Projeto: Desenvolvimento e Implementação de Software Educacional para a Área de Matemática Voltado para Escolas da Rede Pública - DISEAM
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- Patrícia Klettenberg Vilarinho
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1 UNIJUÍ - Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul DCEEng - Departamento de Ciências Exatas e Engenharias PIBEX - PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSAS DE EXTENSÃO Projeto: Desenvolvimento e Implementação de Software Educacional para a Área de Matemática Voltado para Escolas da Rede Pública - DISEAM BOLSISTA: MARCELO WACHTER MAROSKI (Acadêmico do curso de Matemática - Licenciatura) ORIENTADORA: LECIR DALABRIDA DORNELES Revisado por: A. Patrícia Grajales Spilimbergo, Cláudia Piva e Nadine Noviski OFICINA DO GEOGEBRA: ANÁLISE DE FUNÇÕES ALGÉBRICAS Objetivos - Representar graficamente as principais funções algébricas utilizando o GeoGebra. - Identificar os pontos notáveis através da investigação e analisar o comportamento de uma função algébrica através de sua representação gráfica. Procedimentos Explore a tela inicial do GeoGebra, identificando: - a Janela de Visualização (seta verde), ao centro, onde são representadas as construções geométricas; - a Janela de Álgebra (seta azul) à esquerda ou no celular abaixo, onde são representadas algebricamente todas as construções geométricas; - a barra de ferramentas (seta amarela), na parte superior ou no celular tocando no ícone do lápis, com as principais utilidades do software; - o campo de Entrada (seta vermelha), na parte inferior, onde podemos digitar uma série de comandos que são reconhecidos pelo GeoGebra; caso esteja utilizando a versão para celular também ao tocar no campo de entrada notará a presença do teclado virtual onde se encontram todas as teclas necessárias para entrada de comandos e expressões.
2 Tela do computador Tela Celular Após essa exploração inicial, iniciaremos com a construção da primeira função que será objeto de nossa análise. 1. Na Entrada, digite a função do primeiro grau (ou função afim): x+1 e clique enter. Não é necessário digitar a função deixando espaços em branco, porém, as variáveis devem ser digitadas em letra minúscula. Observe que o gráfico passa a ser representado na Janela de Visualização, enquanto na Janela de Álgebra a função está nomeada como f(x).
3 2. Na Entrada, digite (k,f(k)), para criar um ponto A sobre a curva associado a um controle deslizante, que nos auxiliará para a análise da função. Após digitar e clicar enter, uma janela aparecerá na tela, perguntando se você deseja criar o controle deslizante para a variável k; aceite, selecionando a opção Criar Controles Deslizantes. 3. Localize k na Janela de Visualização, no computador (no celular ele se encontra na Janela de Álgebra) e, utilizando o mouse, as setas do teclado ou tocando sobre o controle, movimente-o para a esquerda e para a direita, observando o posicionamento do ponto sobre a curva. Observe também o valor assumido pela variável k e os valores de x e y no ponto A.
4 Observação: é importante que o aluno perceba que o Número k (Controle Deslizante), criado na Janela da Álgebra, permite simular vários pontos da função e que seu valor corresponde ao valor x da função. 4. Utilizando o controle deslizante k, analise a função e determine, caso exista: Função: f(x) = x +1 a) o ponto de interseção com o eixo x (raiz) c) o intervalo onde a função é positiva d) o intervalo onde a função é negativa e) o intervalo em que a função é crescente f) o intervalo em que a função é decrescente 5. Na Entrada, digite f(x)=-x+2 isto irá substituir a função anterior e manter o que foi construído anteriormente para a função. Observe a nova função f(x), o Número k e o ponto A. Atenção: é de grande importância cuidar como foi nomeada a sua função na Janela de Álgebra, pois a letra que estiver representando a sua função deve ser a mesma que irá no comando do ponto (k,...(k)). Por exemplo: se a sua função for nomeada como h(x), o comando do ponto deverá ser (k,h(k)). Se você fizer todas as funções que sugerimos, poderá seguir os comandos que fornecemos aqui. Mas quiser pular algumas funções, deverá cuidar essa observação, para que seus comandos sejam corretos.
5 6. Utilizando o controle deslizante k, analise a função e determine, caso exista: Função: f(x) = - x + 2 a) o ponto de interseção com o eixo x (raiz) c) o intervalo onde a função é positiva d) o intervalo onde a função é negativa e) o intervalo em que a função é crescente f) o intervalo em que a função é decrescente 7. Repita o mesmo procedimento de representação e análise para as funções: A) 2x+1 B) -5/2x+1 Observação: Caso queira comparar duas funções ao mesmo tempo na tela, basta nomeá-las diferentes, por exemplo, f(x) = 2x + 1 e g(x) = -5/2x+1. Para simular pontos em cada uma das funções o controle deslizante deverá ser criado para cada uma das funções, (k, f(k)) e (k, g(k)). Também é possível criar controles deslizantes para os coeficientes a e b. Caso queira ocultar uma algo da Janela de Visualização, basta clicar nas bolinhas azuis na Janela de Álgebra.
6 a) o ponto de interseção com o eixo x (raiz) c) o intervalo onde a função é positiva d) o intervalo onde a função é negativa e) o intervalo em que a função é crescente f) o intervalo em que a função é decrescente f(x) = 2x + 1 f(x) = -5/2x + 2 Sistematizando: Considerando as simulações realizadas para as funções anteriores complete a tabela abaixo considerando f(x) = ax + b, com a e b reais e a não nulo. Se necessário simule funções introduzindo controles deslizantes para os coeficientes.
7 Variando a e observando o que ocorre. Variando b e observando o que ocorre.
8 Analisando para uma função qualquer. Função: f(x) = ax + b considerando a > 0 a) a raiz c) o intervalo onde a f(x) é positiva d) o intervalo onde a f(x) é negativa e) o intervalo em que a f(x) é crescente f) o intervalo em que a f(x) é decrescente Função: f(x) = ax + b considerando a < 0 a) a raiz c) o intervalo onde a f(x) é positiva d) o intervalo onde a f(x) é negativa e) o intervalo em que a f(x) é crescente f) o intervalo em que a f(x) é decrescente
9 8. Analisando função do segundo grau (ou função quadrática). Na Entrada digite f(x) = x ^2, repita o mesmo procedimento de análise anterior identifique, caso exista: Função: f(x) = x² a) os pontos de interseção com x (as raízes) c) a orientação da concavidade d) as coordenadas do vértice e) o intervalo onde a função é positiva f) o intervalo onde a função é negativa g) o ponto de máximo h) o ponto de mínimo i) o intervalo de crescimento j) o intervalo de decrescimento 9. Repita o mesmo procedimento de análise para as funções abaixo. A) 2x^2 B) x^2+2x C) -x^2-2x+1/100 a) as raízes c) a orientação da concavidade d) as coordenadas do vértice e) o intervalo onde a função é positiva f) o intervalo onde a função é negativa g) o ponto de máximo h) o ponto de mínimo i) o intervalo de crescimento j) o intervalo de decrescimento f(x)=-2x² f(x)=x²+2x f(x)=-x²-2x+1/100
10 10. Analisando função de terceiro grau (ou função cúbica). Na Entrada digite f(x) = x ^3, repita o mesmo procedimento de análise anterior identifique, caso exista: a) as raízes c) o intervalo onde a função é positiva d) o intervalo onde a função é negativa e) o ponto de máximo local f) o ponto de mínimo local g) o intervalo de crescimento h) o intervalo de decrescimento Função: f(x) = x³ 11. Repita os mesmos procedimentos para as funções: A) x^3-3x^2+x+1 B) x^3+2x^2-1 a) as raízes c) o intervalo onde a função é positiva d) o intervalo onde a função é negativa e) o ponto de máximo local f) o ponto de mínimo local g) o intervalo de crescimento h) o intervalo de decrescimento f(x)= x³-3x²+x+1 f(x)= x³+2x² Sistematizando: após analisar as funções afim, quadrática e cúbica, complete o quadro com as conclusões obtidas por você durante a oficina, utilizando um SIM se o elemento pode estar presente na função e um NÃO se o elemento nunca estiver presente na função. Raiz ou Raízes Elemento Função afim Função quadrática Função cúbica Ponto de interseção com o eixo y Intervalo positivo Intervalo negativo Vértice Concavidade Ponto de máximo Ponto de mínimo Intervalo de crescimento Intervalo de decrescimento
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