Métodos Numéricos Interpolação / Aproximação. Renato S. Silva, Regina C. Almeida

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1 Métodos Numéricos Interpolação / Aproximação Renato S. Silva, Regina C. Almeida

2 Interpolação / Aproximação situação: uma fábrica despeja dejetos no leito de um rio; objetivo: determinar a quantidade de dejetos expelidos durante o dia; metodologia idealizada: fazer a coleta de amostra a cada hora; realizado: após muitas tentativas, apenas 4 tiveram sucesso hora quantidade de poluentes (Kg/hora) 08: : : :00 1 Como estimar o que se deseja dos dados observados? Geoma/03 p.1/41

3 Exemplo: despejo de poluente Tentar extrair dos dados coletados alguma indicação sobre a função que descreve a taxa de mudança na quantidade de poluição ao longo do dia buscar alguma informação sobre a integral - quantidade de poluentes ao dia reescrevendo os dados de outra maneira, com o tempo medido a partir do horário de início de funcionamento da fábrica número de horas após as 08:00h quantidade de poluentes (Kg/hora) Geoma/03 p.2/41

4 Exemplo: despejo de poluente Representação gráfica das medidas: Geoma/03 p.3/41

5 Exemplo: despejo de poluente Para preencher as lacunas nos dados, admite-se que os valores de uma medida são constantes até a seguinte: Geoma/03 p.4/41

6 Exemplo: despejo de poluente Alternativamente, admite-se variação linear entre os valores coletados: Geoma/03 p.5/41

7 Exemplo: despejo de poluente E se supormos que o despejo ocorre de forma contínua e suave? F Interpolação Polinomial (linear, Lagrange, diferenças divididas) Splines Aproximação Série de Taylor Mínimos Quadrados Geoma/03 p.6/41

8 Interpolação Polinomial calcular um polinômio que de algum modo aproxima em um intervalo são dados pontos distintos no plano deseja-se determinar um polinômio estes pontos, isto é, satisfaz que interpola tem grau Geoma/03 p.7/41

9 Interpolação Polinomial Exemplo: despejo de poluentes com dados: número de horas quantidade de poluentes após as 08:00h (Kg/hora) Polinômio interpolador (grau ) significa obter os oeficientes e Geoma/03 p.8/41

10 Interpolação Polinomial então Geoma/03 p.9/41 se e sistema de 4 equações lineares em

11 Interpolação Polinomial pode ser resolvido usando o método de eliminação de Gauss é único encontrar meio mais simples e barato de determiná-lo Geoma/03 p.10/41

12 Interpolação por Polinômios de Lagrange novamente considere considere 4 polinômios especiais de grau 3 (Polinômios de Lagrange): e e satisfazem por construção Geoma/03 p.11/41

13 Interpolação por Polinômios de Lagrange Fazendo Tem duas propriedades: é um polinômio de grau é o polinômio interpolante desejado não é necessário resolver sistema de equações custo decorre da determinação dos polinômios de Lagrange Geoma/03 p.12/41

14 se note que Forma de Diferenças Divididas de Newton são:, onde O polinômio interpolante é... Geoma/03 p.13/41

15 Forma de Diferenças Divididas de Newton obtém-se se Com então o sistema de equações é: Geoma/03 p.14/41

16 Forma de Diferenças Divididas de Newton Resolvendo por substituição:... os coeficientes recebem uma denominação especial: e em é a diferença dividida de Geoma/03 p.15/41

17 Forma de Diferenças Divididas de Newton em é o polinômio que interpola Geoma/03 p.16/41

18 Forma de Diferenças Divididas de Newton Geoma/03 p.17/41

19 Forma de Diferenças Divididas de New Geoma/03 p.18/41

20 Forma de Diferenças Divididas de Newton 5 dados 2+x/2-x*(x-2)/30-17*x*(x-2)*(x-5)/ Kg/hora horas Geoma/03 p.19/41

21 Forma de Diferenças Divididas de Newton e entre e entre e entre Geoma/03 p.20/41

22 Forma de Diferenças Divididas de Newton e entre e entre e entre 5 dados 2+x/2 3+(x-2)/3 4-3*(x-5)/4 4 3 Kg/hora Geoma/03 p.21/41 horas

23 Interpolante Linear por Partes 5 dados linear por partes 4 3 Kg/hora horas nenhuma restrição de continuidade imposta sobre entre os sub-intervalos ou sobre suas derivadas Geoma/03 p.22/41

24 Erro de Interpolação Teorema do erro para aproximação polinomial: Seja o polinômio (único) de grau que interpola em é uma função definida num intervalo que contém os pontos. Se é continuamente diferenciável em, então para o erro é dado por vezes Geoma/03 p.23/41

25 Interpolação Usando Splines exige-se certa regularidade do interpolante na interface entre os sub-intervalos SPLINES: polinômios de ordem que interpolam os dados e têm derivadas contínuas em todo o intervalo o spline deve passar nos nós o spline não forma ângulos agudos spline cúbica ( ) é a mais comum Geoma/03 p.24/41

26 Interpolação Usando Spline Cúbica 5 dados primeiro intervalo segundo intervalo terceiro intervalo 4 3 Kg/hora horas Geoma/03 p.25/41

27 Aproximação se conhece a função mais ela é muito complicada se tem um conjunto de dados aproximar por funções simples ou polinômios quão boa é a aproximação? aproximações para um conjunto de dados Geoma/03 p.26/41

28 Aproximação Geoma/03 p.27/41 dados são determinados por um sistema linear dependem da natureza dos dados muito menor que é em geral

29 Aproximação qualidade da aproximação erro ou resíduo erro método dos mínimos quadrados é minimizado Geoma/03 p.28/41

30 Aproximação Seja o conjunto de dados A função que melhor se ajusta, no sentido de mínimos quadrados, a função cujos parâmetros é são determinados de modo que a soma dos quadrados dos resíduos seja mínima Geoma/03 p.29/41

31 Aproximação por Mínimos Quadrados dado por Seja reescrito como derivadas passará por um mínimo quando as parciais se anularem simultaneamente, ie, Geoma/03 p.30/41

32 Aproximação por Mínimos Quadrados Como reescrevemos equações com incógnitas sistema de Geoma/03 p.31/41

33 Aproximação por Mínimos Quadrados Ajuste Polinomial: Ajuste a uma reta - Regressão Linear Dados procura-se a reta que melhor se ajusta aos dados Geoma/03 p.32/41

34 Regressão Linear Pelo critério dos mínimos quadrados seja mínimo e para que Geoma/03 p.33/41 onde e

35 Geoma/03 p.34/41 Regressão Linear ou ou

36 Regressão Linear Geoma/03 p.35/41 e resolver o sistema para determinar sistema : regra de Cramer e

37 Regressão Linear - Exemplo do despejo de poluentes e Geoma/03 p.36/41

38 Regressão Linear - Exemplo do despejo de poluentes 5 dados aprox. linear 4 3 Kg/hora horas Geoma/03 p.37/41

39 Aproximação Quadrática e mínimo resíduo onde e Geoma/03 p.38/41

40 Aproximação Pela Série de Taylor : Expansão em série de Taylor de necessário conhecer aproximar melhor suave, então: mais termos se é aproximação Geoma/03 p.39/41

41 Aproximação Pela Série de Taylor Exemplo do despejo de poluentes Fazendo diferença divididas: linear por partes Geoma/03 p.40/41

42 Aproximação Pela Série de Taylor Exemplo do despejo de poluentes 5 dados 2+x/2 3+(x-2)/3 4-3*(x-5)/4 4 3 Kg/hora horas Geoma/03 p.41/41