POTENCIALIDADES DO SOFTWARE GEOGEBRA NO ENSINO E APRENDIZAGM DE TRIGONOMETRIA

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1 1 UNIVERSIDADE FERDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE UFRN CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DO SERIDÓ CERES Departamento de Ciências Exatas e Aplicadas DCEA Programa Institucional de Iniciação à Docência PIBID/UERN Área: Matemática POTENCIALIDADES DO SOFTWARE GEOGEBRA NO ENSINO E APRENDIZAGM DE TRIGONOMETRIA Professora: Maria Maroni Lopes Local: Laboratório de Matemática CERES/UFRN 17/04/2013

2 1 ATIVIDADES DE TRIGONOMETRIA UTILIZANDO OS RECURSOS DO SOFTWARE GEOGEBRA 2 Descreveremos a seguir, as atividades da nossa pesquisa de mestrado junto ao Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências Naturais e Matemática PPGECNM/UFRN, que foram elaboradas e aplicadas numa escola pública da cidade do Natal RN. 1.1 SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM TRIÂNGULO. ATIVIDADE 1 : SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM TRIÂNGULO Procedimento a) Construa um triângulo de vértices A, B e C (selecione o botão polígono e clique na janela gráfica); b) Determine a amplitude dos ângulos (clique no botão e nos lados dos triângulos em seguida digite na caixa de entrada: α+ β + γ e tecle enter); c) Movimente um dos vértices do triângulo ABC, o que acontece com a soma dos ângulos? ATIVIDADE 2: ALTURA DE TRIÂNGULOS Familiarizar os alunos com o software GeoGebra; Perceber o segmento altura com mais significado; Desmistificando algumas ideias que parte dos alunos apresenta em relação à altura de um triângulo percebendo como um segmento interno ao triângulo. Procedimentos a) Trace uma reta AB (clique no botão e na janela gráfica); b) Marque um ponto C fora da reta;

3 3 c) Trace uma reta paralela a reta AB passando por C (Clique no botão na reta AB e no ponto C); d) Marque um ponto D na reta b paralela a reta AB; e) Trace uma reta perpendicular a reta AB passando por D (Clique no botão, na reta AB e no ponto D); f) Construa um triângulo ligando os pontos A, B, D e A. g) Faça o vértice D do triângulo deslocar-se na reta paralela ao lado AB do triângulo, o que você observa ao movimentar o vértice D? Justifique. h) Determine a área do triângulo ABD ( Clique no botão e no triângulo), movimente o vértice D do triângulo na reta b. O que você observa? Veja na figura abaixo um exemplo de construção. Construção inicial, antes de movimentar o vértice D Construção após arrastar o vértice D

4 4 ATIVIDADE 3: BASE MÉDIA DE UM TRIÂNGULO O objetivo dessa atividade é investigar o que acontece com a base média de um triângulo, utilizando a sequência de passos para tentar visualizar a propriedade que relaciona essa base média com a base do triângulo. Procedimentos a) Crie um triângulo ABC qualquer; b) Obtendo os pontos médios dos lados AC e BC Clique no botão novo ponto na barra de ferramentas e selecione a opção ponto médio ou centro.. Em seguida, clique nos pontos A e C. Faça o mesmo procedimento com os pontos B e C. c) Crie o segmento de reta DE. No modo reta definida por dois pontos, selecione a opção segmento definido por dois pontos e clique nos pontos D e E. d) Obtenha as medidas dos segmentos AC e DE. Clique em ângulo na barra de ferramentas e selecione a opção distância, comprimento ou perímetro. Em seguida clique nos pontos A e B ( ou no segmento AB). Aparecerá a medida do lado AB. Repita o procedimento para o segmento DE. e) Você percebeu alguma relação entre a medida dos segmentos AB e DE? f) Arrastando os pontos

5 5 Selecione o botão mover e depois mova qualquer vértice do triângulo, ou seja, modifique o triângulo obtido inicialmente. A conclusão do item anterior permanece a mesma? ATIVIDADE 4: SEMELHANÇA DE TRIÊNGULOS Objetivos: Familiarização os alunos com o software GeoGebra; Investigar propriedades em triângulos semelhantes; Perceber que os triângulos retângulos não são sempre semelhantes. Construção de Triângulos Semelhantes. Procedimentos a) Construa um triângulo de vértices A, B e C (selecione o botão polígono e clique na janela gráfica); b) Marque um ponto D no lado AB 1 do triângulo; c) Trace uma reta paralela ao lado BC (clique no botão, no lado BC e no ponto D); d) Marque a intersecção entre a reta e o lado AC do triângulo ABC (clique no botão e no lado BC do triângulo e na reta b); e) Trace o novo triângulo ligando os pontos A, D, E, A (clique no botão e nos pontos A, D, E A ); f) Determine o comprimento dos lados (clique no botão e nos lados dos triângulos) e a amplitude dos ângulos dos triângulos ABC e ADE (clique no botão e no triângulos); g) Determine a razão entre os lados dos triângulos ABC e ADE (digite na caixa de entrada a/b, por exemplo, aparecerá na janela algébrica o valor correspondente); 1 Pode ser em qualquer um dos lados do triângulo, utilizamos o lado AB como referência.

6 h) Movimente um dos vértices do triângulo ABC, o que acontece com a razão entre lados? 6 i) Movimente o ponto D vértice do triângulo ADE, o que acontece com a razão entre os lados? j) Que conclusões você chegou em relação aos triângulos ABC e ADE? Justifique. ATIVIDADE 5: CONSTRUÇÃO DE TRIÂNGULOS RETÂNGULOS SEMELHANTES a) Construa dois ou mais triângulos retângulos semelhantes em seguida determine a amplitude dos ângulos e o comprimento dos lados. Movimente os vértices dos triângulos, eles permanecem semelhantes? Justifique. b) Construa triângulos retângulos que não sejam semelhantes, determine o comprimento dos lados e a amplitude dos ângulos. Justifique suas construções, por que os triângulos não são semelhantes? Movimente os vértices dos triângulos, as características se mantêm? c) Abra a Construção 01 do arquivo, em seguida arraste um dos vértices dos triângulos. O que você observa? Agora arraste o ponto P pela tela. O que você observou? Por que isto acontece? Discuta com seus colegas sobre suas investigações, anote suas conclusões. ATIVIDADE 6: RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NOS TRIÂNGULOS RETÂNGULOS Objetivos Familiarização os alunos com o software GeoGebra; Investigar as propriedades, noções e conceitos das razões trigonométricas nos triângulos retângulos.

7 7 Procedimentos a) Trace um segmento de reta AB (clique no botão ); b)trace uma reta b perpendicular ao segmento AB passando por A (clique no botão e em seguida no segmento AB e no ponto A); c) Marque um ponto C sobre a reta b, (clique no botão e na reta); d) Construa o triângulo (clique no botão polígono da barra de ferramentas e em seguida nos pontos A, B, C e A); e) Determine o comprimento dos lados e a amplitude dos ângulos; f) Encontre a razão entre os lados do triângulo, digite na caixa de entrada (distância [A, C]/distância [B, C]) em seguida digite (distância [A, B]/distância [B, C]), aparecerá na janela algébrica a razão entre os lados do triângulo. Arraste o vértice B do triângulo, o que você observa em relação às razões? Justifique suas conclusões. Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo a) Abra a Construção (applet) 02 do arquivo, em seguida arraste um dos vértices dos triângulos. O que você observa? Agora arraste o vértice A do triângulo e investigue o que acontece com o ângulo α e com as razões trigonométricas. O que você observou? Por que isto acontece? Discuta com seus colegas sobre suas investigações e anote as conclusões. b) Abra a Construção (applet) 03 do arquivo e em seguida arraste o vértice C do triângulo. O que você observa em relação ao ângulo α e as razões trigonométricas? Por que isto acontece? Discuta com seus colegas sobre suas investigações e anote as conclusões.

8 8 c) Ainda com relação a construção(applet) do arquivo 03, selecione o botão exibir da barra de ferramentas e clique em exibir protocolo de construção, a partir do protocolo de construção elabore um applet das razões trigonométricas no triângulo retângulo. ATIVIDADE 7: ATIVIDADE: CICLO TRIGONOMÉTRICO Objetivos: Familiarizar os alunos com o software GeoGebra; Investigar as propriedades, noções e conceitos das razões trigonométricas no ciclo trigonométrico. Procedimentos: a) Construa uma circunferência com centro em A (0, 0) passando por B(0, 1), (Clique em exibir eixo). Insira na caixa de entrada e em seguida tecle enter, insira o ponto B = (1, 0). b) Fixe os pontos A e B (clique em cima dos pontos com o botão direito do mouse aparecerá a seguinte caixa de diálogo, selecione propriedades e fixar ponto).

9 9 c) Selecione o botão e clique nos pontos A e B; d) Marque um ponto C na circunferência no primeiro quadrante, trace uma reta perpendicular ao segmento AB passando por C; e) Assinale a intersecção entre a reta r e o segmento AB (selecione o botão e clique no segmento AB e no ponto C); e) Trace o triângulo ACD (clique no botão e nos pontos A, C, D e A); f) Utilizando a ferramenta distância, determine a medida dos lados do triangulo ACD e complete a tabela. Medida de AD Medida de DC Medida de AC DC/AC g) Arraste o ponto C duas vezes e anote as medidas na tabela, você percebe alguma propriedade? Discuta com seus colegas e anote as observações feitas. CICLO TRIGONOMÉTRICO a) Utilizando a figura construída anteriormente, esconda à reta r e determine a amplitude do ângulo A. b) Encontre a razão entre os lados do triângulo (escreva na caixa de entrada, por exemplo, a/b, se a letra correspondente ao lado for a 1 digite a_1, aparecerá na janela algébrica o valor das razões). d) Movimente o ponto C e investigue o que acontece com as razões entre os lados. O que você observou? Discuta com os seus colegas e anote suas observações.

10 10 ATIVIDADE 8: FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS FUNÇÃO SENO Objetivo 1: Investigar os efeitos do parâmetro a em f(x) = a*sin (x), para casos particulares. Procedimento: a) Digite na caixa de entrada a função f(x) = sin(x), observe o gráfico. b) Digite na mesma janela gráfica, as seguintes funções: g(x) = 2* sin(x); h(x) = 3* sin(x) e p(x) = 5*sin(x). Analise o que pode ser observado em relação a imagem da função. Discuta com seus colegas e justifique as conclusões que vocês chegaram. c) Agora digite as funções: f(x) = sin(x); g(x) = - 2*sin(x); h(x) = - 3*sin(x) e t(x) = - 4*sin(x) na mesma janela gráfica. d) Verifique o comportamento das funções em relação a função f(x) = sin(x), que conclusões você chegou em relação a imagem dessas funções? Objetivo 2: Investigar os efeitos do parâmetro b em f(x) = sin(bx), para casos particulares. a) Digite na caixa de entrada inicialmente a função f(x) = sin(x) em seguida digite as seguintes funções: g(x) = sin(2x); h(x) = sin(3x); t(x) = sin(4x). Qual o comportamento dessas funções em relação a função f(x) = sin(x)? O que pode perceber em relação a imagem dessas funções? b) Insira na caixa de entrada a função f(x) = sin(x); em seguida digita na mesma janela gráfica as seguintes funções: f(x) = sin(-2x); g(x) = (-3x); h(x) = (-4x). Qual o comportamento dessas funções em relação ao gráfico da função f(x) = sin(x)? Anote o que você pode perceber em relação a imagem e o período dessa função?

11 11 Objetivo 3: Investigar os efeitos do parâmetro c em f(x) = sin(x + c), para casos particulares. a) Proceda como nas questões anteriores, digite a função f(x) = sin(x), em seguida digite as funções: g(x) = sin(x + 2); h(x) = sin(x 2).Observe o comportamento do gráfico de cada uma dessas funções em relação a função f(x)= sin(x). Objetivo 4: Investigar os efeitos do parâmetro d em f(x) = sin(x) + d, para casos particulares. a) Insira na caixa de entrada a função f(x) = sin(x) e as funções g(x) = sin(x) + 2; h(x) = sin(x) 3; t(x) = sin(x) 5; m(x)= sin(x) 4 na mesma janela gráfica. Analise o gráfico de cada função e discuta com seus colegas as suas conjecturas e em seguida justifique as conclusões que chegaram. Objetivo: Investigar os efeitos dos parâmetros a, b, c e d em f(x) = a*sin(b*x + c) + d a) Digite na caixa de entrada a função f(x) = a*sin(b*x + c) + d ( para isso, insira inicialmente os parâmetros a, b, c, e d). b) Movendo o seletor a o que pode ser percebido no gráfico de f? Proceda de modo análogo com os demais parâmetros. O que você observou? Discuta com seus colegas o comportamento do gráfico após movimentar os parâmetros. Justifique suas conclusões. ATIVIDADE 9: Agora é com você! a) Escolha um conteúdo do Ensino Médio e elabore atividades para uma aula utilizando os recursos do software GeoGebra para ser aplicado nas suas turmas. b) Proceda de forma semelhante ao que fizemos com a função sin(x) e analise as funções cos (x) e tg(x)

12 12 REFERÊNCIAS ARAÚJO, L. C. L. de; NÓBRIGA, J. C. C.. Explorando tópicos de matemática do ensino fundamental e médio através do GeoGebra. Disponível em: < Acesso em: 08 jun KENSKI, V. M. Educação e Tecnologias: O novo ritmo da informação. 5. ed. Campinas, SP.Papirus, p. LOPES. M. M. Construção e Aplicação de uma Sequência Didática para o Ensino de Trigonometria Usando o software GeoGebra. 123 f. Dissertação (Mestre) - Curso de Ensino de Ciências Naturais e Matemática, Departamento de Matemática, UFRN, Natal, 2010.