Exercícios de ANÁLISE E SIMULAÇÃO NUMÉRICA

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1 Exercícios de ANÁLISE E SIMULAÇÃO NUMÉRICA Licenciaturas em Engenharia do Ambiente e Química 2 o Semestre de 25/26 Capítulo V Integração Numérica 1. Demonstre que na regra de integração do ponto médio se tem: x + h 2 x h 2 f(x) dx = hf(x ) + E(f) onde E(f) = h f (θ) 24 e θ (x h 2, x + h 2 ). 2. Considere o integral: e x2 dx a) Determine o seu valor aproximado, considerando 4 subintervalos e utilizando: i. A regra dos Trapézios. ii. A regra do Simpson. b) Faça uma estimativa do número mínimo de subintervalos que se deveria considerar, se se pretendesse calcular o integral da alínea anterior com um erro inferior a 1 4, utilizando: i. A regra dos Trapézios. ii. A regra de Simpson.. Suponha que a função f é denida no intervalo [, a] do seguinte modo: { x x 1 f(x) = x 1 1 x a a) Obtenha aproximações para o integral I(f) = a f(x)dx, com a = 2 e a =, dos seguintes modos: 1

2 i. Utilizando a regra dos trapézios composta, com passo h = 1. ii. Utilizando a regra do Simpson simples. b) Determine o erro de cada um dos resultados obtidos, comparando com o valor exacto de I(f). c) A fórmula do erro da regra dos trapézios é aplicável neste caso? E a da regra do Simpson? Justique. 4. Pretende-se construir uma fórmula de quadratura do tipo Q(g) = A g() + A 1 g(1) para aproximar I = e x g(x)dx a) Calcule A e A 1 de modo a que a fórmula seja exacta para funções g(x) = a + bx com a, b R. b) Seja g(x) = sin(x). Obtenha uma aproximação de I usando a regra de quadratura obtida em a) e calcule uma estimativa do erro absoluto. c) Determine um valor aproximado para I usando a regra dos Trapézios composta com 4 subintervalos. d) Determine o número mínimo de subintervalos necessários na regra dos Trapézios composta, para garantir que o erro absoluto do resultado seja inferior a 1 2 (despreze erros de arredondamento). 5. Pretende-se obter a fórmula de integração Q(f) = A f() + A 1 [f(x 1 ) + f( x 1 )] de modo a que ela seja pelo menos de grau 2 para o integral I(f) = 1 f(x)dx. a) Exprima A e A 1 em função de x 1. b) Mostre que a fórmula obtida é pelo menos de grau e determine x 1 de modo a que a fórmula seja pelo menos de grau A tabela seguinte mostra os resultados obtidos por uma regra de Newton- Côtes (composta) no cálculo do integral I(f) de uma certa função f indenidamente diferenciável. n I n

3 O valor I n representa a aproximação obtida com n + 1 nós de integração. Sabendo que o valor exacto do integral é I(f) = , diga, justicando, que fórmula poderá ter sido utilizada (Trapézios ou Simpson). 7. Considere a seguinte tabela de valores de uma função f(x) x i f(x i ) 1 2 1/2 1/2 a) Utilizando a fórmula de Newton com diferenças divididas, determine o polinómio de grau 2, p 2 (x) que interpola f(x) nos pontos x = 2, x 2 = e x 4 = 2. b) Suponha que pretendemos aproximar o valor de I = 2 f(x)dx por 2 2 p 2 2(x)dx. Sabendo que as derivadas de f vericam f (j) (x) j/2, j = 1,..., 4 no intervalo [ 2, 2], determine um majorante par o erro de integração. Justique. 8. Calcule o valor aproximado de sin( x2 2 )dx a) usando a regra dos trapézios composta com 5 nós de integração igualmente espaçados, e determinando um majorante do erro. b) usando a regra de Simpson simples, e determinando um majorante do erro. 9. Pretende-se obter uma fórmula com dois nós no intervalo [ 1, 1], i.e. uma fórmula do tipo: I 1 (f) = A f(x ) + A 1 f(x 1 ) a) Escreva o sistema de equações que lhe permite calcular A e A 1 de modo a que a fórmula seja, pelo menos, de grau 1. b) Resolva o sistema em ordem a A e A 1. c) Mostre que, sa x e x 1 forem tais que x x 1 = 1, a fórmula de integração assim obtida tem pelo menos grau 2.

4 1. Sabe-se que a função f C 4 ( 2, 1) toma os valores f(1) = 2, f(4) = 7, f(1) = 6, e que 1, 4 e 1 são pontos xos de f f. a) Determine o valor aproximado de f(x)dx usando a regra de Simpson com 5 nós de 2 quadratura. b) Admitindo que f (iv) (x) 1, determine um majorante do erro absoluto cometido em a). 11. a) Encontre uma fórmula de quadratura Q(f) = 2f(a)+Af(b) que seja exacta para os polinómios de grau 2 no intervalo [, 1]. b) Indique como construir uma fórmula composta, partindo da expressão obtida em a). 12. Considere os integrais J(f) = f(x)e x dx a) Deduza uma fórmula de quadratura que seja exacta para J(a + bx), usando um único ponto em [, 1]. b) Indique a fórmula composta, e calcule uma aproximação do integral J(cos(x 2 )) usando 4 subintervalos. 1. Considere o integral denido I = π/4 π/2 ln(sin(x))dx a) Determine o menor número de pontos em que deve conhecer o valor da função integrada para calcular I pela regra dos trapézios composta com um erro que não exceda b) Utilizando o resultado da alínea anterior, calcule um valor aproximado de I. 14. Considere a seguinte tabela de valores de uma função f x f(x) /2 4

5 7 a) Obtenha dois valores aproximados para f(x)dx, de duas maneiras 1 distintas, recorrendo a fórmulas de quadratura e usando o maior número possível de pontos da tabela. Justique a escolha dos pontos. b) Supondo que max x [ 1,7] f (n) (x) M n, n, com M n constante real, determine expressões, em função de M n, para os erros de integração nos dois casos que considerou na alínea anterior. 15. Para aproximar o integral I(f) = xf(x)dx, em que f C2 [, 1], consideremos a fórmula de quadratura Q(f) = A f() + A 1 f (1) onde f designa a derivada de f. Determine os pesos A, A 1 de modo a que a fórmula dê o valor exacto do integral quando f é um polinómio de grau 1. EXAME,LEC 25/7/ Considere a regra de quadratura de Gauss com nós de integração (no intervalo [ 1, 1]) dada por: (ver execício 5). Q(f) = 5 9 f( 5 ) f() f( 5 ) a) Explique como adaptar esta regra para aproximar integrais do tipo b a f(x)dx. b) Calcule uma aproximação do integral sin(exp(x))dx. 5