O MÉTODO DOS QUADRADOS MÍNIMOS E O MOVIMENTO RETILÍNIO UNIFORME: UMA PROPOSTA DE MODELAGEM NAS AULAS DE FÍSICA E MATEMÁTICA

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1 O MÉTODO DOS QUADRADOS MÍNIMOS E O MOVIMENTO RETILÍNIO UNIFORME: UMA PROPOSTA DE MODELAGEM NAS AULAS DE FÍSICA E MATEMÁTICA Yuri Zanerippe Miguel 1 Liliane Nicola 2 Valdinere da Rosa Rocho 3 Eixo Temático: 1. Processos de Ensino e aprendizagem - com ênfase na inovação tecnológica, metodológica e práticas docentes Resumo Objetivando estudar o movimento de um corpo sem a ação de forças (dissipativas), e investigar uma possibilidade de aplicação de modelagem nas aulas de Física e de Matemática, utilizando como principal recurso a análise de experimentos por meio de vídeos e aplicando os conhecimentos abordados no contexto da Licenciatura em Matemática, em específico Cálculo Numérico, desenvolve-se este artigo. Ao estudar o movimento de um corpo pode-se verificar se é um movimento retilíneo uniforme (MRU), e determinar a sua velocidade durante este movimento. De acordo com Nussenzveig (2002), o MRU é um movimento unidimensional, que aborda conceitos da cinemática, sendo considerado entre os movimentos como o mais simples, onde a velocidade é dada pelo coeficiente angular. Segundo Libordani, Sauerwein e Alves (2011), a Cinemática é um conteúdo que pode ser trabalhado experimentalmente, mas empecilhos como o tempo para a coleta de dados e obtenção de dados precisos, contribuem para que haja pouca experimentação em sala de aula sobre a temática. Pelo viés do Cálculo Numérico, é necessário obter dados do MRU, para isso realizou-se um experimento, onde ocorreu a coleta de dados e após a coleta, a análise, definindo-se as unidades de grandezas, os pares ordenados, e os ajustes matemáticos objetivando obter a função de linearização. Os materiais utilizados são de fácil acesso, sem recursos de equipamentos laboratoriais, consequentemente, é uma proposta que pode ser reproduzida em sala de aula visando a modelagem de dados e a interpretação e compreensão de conceitos (MRU e função). Trata-se de repensar o uso de recursos tecnológicos simples e acessíveis que podem facilitar na visualização e entendimento de conceitos. A metodologia utilizada nesse estudo foi a modelagem matemática, que consiste para Bassanezi (2011), em um método de transformar problemas da realidade em modelos. É um processo dinâmico que permite obter e validar modelos matemáticos prevendo tendências. Para a realização do experimento utilizou-se de régua milimétrica de 100 centímetros, canaleta de PVC, materiais para suporte e esfera de aço (Figura 1). Figura 1: Experimento MRU 1 Instituto Federal Catarinense Campus Avançado Sombrio, yuri.zanerippe@gmail.com. 2 Instituto Federal Catarinense Campus Avançado Sombrio, nicolaliliane@gmail.com. 3 Instituto Federal Catarinense Campus Avançado Sombrio, valdirene.rocho@sombrio.ifc.edu.br.

2 Para analisar os dados do experimento o mesmo foi filmado. A análise da gravação ocorreu com o auxílio de um software editor de vídeo, que permitiu visualizar cada frame do vídeo (pedaços), considerando a esfera nas posições escolhidas para o experimento. Adotou-se o marco de 20 cm da régua como ponto zero, desconsiderando o tempo transcorrido até a esfera chegar neste marco. Para Nussenzveig (2002, p. 23), Um método de congelar a posição instantânea de um objeto em movimento é tirar uma fotografia de exposiçãomúltipla, em que o objeto é iluminado a intervalos de tempo (Δt) regulares, por um flash ultrarrápido (estroboscópica).. De acordo com Libordani, Sauerwein e Alves (2011), esse recurso permite tanto uma abordagem qualitativa quanto quantitativa de situações experimentais. Os dados encontrados foram organizados (Figura 2) utilizando um editor de planilha. Figura 2: Dados coletados Para a obtenção de um modelo matemático dos dados coletados, utilizou-se o Método dos Quadrados Mínimos, que segundo Cecco, Fiori e Vassoler (2016), é ideal para ajustar funções já tabeladas a uma função que aproxime esses valores. Para elaboração deste trabalho, foi utilizado o Caso Discreto do método. Esta escolha, assim como a escolha da melhor linearização, deu-se pelo problema que estava sendo estudado, de acordo com o diagrama de dispersão (Figura 3), obtido com o auxílio do editor de planilhas. Parafraseando Ruggiero e Lopes (1996), uma vez que se tem uma tabela de pontos (, é preciso plotar esses pontos em um gráfico cartesiano. O gráfico resultante é chamado diagrama de dispersão. A análise do gráfico permite visualizar a curva que melhor se ajusta aos dados e com isso determina-se um polinômio característico. Figura 3: Gráfico de Dispersão

3 Para utilização do método, segundo Ruggiero e Lopes (1996) se faz necessário resolver o seguinte sistema: Com a visualização do gráfico da dispersão (Figura 3), concluiu-se que para linearização dos pontos, a função linear é a que melhor se ajusta. (2) Para fazer as devidas substituições, utilizou-se e. Deste modo, calculou-se os somatórios do sistema (1) com auxílio de um editor de planilha (Figura 4). Figura 4: Somatórios (1). Com os valores encontrados e utilizando a equação (1), obteve-se o seguinte sistema linear: Para facilitar a resolução do sistema utilizou-se o método Eliminação de Gauss, com o auxílio do software gratuito VCN (Figura 5), o sistema foi escrito na forma matricial : Figura 5: Resolvendo o Sistema linear.

4 Analisando o software, sabendo que a matriz é composta pelo coeficiente linear ( ) e o coeficiente angular ( ), tem-se: Utilizando software gratuito Graph, obtém-se o gráfico (Figura 6). Figura 6: Função obtida pelo método e Diagrama de Dispersão. A qualidade do ajuste, é dada, de acordo com Barroso et. al (1987), pelo cálculo do coeficiente de determinação. (2) Para obter os somatórios indicados na fórmula utilizou-se um editor de planilha (Figura 7). Figura 7: Somatório referente aos Coeficientes de Determinação

5 Substituindo na fórmula (3), obteve-se: 0, Ainda de acordo com Barroso et. al (1987), o ajuste é eficiente quando tende a um, concluindo-se que o ajuste de pontos está próximo do ideal, analisando a função gerada a velocidade do objeto é de aproximadamente cm/s. A escolha por um estudo sobre o MRU foi relevante, uma vez que no Ensino de Física e de Matemática, seja no Ensino Superior e/ou no Ensino Médio, há, em geral, uma certa dicotomia, pois ambas as disciplinas abordam conteúdos que se complementam e que podem e devem ser utilizados afim de diminuir a fragmentação do currículo, o que muitas vezes dista da realidade. Sendo assim, uma proposta para possibilitar essa integração é o uso de experimentos e análise de situações reais, propiciando a reflexão dos discentes sobre sua realidade, tornando o ensino de ambas disciplinas significativo. Em geral, a abordagem de contexto em sala de aula se dá dentro de um modelo ideal, que dista do mundo real. Por meio da utilização de métodos que permitem que o próprio aluno analise diferentes situações e experimentações (modelagem), é possível fazer uma ponte entre o real e o abstrato, generalizando o modelo para diferentes situações em que os processos podem ser aplicados. Além disso, a utilização de ferramentas digitais é relevante pois, facilita/agiliza os cálculos e permite uma visualização mais ampla do todo. Palavras-chave: Cálculo Numérico, Modelagem, Experimento, Física, Matemática, Movimento Retilíneo Uniforme (MRU). Referências BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: uma nova estratégia. São Paulo: Contexto, BARROSO, L. C.; BARROSO, M. M. A.; CAMPOS, F. F.; CARVALHO, M. L. B.; MAIA, L. M. C. Cálculo Numérico: com aplicações. 2. ed. São Paulo: Harbra, CECCO, B.L; FIORI, A. F.; VASSOLER, G. Ajuste de Curvas pelo Método dos Quadrados Mínimos. Disponível em: < Acesso em: 08 jun LIBORDANI, G. C.; SAUERWEIN, R. A.; ALVES, J. Inserção de Novas Tecnologias em Conjunto com Aulas Experimentais da Cinemática: MRU e MRUV Disponível em: < cnologias> Acesso em: 06 jul