ANÁLISE SOBRE A ABORDAGEM DA FUNÇÃO EXPONENCIAL EM LIVROS DIDÁTICOS UTILIZADOS POR PROFESSORES DO ENSINO MÉDIO RESUMO

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1 ANÁLISE SOBRE A ABORDAGEM DA FUNÇÃO EXPONENCIAL EM LIVROS DIDÁTICOS UTILIZADOS POR PROFESSORES DO ENSINO MÉDIO Ricardo Antonio Faustino da Silva Braz UFRPE/PPGEC Mestrando ricardobraz2003@yahoo.com.br Prof. Dra. Josinalva Estacio Menezes UFRPE/PPGEC/LACAPE jomene@ufrpe.br RESUMO Apresentaremos o resultado de uma pesquisa elaborada junto aos professores que atuam na 1 a série do ensino médio, de uma escola pública localizada em Recife. Essa pesquisa trata de um estudo sobre a abordagem do ensino da Função Exponencial nos livros didáticos utilizados em sala de aula. Para isso, consultamos os professores a respeito dos livros didáticos utilizados e fizemos uma análise sobre a abordagem do conteúdo em questão nos referidos livros, no que diz respeito à contextualização e descontextualização (aqui, no sentido dos Parâmetros Curriculares Nacionais PCN) dos exercícios contidos nos mesmos. Selecionamos três autores de livros didáticos, sendo eles os mais empregados pelos professores que participaram da pesquisa. Fizemos uma análise segundo Lima (2001), no qual ele trata das questões dos livros didáticos baseados na construção conceitual em questões contextualizadas. Palavras-chave: Contextualização, Descontextualização, Conceitos. Introdução Nossa pesquisa foi motivada por um trabalho de Lima (2001) no qual vemos algumas críticas à modelagem da Função Exponencial nos livros didáticos voltados para o Ensino Médio. A referida pesquisa trata alguns encaminhamentos para analisar os exercícios contidos nos livros didáticos. Assim, complementamos nossa base de dados fazendo uma consulta a alguns professores daquele nível de ensino para saber como eles estudam o conteúdo e aplicam os exercícios em sala de aula.

2 2 O livro didático é uma ferramenta específica de auxílio ao trabalho do professor em sala de aula. Consideramos ser importante uma abordagem no que diz respeito aos conceitos e demais componentes do conteúdo e a seleção dos exercícios que acompanham o livro. Realizamos uma pesquisa junto aos professores, que estão em sala de aula, e que atuam no ensino médio, através de um levantamento para sabermos, qual ou quais o(s) livro(s) didático(s) adotado (s) por eles para seus alunos estudarem a função exponencial. Diante destes dados, tivemos a preocupação em verificar como os livros didáticos trazem os conceitos fundamentais e de que forma favorecem aos alunos no desenvolvimento de habilidades especificas para o aprendizado da função exponencial. Feito um levantamento dos exercícios e uma análise dos mesmos quanto aos conceitos envolvidos e as habilidades que os alunos poderiam desenvolver e em seguida do mapeamento das questões uma a uma, apresentamos estas informações em tabelas para que pudéssemos analisar os dados. Acreditamos que alguns conceitos são fundamentais para o aprendizado da função exponencial, verificamos que contribuições os exercícios podem levar à aprendizagem dos conceitos, e sugerimos algumas habilidades que os alunos poderão desenvolver segundo o estudo realizado nos livros didáticos. De acordo com os professores consultados, os livros didáticos mais utilizados atualmente em sala de aula nas escolas do Recife são: Dante, Bianchini & Paccola e Iezzi. Segundo Lima (2001), estes livros trazem alguns obstáculos que não são percebidos pelos autores, e ainda que os autores não identifiquem conceitos que considera de fundamental importância para o aprendizado da função exponencial. Ainda Segundo Lima (2001) os autores analisados, nessa pesquisa, passam despercebidos por alguns conceitos que Lima considera de fundamental importância para a formação do conhecimento. Para Lima é como se os autores não consideração alguns pré-conceitos ou conceitos prévios que favorecem na formação do conhecimento.

3 3 Nesse aspecto, a análise foi feita individualmente por autor. Para que possamos identificar os conceitos e os procedimentos envolvidos nos exercícios que são valorizados por cada autor dos livros didáticos e sabermos como eles pretendem que os alunos desenvolvam as habilidades específicas envolvidas nos exercícios propostos. Verificamos que os autores trazem questões de diversas áreas, não somente questões de aplicações na matemática. Desta forma iremos representá-las em uma tabela auxiliar de acordo com a contextualização, descontextualização, Conceitos, Procedimentos envolvidos e Habilidades envolvidas a serem desenvolvidas pelos alunos comparando com as questões por cada autor. Para tanto os professores devem estar informados dos conceitos a serem trabalhados, dos procedimentos e habilidades a serem desenvolvidos, de que forma poderão contextualizar e descontextualizar as ações em sala de aula. Acreditamos desta forma que o professor não deve aceitar o livro didático como ferramenta didática exclusiva em sala de aula. Pois existem outras ferramentas que podem favorecer a aprendizagens significativas, quando os alunos tomam a responsabilidade da atividade, por exemplo, na tomada de decisões para a resolução da mesma. Alguns critérios de análise das atividades contidas dos Livros Didáticos: Conceitos e Procedimentos envolvidos, Habilidades envolvidas. A nossa proposta é de observar e analisar os critérios acima citados nos exercícios dos Livros Didáticos utilizados pelos professores do ensino médio. Nesse caso iremos observar como os exercícios tratam os conceitos fundamentais para a formação do conhecimento para os alunos e quais os procedimentos estão envolvidos que possam favorecer o desenvolvimento de habilidades específicas para a construção do conceito da função exponencial.

4 Professores do Ensino Médio. In Anais do SIPEMAT. Recife, Programa de Pós-Graduação em Educação Centro de 4 Contextualizadas Dante Bianchini/Paccola Iezzi Dante Bianchini/Paccola Iezzi Questões Questões Questões Quantidade Quantidade Quantidade Matemática 1,2,3,4,5,3 5,6,7,22,23, 47,48,49,51, ,33, 34,38,44,4 5,50,51 32,34,35,54,55,84 Outras ciências 35,36,49,5 54, , 83, Matemática , D Financeira Papel Ilustrativo 3,5,35,36, 32,54,55 47,48,49, ,52 35,36,37,4 9,52 Usa a Matemática em situações de Modelagem Papel Manipulativo 1, 2,3,4,5,30, 33,34,44,4 5 54,84 32,54,55 47,48,49, 54,84 5,6,7,22,23,32, 34,35,54, , 50 53, Descontextualizada s 1,2,3,4,5,3 0, 33,34,44,4 6 5,6,7,22,23,34, , 50 53, Conceitos e Procedimentos Lei algébrica da Função Exponencial 1,2,5,34,3 5,36, 37,38,49,5 0,51 Valor numérico 2,5,7,30,3 4,35, 5 47, ,23,32,54,55 46,47,50,51,53,TV8,

5 Professores do Ensino Médio. In Anais do SIPEMAT. Recife, Programa de Pós-Graduação em Educação Centro de 5 Gráfico de Função Exponencial 44,45,49,5 TV13,TV20 0,52 3,5,8,34,3 7,34, , , 52,TV7,9,10,1 45,49, , , Crescimento e Decrescimento Valor de Domínio 33,37 83,TV Função Inversa 34, Porcentagem /Juros Tabela 34 TV interdisciplinar , 54,84,TV8, 13,20, 28 30, D3, Habilidades envolvidas Calcular o valor numérico a partir de uma fórmula dada Pares ordenados no gráfico e correlacionar com sua lei Cálculo do valor numérico, com inversa a partir da algébrica. Construção do gráfico a partir da álgebra 30,35,36,4 4 32,54,55 48,83,84, TV7,8,9,10,15, 20 5,36 7,34,35 46,TV7,10, ,49,D3,D ,34, , 47,52, T9,15,

6 Professores do Ensino Médio. In Anais do SIPEMAT. Recife, Programa de Pós-Graduação em Educação Centro de 6 Total de 52 questões no capítulo do livro, sendo que apenas 18 envolvem a função exponenci al, ou 35% do total das questões. Total de 55 questões no capítulo do livro, sendo que apenas 10 envolvem a função exponencial, ou 18% do total das questões. Total de 122 questões no capítulo do livro, sendo que apenas 84 envolvem a função exponencial, ou 20% do total das questões.

7 7 Inicialmente, analisaremos DANTE. As 52 questões trazidas no capitulo de função exponencial deste livro abordam os temas e quantidades de questões, distribuídos na tabela. Apresentando 35% do total de questões vistas no capitulo que se dedica à função exponencial, acreditamos que ainda seria pouco para o que esperamos no aprendizado. Dentre as questões contextualizadas que citamos acima, das 13 questões, 10 são meramente manipulativas quando sabemos que esta não é mais uma forma de cogitar a matemática. Não traz, ainda, a relação da função exponencial com as progressões aritmética e geométrica, pois existe esta relação dos eixos do plano cartesiano onde podemos relacionar as progressões aritméticas no eixo X e as progressões geométricas no eixo Y. Esta relação pode favorecer o entendimento entre os conteúdos função exponencial e progressões aritmética e geométrica. Neste livro existe pouca ou quase nenhuma relação interdisciplinar, transdisciplinar e ainda há uma repetição com relação ao cálculo do valor numérico fadigável. Exemplo de uma questão trazida no livro didático. Questão 37. Página 199. A Quantia de R$ ,00 foi aplicada a uma taxa de 1% ao mês. a) Qual será o saldo no final de 3 meses? b) Por quantos meses deve ser feita a aplicação para que o saldo seja de R$ ,20? Nessa questão temos um exemplo de como devemos motivar nossos alunos a estudar função com exemplos do cotidiano. Sem ter que necessariamente apresentar a fórmula matemática que modela a questão. Sendo assim, podemos favorecer o interesse dos alunos e ainda poderemos dessa forma dar sentido e significado ao aprendizado.

8 8 Segundo Lima (2001) o capítulo de Função Exponencial começa com um exemplo concreto, referente ao lançamento de uma moeda ou, mais geralmente, de n moedas distintas, tendo-se é claro, 2 n resultados possíveis quanto a caras e a coroas. Assim, DANTE poderia ter usado este exemplo para provar que um conjunto com n elementos tem 2 n subconjuntos. Mas como exemplo de Função Exponencial não é o melhor. No máximo poderia ser usado para ilustrar o conceito de progressão geométrica. Uma motivação bem mais adequada para a Função Exponencial seria a cultura de bactérias que dobra a população em cada hora. No exemplo das bactérias, o modelo matemático é f(x) = b.2 x, onde b é a população de bactérias existente no início da experiência e o x é o tempo decorrido. Insistimos neste ponto porque consideramos a importância que o ensino da Matemática apresente um equilíbrio entre a conceituação teórica, as manipulações práticas e as aplicações realísticas. É importante destacar isto porque os estudantes que se deparam com problemas que usam essas funções vêem sempre que elas acompanham os dados da questão, mas, aparentemente, parecem não saber de onde vêm nem por que são usadas. Tal é o caso deste capítulo. O exercício 37 é o único, dentre os 52 nele contidos, em que a função Exponencial não aparece no enunciado. Bianchini e Paccola O segundo texto analisado, da autoria de Bianchini e Paccola, traz em seu capítulo sobre a função exponencial 55 questões que envolvem as propriedades e o conceito da função exponencial. No referido capitulo, o autor apresenta apenas 18% do total das questões no capitulo do livro que trata do estudo da Função Exponencial, mas acreditamos que para o aprendizado do aluno não há de favorecer devido à margem de dificuldades e obstáculos que o mesmo deve superar para atingir o objetivo de aprender o assunto sugerido. Há uma ênfase nas questões manipulativas, fato que nos preocupa como educador em vista das necessidades em se contextualizar os exercícios com situações didáticas que envolvam o cotidiano dos alunos. A questão seguinte, sugerindo interdisciplinaridade, será analisada separadamente: Exemplo de uma questão tirada do livro didático:

9 9 Questão 54 (UEBA) Uma população de bactérias no instante t é definida pela função f(t) = C*4 kt, em que t é dado em minutos. Se a população depois de 1 minuto era de 64 bactérias e depois de 3 minutos, de 256, conclui-se que a população inicial era de: a) 32 bactérias b) 16 bactérias c) 8 bactérias d) 2 bactérias c) 1 bactéria. Podemos dizer que é uma questão motivadora e desafiadora, porém poderia ser mais bem explorada se, por exemplo, não fosse mostrada fórmula que o aluno deveria ser desafiado em construí-la para desenvolver a questão. Para isso eles poderiam utilizar uma das formas de se obter uma função que é através de uma observação dos números organizados em tabelas. Segundo Lima (2001) a função exponencial que é apresentada no capítulo 7 deste livro, principia com uma revisão apropriada das definições e propriedades das potências de expoente racional. Em seguida, apresentam-se exemplos de fenômenos que variam exponencialmente com o tempo para motivar a definição da função exponencial de base a. Para traçar o gráfico, calculam-se valores da função de alguns valores da variável X. Semelhantemente a quase todos os livros texto, não são feitos comentários sobre a maneira como se sabe que o gráfico tem realmente esta forma. Em verdade, usando-se somente os pontos da tabela, é impossível concluir que a forma do gráfico é a apresentada. Seria mais correto dizer ao leitor que mais tarde ele verá que o gráfico de qualquer função exponencial tem um dos dois aspectos mostrados no livro, dependendo da base, ser maior ou menor do que 1. Dessa questão, podemos dizer que a mesma tem o compromisso desafiador e motivador favorecendo a construção do conhecimento pelo aluno, pois traz uma proposta interessante para que o aluno perceba e saiba pesquisar, organizar e analisar os dados e que possa chegar ao resultado. Assim sendo, o aluno pode desenvolver uma autonomia em relação aos estudos e isto é de fundamental importância para o desenvolvimento do conhecimento e ainda para diminuir a distancia entre o saber e o aluno.

10 10 IEZZI O terceiro livro didático analisado, da autoria de IEZZI, aborda no capítulo sobre a função exponencial 84 exercícios propostos, 34 testes de vestibulares e 04 questões desafio, conforme citamos na tabela acima, que envolvem as propriedades e o conceito da função exponencial. Este livro didático, apesar de apresentar 18% do total das questões em exercícios propostos, traz 23% do total em testes de vestibulares e 50% das questões de desafios. Este último percentual nos indica como estão sendo distribuídas as questões com relação às aplicações. Neste caso, temos que, em uma apresentação do total de questões, 20% correspondem a aplicações com função exponencial, o que consideramos ser insuficiente para o que pretendemos, enquanto objetiva o estudo das funções exponenciais, no aprendizado dos alunos. Segundo Lima (2001), no capitulo sobre o assunto inicia-se com uma revisão de potências, que os alunos já conhecem do ensino fundamental. Entretanto, na definição inicial lemos: Sendo a um número real (não nulo) e n um número inteiro temos a -n = 1/a n.. Isto é mesmo uma definição ou conseqüência de algum fato anterior? O uso de o verbo ter causa insegurança ao leitor. (p.110 ) O livro aborda as equações exponenciais antes de estudar a função exponencial. É estranho isto, pois, nos capítulos anteriores, as equações e inequações aparecem depois do estudo das funções correspondentes de forma a utilizar suas propriedades. Desta forma, para a resolução das equações exponenciais o livro cita sem justificativa uma propriedade que decorre da injetividade da função exponencial. Porém, a função exponencial só será abordada mais adiante no livro, e o fato de ser injetiva não será mencionado. Logo só resta aos alunos aceitar e seguir em frente. Os exercícios do capítulo são manipulativos. Não há nenhum problema contextualizado e nenhuma relação com o mundo em que vivemos. Isso preocupa pelo fato de não modelar questões com o cotidiano dos alunos, algo que poderá tornar a aprendizagem significativa, pois o aluno esta vendo sentido na aprendizagem do conceito.

11 11 Referências Bibliográficas LIMA, Elon Lages et al. Exame de textos: analise de livros didáticos de matemática para o ensino médio. Editora SBM LIMA, Elon Lages et al. A matemática do ensino médio. Vol.01. Coleção do professor de matemática, SBM BIANCHINI, Edwaldo & Paccola, Herval. Matemática vol.1 alfa, Moderna BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais. Brasília: MEC, DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Contextos e aplicações. Vol.1 São Paulo: Ática IEZZI, Gelson et al. Matemática: Ciências e Aplicações. São Paulo: Atual, 2001.