros, os pontos de vista e os registros de representação semiótica que podem ser mobilizados para estudar as cônicas? Para respondê-la pretendemos estudar as cônicas a partir de seus diferentes registros de representação semiótica, explicitando tratamentos e conversões, a partir dos quadros da geometria e da geometria analítica e caracterizar as cônicas por diferentes pontos de vista. Palavras-chave: Cônicas; Quadros; Registros de Representação Semiótica; Pontos de Vista. Introdução Este artigo tem por objetivo apresentar a problemática da dissertação de mestrado que será desenvolvida em torno do objeto matemático cônicas tendo por base o conceito de quadros de Douady (1986), de pontos de vista de Rogalski (1995) e de registros de representação semiótica de Duval (1995) e terá o delineamento de uma pesquisa bibliográfica no sentido de Gil (2010). A noção de quadros é importante na resolução de problemas, pois, de acordo com Almouloud (2007, p. 78), Régine Douady propôs essa noção e a dialética ferramenta objeto ao observar pesquisadores de matemática em ação na resolução de problemas e afirma que de fato, na atividade de pesquisa para resolver um problema, a mudança de quadro, ou seja, uma mudança de contexto ou de modelo teórico é, às vezes, uma mudança decisiva. Esta teoria distingue, para um conceito matemático, o polo ferramenta e o polo objeto, explicitando o campo de atuação de cada um deles. 1 Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, calbertofisica@yahoo.com.br, orientadora: Dra. Maria José Ferreira da Silva.

2 Assim, digamos que um conceito é ferramenta quando nos interessamos no uso que está sendo feito dele para resolver um problema. Uma ferramenta pode ser adaptada para diferentes problemas. Por objeto, entendemos o objeto cultural colocado em um edifício mais amplo, que é o do saber sábio num dado momento reconhecido socialmente (DOUADY, 1986, p. 9, apud ALMOULOUD, 2007, p. 62). Desta forma, a autora evidencia a importância das mudanças de quadro, uma vez que em quadros diferentes é possível mobilizar ferramentas diferentes para resolver o problema. A autora caracteriza um quadro como sendo: Constituído de ferramentas de uma parte da matemática, de relações entre os objetos, de formulações eventualmente diferentes e de imagens mentais associadas a essas ferramentas e relações. Dois quadros podem ter os mesmos objetos e ser diferentes por causa das imagens mentais e da problemática desenvolvida (DOUADY, 1993, p. 389, apud ALMOULOUD, 2007, p. 64). Uma mudança de quadros, para a resolução de um problema, pode ser uma estratégia fundamental e importante tal como explicitado nesta teoria. Neste sentido, as atividades propostas pelo professor ou em livros didáticos devem considerar o jogo de quadros. Isto é, prever possíveis mudanças de quadros ou de domínio. Por outro lado, a teoria dos registros de representação semiótica concebida pelo filósofo e psicólogo francês Raymond Duval, em seus estudos relativos à psicologia cognitiva, vem contribuindo fortemente para o desenvolvimento de pesquisas em didática da matemática, uma vez que os objetos de estudo desta área de conhecimento recorrem a notações simbólicas, gráficos, tabelas, figuras, esquemas, etc como seus representantes. Contudo, segundo Duval (2009), para se ter compreensão em matemática, é necessário distinguirmos um objeto de sua representação e explica: Toda confusão entre o objeto e sua representação provoca, com o decorrer do tempo, uma perda de compreensão. Os conhecimentos adquiridos tornam-se rapidamente inutilizáveis fora de seus contextos de aprendizagem: sejam por falta de atenção, seja por que eles tornam-se representações inertes não sugerindo tratamento produtor. Por sua pluralidade potencial, as diversas representações semióticas dos objetos matemáticos seriam secundárias e extrínsecas à aprendizagem conceitual dos objetos Duval (2009, p. 14). Outra situação, de acordo com o pesquisador, refere-se à existência de representações mentais para as quais as representações semióticas estariam subordinadas observando apenas a função de comunicação. Entretanto, ele afirma que para começar, em matemáticas, as representações semióticas não são somente indispensáveis para fins de comunicação, elas são necessárias ao desenvolvimento da atividade matemática Duval (2009, p. 15).

3 Desta forma, o autor explica o funcionamento cognitivo do pensamento a partir das noções de noésis e semiósis afirmando que: Se chamarmos de semíoses a apreensão ou a produção de uma representação semiótica, e noésis os atos cognitivos como apreensão conceitual de um objeto, a discriminação de uma diferença ou a de uma inferência, pareceria então evidente admitir que a noésis é independente da semíoses ou, pelo menos, a dirige Duval (2009, p. 15). Sendo assim, Duval (2009, p. 17) afirma não há noésis sem semíoses, é a semíoses que determina as condições de possibilidade e de exercício da noésis. Esta relação entre noésis e semíoses está inserida apenas a sistemas que permitem três atividades cognitivas inerentes a toda representação, são elas: Primeiramente, constituir um traço ou um ajuntamento de trações perceptíveis que sejam identificáveis como uma representação de alguma coisa em um sistema determinado. Em seguida, transformar as representações apenas pelas regras próprias ao sistema, de modo a obter outras representações que possam constituir uma relação de conhecimento em comparação às representações iniciais. Em fim, converter as representações produzidas em um sistema em representações em outro sistema, de tal maneira que estas últimas permitam explicar outras significações relativas ao que é representado Duval (2009, p. 36). Para Duval (2005, p.1), é necessário conferir às representações semióticas seu papel de ser o único meio de acesso aos objetos matemáticos, o que conduz ao problema cognitivo de representar um objeto matemático por tipos de representações diferentes. Para o autor, a atividade matemática necessita de dois tipos de transformações de representações semióticas: uma que corresponde a uma mudança de registro de representação e outra que consiste em utilizar as possibilidades de transformações próprias a cada registro. A primeira transformação o autor chamou de conversão e a segunda de tratamento. De acordo com Rogalski (2001, p.15), para certos tipos de objetos alguns registros serão mais adaptados a determinados quadros, às vezes difíceis de distinguir quadro e registro. Segundo o autor, a noção de ponto de vista é menos precisa que a de quadro e registro, pois podemos dizer que mudou de quadro ou de registro é uma mudança de ponto de vista de um objeto, no entanto, podemos mudar de ponto de vista permanecendo em um mesmo quadro ou em um mesmo registro. Para Almouloud (2007), Pontos de vista diferentes, para um objeto matemático, são maneiras diferentes de olhá-lo, de fazê-lo funcionar e, eventualmente, de defini-lo. Nesse sentido, olhar um objeto em diferentes quadros é ter diferentes pontos de vista, embora se possam ter vários pontos de vista no mesmo quadro (ALMOULOUD, 2007, p. 81).

4 Na tabela 1, apresentamos os quadros da geometria e da geometria analítica para a parábola, neste quadro estão inseridos quatro tipos de registros de representação semiótica, material, figural, língua materna, gráfico e algébrico. Por consequência, podemos ver e fazer funcionar este objeto matemático por esses diferentes pontos de vista. Além disso, no registro de representação semiótica da língua materna, a parábola pode ser vista também como o lugar geométrico dos pontos, representados pelos centros das circunferências que passam pelo foco e tangenciam a reta diretriz, exemplificado que em um mesmo registro pode haver mais de um ponto de vista a considerar. Tabela 1: Quadros, Pontos de Vista e Registros de Representação Semiótica para a parábola (continua) Registros de Representação Semiótica QUADRO DA GEOMETRIA PARA A PARÁBOLA Material Figural Língua Materna A parábola é definida como o conjunto dos pontos no plano, equidistantes de um ponto e de uma reta fixos, o ponto é denominado foco e a reta, diretriz. Algébrico Pontos de Vista Da Dobradura Da geometria de Representação Dinâmica ou do Desenho Geométrico Das Definições QUADRO DA GEOMETRIA ANALÍTICA PARA A PARÁBOLA Registros de Gráfico Algébrico Representação Semiótica Das Equações

5 Conclusão Pontos de Vista Das Representações Gráficas Fonte: Produção do autor Das Equações Com este referencial pretendemos estudar as cônicas a partir da noção de quadro, especificamente quadro da geometria e da geometria analítica, caracterizar as cônicas por diferentes pontos de vista e estudar as cônicas a partir de seus registros de representação semiótica bem como buscar possíveis tratamentos e conversões, com o objetivo de explicitar suas possibilidades de estudo, pois de acordo com Rogalski (2001, p. 13) é essencial compreender e identificar essas três noções para futuros professores reconhecer as atividades inerentes a elas. Metodologia Fez-se uma síntese dos principais aspectos e resultados registrados em pesquisas científicas nas duas últimas décadas de modo a construir uma revisão bibliográfica de trabalhos que analisaram o ensino ou a aprendizagem de cônicas com a intenção de levantar os principais problemas encontrados em torno deste saber. Esta síntese trouxe elementos suficientes para afirmar que nenhum destes trabalhos fez um estudo das cônicas a partir dos quadros, dos pontos de vista e dos registros de representação semiótica simultaneamente. Desta forma, a dissertação terá o delineamento de uma pesquisa bibliográfica no sentido de Gil (2010) quando o autor afirma que: A principal vantagem de uma pesquisa bibliográfica reside no fato de permitir ao investigador a cobertura de uma gama de fenômenos muito mais ampla do que aquela que poderia pesquisar diretamente. Essa vantagem torna-se

6 particularmente importante quando o problema de pesquisa requer dados muito dispersos no espaço (GIL 2010, p. 30). Para o autor este tipo de pesquisa representa uma maneira de averiguar os estudos disponíveis, analisar e mensurar sua contribuição de modo a compreender o objeto de investigação. Neste sentido, foram levantados os principais problemas no ensino deste saber, possibilitando assim, fazer um estudo didático para este objeto matemático. Este cuidado é importante no sentido de situar a pesquisa e evitar chegar a conclusões já conhecidas pela comunidade científica. Análises preliminares Até o momento, as leituras feitas na revisão bibliográfica permitem pontuar alguns problemas no ensino e/ou na aprendizagem de cônicas. Elas não têm recebido a devida atenção por parte de professores, pois, geralmente, são deixadas de lado no ensino da geometria, inclusive, não é um tema que aparece, com frequência nos exames de seleção em várias partes do país. As cônicas aparecem pela primeira vez na vida do estudante no nono ano quando é estudada a parábola, entretanto, segundo Neto (2008), ela é vista como representação de função polinomial de segundo grau, ou seja, com ênfase no conceito de função, em seguida, no primeiro ano do ensino médio a parábola recebe a mesma atenção que no nono ano. Já no terceiro ano do ensino médio são apresentadas aos alunos as cônicas, parábola, elipse e hipérbole, com o enfoque na geometria analítica e, de acordo com este autor, o curto período de tempo para tratar o assunto direciona os trabalhos apenas para o caminho das manipulações de suas equações analíticas, cujas demonstrações são feitas a partir de sua caracterização bifocal. Neste sentido, Lopes (2014) afirma que o estudo das cônicas, quando feito, é contemplado apenas no terceiro ano do ensino médio e, geralmente, é limitado a uma ou duas semanas. Outro problema apontado por Lopes (2011) é o fato de, ao analisar os livros didáticos, perceber que a maior parte deles trata as cônicas com foco nas manipulações algébricas, deixando de explorar o enfoque geométrico. Lima (1999, p. 26), ao analisar livros didáticos, verifica que os exercícios apresentados exigem uma mudança de quadros para sua resolução, entretanto, ela não está de forma explicita no enunciado e afirma: é importante que o jogo de quadros se faça necessário em livros didáticos a fim de que o

7 aluno se familiarize com diversos registros de representação semiótica dessas curvas e seja capaz de usá-los em outro contexto. Goulart (2009), ao discutir o ensino e a aprendizagem de geometria analítica no Brasil, traz uma visão geral do PCNEM. As orientações dispostas neste documento alertam para que o ensino não valorize a memorização de equações desprovidas de significado e que: Valorize a investigação e a explicação que leva a compreensão da geometria analítica como um conhecimento que cria competências para: interpretar e fazer uso dos modelos, para resolução de problemas geométricos; reconhecer que uma mesma situação pode ser tratada com diferentes instrumentais matemáticos, de acordo com suas características; associar situações e problemas geométricos as suas correspondentes formas algébricas e representações gráficas e vice-versa; construir uma visão sistemática das diferentes linguagens e campos de estudos da matemática, estabelecendo conexões entre eles (GOULART, 2009, p. 30). Concordamos com a afirmação de Goulart (2009), entretanto, acreditamos ser importante também um estudo destas curvas com enfoque em geometria para poder articular geometria com geometria analítica para o estudo deste objeto. Embora muitas pesquisas dissertem com relação ao ensino das cônicas e tratem deste assunto não apenas com o enfoque nas manipulações algébricas de suas equações, utilizando sequencias didáticas, softwares ou materiais lúdicos para estudar o enfoque geométrico, poucas dão ênfase aos registros de representação semiótica, explicitando tratamentos e conversões, os quadros e os pontos de vista envolvidos no processo. Nenhuma destas pesquisas aborda este tema a partir de um estudo didático. Além disso, acreditamos ser importante analisar este tema a partir da noção de quadro e de ponto de vista uma vez que uma mudança de quadros ou de ponto de vista pode facilitar a resolução de um problema, pois é uma maneira de mobilizar outras ferramentas. Nosso objetivo é fazer um estudo didático de cônicas baseados na geometria e na geometria analítica a partir das noções de quadro de Douady (1986), de registros de representação semiótica de Duval (1995) e de pontos de vista de Rogalski (1995), assim como realizar um estudo das articulações entre estes conceitos. Neste sentido, pretendemos fazer um estudo didático que permita alcançar nossos objetivos específicos que são:

8 a) Estudar as cônicas a partir da noção de quadro especificamente, quadro geométrico e quadro da geometria analítica. b) Caracterizar as cônicas por diferentes pontos de vista. c) Estudar as cônicas a partir de seus diferentes registros de representação semiótica bem como buscar possíveis tratamentos e conversões. Ao construir cada etapa dos objetivos específicos acreditamos sermos capazes de atingir nosso objetivo geral, a partir de um delineamento de uma pesquisa bibliográfica e responder a seguinte questão de pesquisa: Quais são os quadros, os pontos de vista e os registros de representação semiótica que podem ser mobilizados para estudar as cônicas? Considerações Finais As leituras de pesquisas que tratam de cônicas, até o momento, possibilitaram apresentar um problema de pesquisa, uma fundamentação teórica, uma justificativa e a escolha de uma metodologia que direcionará este trabalho. Estas leituras permitiram perceber que o ensino tende a privilegiar as manipulações algébricas das equações destas curvas e que é relevante um estudo deste tema levando em consideração o aspecto geométrico. As análises destas leituras permitiram observar que não existem trabalhos semelhantes ao que pretendemos desenvolver ao longo do mestrado. Desta forma consideramos relevante um estudo de cônicas em geometria e em geometria analítica bem como as articulações entre elas em que transportaremos os elementos da geometria para um referencial cartesiano. Neste sentido, acreditamos que a pesquisa poderá ser uma boa referência para professores e para pesquisas futuras que queiram tratar deste tema. Referências ALMOULOUD, Saddo Ag. Fundamentos da didática da matemática. Curitiba. Ed UFPR, DUVAL, R.. Registros de Representação Semiótica e Funcionamento Cognitivo da compreensão em Matemática. In: MACHADO, S. D. A. (Org.) Aprendizagem em matemática: registros de representação semiótica. São Paulo: PAPIRUS, DUVAL, R.. Semiósis e o Pensamento Humano. São Paulo: Livraria da Física, 2009.

9 DUVAL, R.. Transformations de Representations Semiótiques ET démarches de Pensee em Mathematiques. Actes Du XXXII Coloque Copirelem, 67-89, Strasbourg, GOULART, Juliana Bender. O estudo da equação Ax² + By² + Cxy + Dx + Ey + F = 0 utilizando o software GRFEQ uma proposta para o Ensino Médio. Dissertação de mestrado UFRS RS. Porto Alegre, JESUS, Gilson Bispo. Construções geométricas: uma alternativa para desenvolver conhecimentos acerca das demonstrações em uma formação continuada. Dissertação (mestrado) PUC-SP. São Paulo. GIL, A C. Como elaborar projetos de pesquisa. 5ª Edição. São Paulo: atlas, LIMA, Rosana Nogueira de. Resolução de equações de terceiro grau através das cônicas. Dissertação (Mestrado) PUC SP. São Paulo, LOPES, Juracélio Ferreira. Cônicas e Aplicações. Dissertação (Mestrado) UNESP SP. Rio Claro, LOPES, Sandra pereira. Uma sequência didática para o ensino de parábola enquanto lugar geométrico. Dissertação (Mestrado) PUC SP. São Paulo, NETO, Francisco Quaranta. Tradução comentada da obra Novos elementos das seções Cônicas (PHILIPPE de LA HIRE 1679) e sua relevância para o ensino médio de matemática. Dissertação (Mestrado) UFRJ RJ. Rio de Janeiro, ROGALSKI, Marc. Les chagements de cadre dans La pratique dês mathématiquas et Le jeu de cadre de Règine Douady. In: Actes de La jounée em hommage à Règine Douady, université Paris 7, 2001.