Nesse texto abordamos a construção de polígonos com a utilização do mouse e por meio da digitação de comandos na Entrada.

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1 12 Nesse texto abordamos a construção de polígonos com a utilização do mouse e por meio da digitação de comandos na Entrada. POLÍGONOS A ferramenta Polígono possibilita construir polígonos a partir de pontos já construídos na Janela de Visualização ou mesmo a partir de pontos criados no momento do uso da ferramenta. Assim, para construir um polígono basta clicar na ferramenta Polígono e clicar em pontos a sua escolha na Janela de Visualização. A construção deve ser finalizada clicando novamente no ponto em que a construção foi iniciada. É possível ainda construir um polígono digitando comandos na Entrada. Para isso, utiliza-se uma das seguintes sintaxes: Polígono[ <Ponto>,..., <Ponto>] Esse comando constrói um polígono a partir de um conjunto de pontos específicos, por exemplo, Polígono[(0,0), (2,3), (1,5)] constrói um polígono de vértices (0,0), (2,3) e (1,5) que são os parâmetros do comando. Supondo que os pontos A = (0,0), B=(2,3) e C=(1,5) estivessem construídos no GeoGebra. Nesse caso, digitando Polígono[A, B, C] na Entrada obtemos o mesmo resultado descrito anteriormente.

2 13 Polígono[ <Lista de Pontos> ] Com essa sintaxe é possível construir um polígono a partir de uma lista de pontos. Assim, dada uma lista de pontos L = {(0,0), (2,3), (1,5)}, basta digitar Polígono [L] na Entrada para obter um polígono. POLÍGONO REGULAR Com a ferramenta Polígono Regular obtemos polígonos a partir de dois pontos e de um número natural que indica a quantidade de lados ou vértices. Para construir um polígono regular basta clicar em Polígono Regular, escolher dois pontos e, em seguida, o GeoGebra carrega uma janela em que deve-se digitar um número ou o nome de uma variável que representa a quantidade de vértices. Após digitar o número de vértices, ou a variável, clicando-se em OK obtém-se um polígono regular. O mesmo resultado pode ser obtido usando a seguinte sintaxe na Entrada: Polígono[ <Ponto>, <Ponto>, <Número de Vértices>]

3 14 POLÍGONOS RÍGIDOS O GeoGebra possui uma ferramenta com a qual é possível construir polígonos não deformáveis, ou seja, polígonos cuja forma não é afetada ao movimentar um vértice ou um lado. Essa ferramenta é chamada Polígono Rígido. Clicando na ferramenta Polígono Rígido podemos construir um polígono de cinco lados conforme exibido abaixo. Como podemos observar o GeoGebra retornou apenas os dois primeiros pontos clicados, A e B, e um polígono rígido. Nesse caso se movermos o ponto A todo o polígono é movido juntamente. Se movermos o ponto B, o polígono é girado em torno do ponto A. Portanto, em nenhum dos casos o polígono é deformado.

4 15 Isometrias no plano é um tópico de estudo da Geometria das Transformações e sua abordagem visa propiciar conceituações de congruência e de semelhança, procurando desenvolver a capacidade de perceber se duas figuras têm ou não a mesma forma e o mesmo tamanho independente da posição que elas ocupam no plano. Nesse texto vamos abordar algumas isometrias no GeoGebra. SIMETRIA DE TRANSLAÇÃO Na simetria de translação obtém uma imagem da figura original deslocada uma medida c dada, a qual pode ser representada por um vetor. No GeoGebra é possível obter um polígono (pol2) a partir de um polígono (pol1), por exemplo. Inicialmente construímos um polígono (pol1) e um vetor (u). Clicando em Translação por um Vetor e, em seguida, clicando no polígono e no vetor obtemos a figura transladada. O mesmo resultado pode ser obtido digitando Transladar[<Objeto>, <Vetor>] com os seguintes parâmetros e obtemos outro polígono (pol2) transladado por u.

5 16 Utilizando o comando Sequência[<Expressão>,<Variável>,<Valor Inicial>,<Valor Final>], juntamente com o comando Transladar podemos obter uma sequência de polígonos transladados por múltiplos do vetor u. O comando Sequência[<Expressão>,<Variável>,<Valor inicial>,<valor final>] possibilita criar sequências de números, de pontos, de segmentos, de polígonos, entre outros. O comando deve ser digitado uma expressão em uma variável a sua escolha, por exemplo: Para obter os seis primeiros números pares Sequência[2*n, n, 0, 5] Para obter dez pontos da função f(x) = 2^x: Sequência[(n, f(n)), n, 1, 10] Nos comandos acima o n é a variável do comando e os dois próximos valores determinam os limites mínimo e máximo em que o comando deve ser executado.

6 17 SIMETRIA DE ROTAÇÃO Na simetria de rotação, obtemos a imagem de um objeto por meio de um giro em torno de um ponto fixo, chamado de centro de rotação. figura A. A ferramenta Rotação em torno de um Ponto por um Ângulo permite obter uma figura B girando uma Assim, com a ferramenta Rotação em torno de um Ponto por um Ângulo ativa, clica-se na figura e no ponto. O GeoGebra exibe uma caixa com um campo para ser preenchido com a medida do Ângulo. Além disso, há opções para escolha do sentido do giro. Definida a amplitude do ângulo e o sentido do giro, clica-se em OK para que seja obtida a imagem girada pelo ponto O (centro de rotação).

7 18 É possível ainda obter a imagem girada de uma figura digitando-se comandos na Entrada. Para isso, utiliza-se uma das seguintes sintaxes: Girar[ <Objeto>, <Ângulo>] Girar[ <Objeto>, <Ângulo>, <Ponto>] As duas sintaxes acima apresentam diferenças quanto aos resultados obtidos. Na primeira a imagem girada é obtida em relação à origem, ou seja, o ponto (0,0), já que não é especificado o centro de rotação. E na segunda, a imagem girada é obtida em relação a um centro escolhido arbitrariamente. Da mesma forma que fizemos com o comando Transladar, podemos utilizar o comando Girar[<Objeto>, <Ângulo>, <Ponto>] aninhado ao comando Sequência para obter uma série de polígonos que correspondem a giros de pol1 em torno do ponto O.

8 19 SIMETRIA DE REFLEXÃO Na simetria de reflexão há um segmento passando pela figura ou fora dela que atua como espelho, refletindo a imagem desenhada. Esse segmento recebe o nome de eixo de simetria. O eixo e divide a figura em duas partes iguais ou congruentes. A figura A e sua simétrica, a figura B, estão a mesma distância do eixo e. No GeoGebra podemos obter imagens refletidas utilizando as ferramentas Reflexão em Relação a uma Reta ou Reflexão em Relação em Relação a um Ponto. Com uma das ferramentas selecionadas, clicase na figura a qual deseja-se obter a imagem refletida e clica-se na reta (ou ponto). É possível ainda obter a imagem refletida de uma figura digitando-se comandos na Entrada. Para isso, utiliza-se uma das seguintes sintaxes: Reflexão[ <Objeto>, <Ponto> ] Reflexão[ <Objeto>, <Reta> ]

9 20 Quando construímos um objeto no GeoGebra, um polígono, uma reta, um ponto, por exemplo, eles são exibidos na Janela de Visualização com atributos como cor, espessura da linha, transparência/opacidade predefinidos pelo software. Abordaremos nesse texto como modificar esses atributos acessando a Janela de Propriedades. JANELA DE PROPRIEDADES Clicando com o botão direito do mouse sobre um objeto na Janela de Visualização ou sobre seu nome na Janela de Álgebra podemos acessar a Janela de Propriedades. Na Janela de Propriedades visualizamos cinco abas: Básico, Cor, Estilo, Avançado e Programação. Na aba Básico é possível modificar atributos de um ou mais objetos selecionados. Em nossa imagem exemplo acima selecionamos o triângulo ABC (pol1). Ao acessar as propriedades desse objeto que são exibidas na Janela de Propriedades abaixo, visualizamos as definições e atributos desse polígono. A opção Fixar Objeto quando selecionada fixa o objeto na Janela de Visualização não permitindo que ele seja movido com o ponteiro do mouse. A opção Definir como Objeto Auxiliar faz com que o nome do objeto componha uma lista de objetos que não são exibidos por padrão na Janela de Álgebra.

10 O triângulo DEF, representado na cor azul na imagem abaixo, foi definido como objeto auxiliar. Como podemos notar pol2 é exibido na Janela de Visualização, mas não é exibido na Janela de Álgebra. 21 Esse recurso do GeoGebra permite que nomes de objetos que foram úteis na construção, mas que não são úteis ao utilizar o GeoGebra em uma aula ou em uma apresentação, não desviem a atenção do usuário. No entanto, caso necessitarmos, é possível exibir as nomenclaturas dos objetos auxiliares na Janela de Álgebra. Para isso, realizamos os seguintes passos. Clicamos no ícone que aparece ao lado de Janela de Álgebra. Clicamos em Objetos Auxiliares. Na aba Cor é possível modificar a cor do objeto selecionado a partir de uma palheta de cores predefinidas no software. Clicando em outro é possível ainda acrescentar cores que não são apresentadas na palheta. Para isso, devemos modificar os valores dos controles deslizantes.

11 22 Para controlar a transparência ou opacidade do objeto modificamos os valores do controle de transparência para valores de 0 a 100. Sendo que no valor zero a figura é totalmente transparente e no 100, totalmente opaca. Na aba Estilo são disponibilizadas opções que permitem modificar a espessura e o estilo da linha. E além disso, modificar o preenchimento de objetos. As imagens abaixo são exemplos de aplicação da opção preenchimento. A opção Inverter Preenchimento permuta o preenchimento do objeto com o plano de fundo. No exemplo ao lado, antes de selecionarmos Inverter Preenchimento, o plano de fundo era de cor branca e o polígono estava preenchido com a malha hexagonal.

12 23 Nesse texto abordamos como construir círculos, arcos e setores circulares no GeoGebra a partir de comandos digitados na caixa de Entrada. CÍRCULO O GeoGebra apresenta quatro sintaxes para o comando Círculo. A primeira delas é a seguinte: Círculo[<Ponto>, <Medida do Raio>] Nessa sintaxe devemos digitar, como parâmetros, o centro e o comprimento do raio (não é necessário que o ponto esteja previamente construído). Quanto ao parâmetro Medida do Raio, podemos digitar um valor numérico, que determinará um raio de comprimento fixo para o círculo. Podemos ainda, por exemplo, digitar o nome de um controle deslizante. Assim, é possível modificar a medida do raio por meio do controle deslizante. Com um ponto A = (1,1) construído na Janela de Visualização e digitando o comando Círculo[A, 2] na Entrada, obtemos o seguinte círculo. A segunda sintaxe do comando círculo apresenta os seguintes parâmetros Círculo[<Ponto>, <Segmento>] Entrada. Para construir um círculo a partir do ponto A e do segmento BC digitamos o comando Círculo[A, a] na

13 Caso não houvesse nem o ponto A e nem o segmento BC construídos previamente na Janela de Visualização, o mesmo resultado poderia ser obtido por meio do comando: 24 Círculo[(1,1), Segmento[(-3,2),(-1,3)]]. Na terceira sintaxe, Círculo[<Ponto>, <Ponto>], devemos digitar dois pontos como parâmetros: o primeiro determina o centro do círculo e, o segundo, um ponto sobre a circunferência. A medida do raio, nesse caso, é determinada pela distância entre esses pontos. O procedimento para obter o círculo usando esse comando é semelhante aos que apresentamos nos exemplos anteriores. A quarta e última sintaxe do comando Círculo é a seguinte: Círculo[ <Ponto>, <Ponto>, <Ponto>] Na entrada digitamos o comando determinando quais são os pontos que estarão sobre a circunferência. Por exemplo, digitamos Círculo[(1, 1), (3, 1), (2, 4)] para construir um círculo cuja circunferência passa pelos pontos (1, 1), (3, 1) e (2, 4). ARCO As sintaxes a seguir são úteis para a construção de arcos no GeoGebra: Arco[ <Círculo>, <Ponto>, <Ponto> ] Arco[ <Elipse>, <Ponto>, <Ponto> ] Arco[ <Círculo>, <Valor do Parâmetro>, <Valor do Parâmetro> ] Arco[ <Elipse>, <Valor do Parâmetro>, <Valor do Parâmetro> ] ArcoCircular[ <Centro>, <Ponto>, <Ponto> ] ArcoCircuncircular[ <Ponto>, <Ponto>, <Ponto> ]

14 As duas primeiras sintaxes são uteis para construir arcos tendo como suporte um círculo ou uma elipse e dois pontos. Veja como construir um arco sobre uma elipse nos passos a seguir. 25 Considere uma elipse e e dois pontos A e B. Note que A pertence a curva da elipse e e B não pertence a curva da elipse e. Digitamos o seguinte comando na Entrada: Arco[e, A, B] e obtemos um arco sobre a elipse e delimitado pelo ângulo de vértice em (0,0) e semirretas por A e B. As sintaxes Arco[<Círculo>, <Valor do Parâmetro>, <Valor do Parâmetro>] e Arco[<Elipse>, <Valor do Parâmetro>, <Valor do Parâmetro>], são utilizadas para obter arcos sobre círculos e elipses, respectivamente. Os valores dos parâmetros são úteis para definir os giros dos pontos inicial e final desse arco. Na imagem a seguir aparece uma circunferência c e semirretas consecutivas formando ângulos de 15º. Além disso, foram construídos dois pontos A e B. Observe o resultado de Arco[<Círculo>, <Valor do Parâmetro>, <Valor do Parâmetro>] em cada caso. caso 1: Arco[c, 15, 45 ]

15 26 caso 2: Arco[c, A, B] caso 3: Arco[c, B, A] caso 4: Arco[c, π, 2π] SETOR Para construir setores utilizando comandos devemos utilizar uma das sintaxes a seguir: Setor[ <Cônica>, <Ponto>, <Ponto> ] Setor[ <Cônica>, <Valor do Parâmetro>, <Valor do Parâmetro> ] SetorCircular[ <Centro>, <Ponto>, <Ponto> ] SetorCircuncircular[ <Ponto>, <Ponto>, <Ponto> ] Essas sintaxes são utilizadas de modo semelhante ao que apresentamos para arcos.