Sumário Adiçãodevetores MóduloouNormadeumvetor... 69

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1 Sumário Prefácio xiii 1 Tópicos de Matrizes e Sistemas Lineares Introduçãoaossistemasdeequações lineares MétodosdeEscalonamento MétododeEliminaçãodeGauss MétododeGauss-Jordan PostodeMatriz Resoluçãodesistemaslinearesporescalonamento TeoremadeRouché-Capelli Sistemasindeterminadoseaescolha dasvariáveis livres SistemasLinearesHomogêneos Inversãodematrizes porescalonamento ematrizeselementares Vetores, uma introdução geométrica Grandezasescalares egrandezasvetoriais Grandezasescalares esistemareferencial emumareta Introduçãoàsgrandezasvetoriais Representação devetoresporsegmentosorientados Sistemadecoordenadaseoperaçõescomvetores Sistemadecoordenadascartesianas noplano Sistemadecoordenadascartesianas noespaço Adiçãodevetores MóduloouNormadeumvetor

2 GEOMETRIA ANALÍTICA PARA TODOS E ATIVIDADES COM OCTAVE E GEOGEBRA Multiplicação devetorporumescalar Propriedadesdaadiçãoedamultiplicação porescalar Dependência e independência linear, equações vetoriais da reta e do plano, basedevetores Colinearidade e paralelismo, equação vetorial e equações paramétricasdareta Coplanaridade, independência linear de dois vetores, equação vetorialeequações paramétricas doplano Dependênciaeindependêncialinear Basedevetoresparaoplanoeparaoespaço Vetores, retas e planos, com matrizes e sistemas Combinações Lineares Dependênciaeindependêncialinear,composto Basesecoordenadas BasesecoordenadasnoplanoR BasesecoordenadasnoespaçoR Basesdeplanonoespaço Posiçõesrelativas entreretaseplanosdadosvetorialmente Entreduasretas,noplanoenoespaço Entreretaeplano Entredoisplanos Retaseplanosatravés deequações lineares Equaçãogeralderetanoplano Equaçãogeraldeplanonoespaço Maissobreposiçõesrelativas Retanoespaçocomointersecção dedoisplanos Produtos e aplicações Produtoescalar Produtoescalar emumsistemadecoordenadas Propriedadesdosprodutosescalares Sobrebasesortonormaiseortogonais Projeçãoortogonal deumvetorsobreoutro Exemplodeaplicaçãodoprodutoescalar nafísica Coordenadasembaseo.n. ecossenosdiretores viii

3 SUMÁRIO Basesortogonaisdeplanosnoespaço Retasperpendicularesnoplano Ânguloentreduasretas Retaperpendicularaplanoevetornormalaplano Vetornormal aplanoeequação geraldeplano Distância depontoaplano Retastangentes àcircunferêncianoplano Planostangentes àesferanoespaço Produtovetorial Orientação geométrica Orientação sobreumaretar Orientação noplano Orientação geométrica noespaço Definiçãogeométrica doprodutovetorial Propriedadesdoprodutovetorial Cálculodoprodutovetorial emcoordenadas Algumasaplicações doprodutovetorial Cálculodeáreas Equação geraldoplanocomprodutovetorial Ortogonalização debasesnoespaço Produtovetorial nafísica Produtomistoeovolumedoparalelepípedo Propriedadesdedeterminantes eoprodutomisto Maisgeometria analítica deretaseplanos Equaçõesdaretanaformasimétrica Posiçãorelativaentredoisplanos Retasnoespaçoeoprodutovetorial Ânguloentredoisplanos Ânguloentreumaretaeumplano Distâncias Simétricodeumponto P emrelaçãoaumplano π Estudo das cônicas e uma introdução às curvas Introduçãoàscurvas Gráficosdefunçõesdeumavariável real Sobreparametrização decurvas ix

4 GEOMETRIA ANALÍTICA PARA TODOS E ATIVIDADES COM OCTAVE E GEOGEBRA Exemplosdeparametrizações Curvasnoplanoatravés deequações (curvasimplícitas) Cônicas: secçõesplanasdocone Estudodaparábola Equaçãoreduzidadaparábola Equaçãodeparábola comtranslação Mudança de coordenadas por translação dos eixos Equaçãodeparábola comrotação Mudançadecoordenadasporrotaçãodoseixos Mudança de sistemas de coordenadas envolvendo translaçãoerotaçãodeeixos Maispropriedadesdaparábola Estudodaelipse Equaçãoreduzidadaelipse Equaçãodaelipsecomtranslação Equaçãodaelipsecomrotação Equaçãodeumaelipsenaformaparamétrica Propriedadefocaldaelipse Estudodahipérbole Estudodahipérbolenaformareduzida Equacionando hipérbolescomtranslação ourotação Propriedadefocaldahipérbole Classificação dascônicas Coordenadaspolaresecônicas Equaçõespolaresdecônicascomfoconaorigem Quádricas e superfícies Introduçãoàsquádricas Quádricasesuasequações naformareduzida Quádricas transladadas, eliminação dos termos lineares e equação na forma reduzida Quádricascomtermosmistos Introduçãoàssuperfíciesnoespaço Superfíciescilíndricas Conessobrecurvas Superfíciesderevolução x

5 SUMÁRIO Gráficosdefunçõesdeduasvariáveis Superfíciesregradas Outrossistemasdecoordenadasnoespaço Coordenadasesféricas Coordenadascilíndricas Octave na Geometria Analítica IntroduçãoaoOctave Introduçãoamatrizesevetores Introduçãoaosgráficos Atividades comoctaveparaocapítulo Atividades comoctaveparaocapítulo Atividades comoctaveparaocapítulo Atividades comoctaveparaocapítulo Atividades comoctaveparaocapítulo Atividades comoctaveparaocapítulo GeoGebra na Geometria Analítica UmapequenaintroduçãoaoGeoGebranaGeometria Analítica Atividades comgeogebraparaocapítulo Atividades comgeogebraparaocapítulo Atividades comgeogebraparaocapítulo Atividades comgeogebraparaocapítulo A Construções de Dandelin 439 B Cônica por cinco pontos 447 Respostas dos exercícios 453 Referências 481 xi

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7 PREFÁCIO Estas notas surgiram de experiências na disciplina Geometria Analítica destinada aos alunos ingressantes nos cursos das áreas de Ciências Exatas e Tecnológicas da Universidade Federal de São Carlos. Esta disciplina, junto com o Cálculo Diferencial e Integral, constitui o primeiro contato do aluno com a linguagem matemática de nível superior e com a estrutura organizada da Matemática. Para ajudar a transição do nível secundário a esses cursos, nos quais se procura dominar os conceitos e as técnicas próprias das Ciências Exatas, este texto foi escrito em um tom mais informal que os textos tradicionais, evitando a estrutura rígida de definiçãolema-teorema-demonstração. Procurou-se valorizar as ideias intuitivas dos conceitos antes de trabalhar com as técnicas apropriadas, respeitando porém o devido processo de abstração e de dedução de resultados teóricos. O texto se propõe a conduzir a matéria equilibrando a visão geométrica com a conveniência da técnica algébrica. A Geometria Analítica reúne técnicas e conceitos algébricos para se trabalhar numericamente os problemas da Geometria. As técnicas introduzidas fazem parte da Álgebra Linear. Os objetos geométricos como ponto, reta, plano, cônica, quádrica, etc. são objetos algébricos e numéricos, dados como conjuntos de pontos cujas coordenadas satisfazem determinadas equações. Trabalhar com esses elementos leva a matrizes, sistemas lineares e outros elementos da Álgebra Linear. Assim, iniciamos nosso texto com o capítulo de Tópicos de Matrizes e Sistemas Lineares, para depois iniciarmos os tópicos propriamente de Geometria. Esses tópicos de Geometria começam com a conceituação geométrica de vetor, que é o elemento básico dos espaços vetoriais da Álgebra Linear. Com essa passagem, iniciamos o estudo de objetos e conceitos relacionados com pontos, retas e planos do espaço,

8 GEOMETRIA ANALÍTICA PARA TODOS E ATIVIDADES COM OCTAVE E GEOGEBRA como posições relativas, distâncias, ângulos, áreas, volumes, trabalhando algebricamente e interpretando geometricamente os resultados. Depois, passamos ao estudo de outros elementos geométricos como cônicas e quádricas, relacionados com equações quadráticas, mas cujo estudo passa por análise de matrizes. Os exemplos de cônicas e quádricas, juntamente com retas e planos, formam os primeiros exemplos de curvas e superfícies. Como um recurso didático adicional, incluímos nos capítulos finais do texto a utilização de aplicativos computacionais na Geometria Analítica. Além de fornecer aos alunos os primeiros passos na utilização da tecnologia como apoio à aprendizagem de conceitos matemáticos, as atividades propostas têm como objetivo preparar os alunos à matemática própria da linguagem computacional, da programação e das limitações características do uso da tecnologia. Vamosutilizarosaplicativos Octave 1 egeogebra, 2 quepodemserobtidoslivremente na rede mundial de computadores, para auxiliar no acompanhamento da teoria. Também pode ser observada a utilização de conceitos da Geometria Analítica na programação desses aplicativos. O Octave é um programa de computação numérica e gráfica, e possui grande versatilidade para trabalhar com matrizes. O Geogebra é um programa de Geometria Dinâmica que transforma a tela do computador numa prancheta de desenho, e permite manipular os objetos geométricos através do clicar do mouse ou da janela de entradas algébricas. Além disso, todos os objetos geométricos são acompanhados de suas caracterizações algébricas. Existem outros programas livres que podem ser utilizados, como o Maxima, mais útil para o Cálculo Diferencial e Integral, que podem ser explorados também em Geometria Analítica, mas vamos trabalhar somente com os dois primeiros indicados. Observamos queexistemosprogramasmatlab, 3 CABRI, 4 Maple, 5 Mathematica 6 eoutros,comercializados para fins científicos e profissionais. Indicamos também outros programas livres dedicadosafinsespecíficos, comook3dsurf, 7 paravisualizar superfíciesnoespaço. Finalmente, alguns tópicos interessantes sobre cônicas, mas que em geral não são objetos de estudo da disciplina Geometria Analítica, são apresentados nos Apêndices MATLAB Mathworks, 4 CABRIGÉOMÈTRE CABRILOGSAS, 5 Maple Maplesoft, 6 Mathematica WolframResearch, 7 k3dsurf.sourceforge.net xiv

9 PREFÁCIO NossaintençãoéqueotextopossaserusadoporalunosdasáreasdeCiênciaseTecnologia, em estudos individuais, dando-lhes segurança e confiança para avançar em outras disciplinas do seu curso, em especial a Álgebra Linear e Cálculo Diferencial e Integral de Várias Variáveis. Além disso, gostaríamos que o texto fosse utilizado por todos que necessitem dos conceitos e técnicas de Geometria Analítica para estudo ou consulta. A linguagem de Álgebra Linear trabalhada neste texto irá ajudar aqueles que não estudam formalmente essa disciplina em seus cursos de ciências ou de tecnologia, oferecendo uma introdução aos conceitos e técnicas da Álgebra Linear presentes em muitas aplicações atuais das suas carreiras pormeiodeexemplosconcretosevisíveis noplanoenoespaço. As listas de exercícios são parte integrante do texto, sendo que suas resoluções acompanham, muitas vezes, o desenvolvimento da teoria. Grande parte vem com sugestões, e as respostasdamaioriadosexercíciospodemserconferidasnofinaldolivro. Ficaacargodo leitor descobrir como ler algumas das respostas dadas imediatamente após os exercícios. Adotamos na representação decimal dos números a notação de ponto em vez da vírgula, para não confundir com a separação de coordenadas em pontos e vetores. Enfim, agradecemos aos alunos, tutores e professores de várias turmas de Geometria Analítica, que indicaram correções e ofereceram sugestões, contribuindo para o aperfeiçoamento do texto. AS AUTORAS Departamento de Matemática UFSCar xv

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