f(x) = 1 + 2x + 3x 2.

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1 Interpolação e ajuste não-segmentados 1 Introdução O problema geral da interpolação pode ser denido da seguinte forma: Seja F uma família de funções f : D E e {(x i, y i )} N i1 um conjunto de pares ordenados tais que x i D e y i E, encontrar uma função f da família dada tal que f(x i ) y i para cada 1 i N Exemplo 1 Encontrar uma função f(x) da forma f(x) ae bx onde a e b são constantes tal que f(1) 1 e f() 5 Este problema equivale a resolver o seguinte sistema de equações: ae b 1 ae b 5 Dividindo a segunda equação pela primeira, temos e b 5, logo, b ln(5) Substituindo este valor em qualquer das equações, temos a 1 5 Assim f(x) 1 5 eln(5)x 1 5 5x 5 x 1 Exemplo Encontrar a função polinomial do tipo f(x) a+bx+cx que passe pelos pontos ( 1, ), (, 1), (1, 6) Observamos que podemos encontrar os coecientes a, b e c através do seguinte sistema linear: a b + c a 1 a + b + c 6 cuja solução é dada por a 1, b e c 3 Portanto f(x) 1 + x + 3x Interpolação polinomial Interpolação polinomial é o caso particular do problema geral de interpolação quando a família de funções é constituída de polinômios Teorema 1 Seja {(x i, y i )} n i um conjunto de n + 1 pares ordenados de números reais tais que i j x i x j (ie as abscissas são distintas) então existe um único polinômio P (x) de grau igual ou inferior a n que passa por todos os pontos dados Demonstração Observamos que o problema de encontrar os coecientes a, a 1,, a n do polinômio n P (x) a + a 1 x + a x + a n x n a k x k tal que P (x i ) y i é equilavente ao seguinte sistema linear de n+1 equações e n+1 incógnitas: a + a 1 x + a x + + a n x n y a + a 1 x + a x a n x n 1 y 1 a + a 1 x n + a x n + + a n x n n y n k 1

2 que pode ser escrito na forma matricial como 1 x x x n 1 x 1 x 1 x n 1 1 x x x n 1 x n x n x n n a a 1 a a n y y 1 y y n A matriz envolvida é uma matriz de Vandermonde de ordem n + 1 cujo determinante é dado por (x j x i ) i<j n É fácil ver que se as abscissas são diferentes dois a dois, então o determinante é não-nulo Disto decorre que o sistema possui um a solução e que esta solução é única Exemplo 3 Encontre o polinômio da forma P (x) a + a 1 x + a x + a 3 x 3 que passa pelos pontos (, 1), (1, ), (, 4), (3, 8) Este problema é equivalente ao seguinte sistema linear: a 1 a + a 1 + a + a 3 a + a 1 + 4a + 8a 3 4 a + 3a 1 + 9a + 7a 3 8 cuja solução é a 1, a 1 5 6, a e a Portanto P (x) x x3 Exemplo 4 Encontre o polinômio da forma P (x) a + a 1 x + a x + a 3 x 3 que passa pelos pontos (, ), (1, 1), (, 4), (3, 9) Este problema é equivalente ao seguinte sistema linear: a a + a 1 + a + a 3 1 a + a 1 + 4a + 8a 3 4 a + 3a 1 + 9a + 7a 3 9 cuja solução é a, a 1, a 1 e a 3 Portanto P (x) x Esta abordagem direta que zemos ao calcular os coecientes do polinômio na base canônica se mostra ine- ciente quando o número de pontos é grande e quando existe grande discrepância em as abscissas Neste caso a matriz de Vandermonde é mal-condicionada (ver [1]), acarretando um aumento dos erros de arredondamento na solução do sistema Uma maneira de resolver este problema é escrever o polinômio em uma base que produza um sistema mais bem-condicionado

3 3 Diferenças divididas de Newton O método das diferenças divididas de Newton consistem em contruir o polinômio interpolador da seguinte forma: P (x) a + a 1 (x x ) + a (x x )(x x 1 ) + + a n (x x )(x x 1 ) (x x n 1 ) Assim, o problema de calcular os coecientes a, a 1,, a n é equivalente ao seguinte sistema linear: a y a + a 1 (x 1 x ) y 1 a + a 1 (x x ) + a (x x )(x x 1 ) y a + a 1 (x n x ) + a (x n x )(x n x 1 ) + + a n (x n x )(x n x 1 ) (x n x n 1 ) y n Equivalente à sua forma matricial: 1 1 (x 1 x ) 1 (x x ) (x x )(x x 1 ) 1 (x n x ) (x n x )(x n x 1 ) (x n x )(x n x 1 ) (x n x n 1 ) a a 1 a a n y y 1 y y n Este é um sistema triangular inferior que pode ser facilmente resolvido conforme: a y a 1 y 1 a x 1 x y 1 y x 1 x a y a 1 (x x ) a (x x )(x x 1 ) y y 1 (x x 1 ) y 1 y (x 1 x ) (x x ) A solução deste sistema pode ser escrita em termos das Diferenças Divididas de Newton, denidas recursivamente conforme: f[x j ] y j Nesta notação, temos a k f[x, x 1, x,, x k ] f[x j, x j+1 ] f[x j+1] f[x j ] x j+1 x j f[x j, x j+1, x j+ ] f[x j+1, x j+ ] f[x j, x j+1 ] x j+ x j 3

4 Podemos esquematizar o método na seguinte tabela: j x j f[x j ] f[x j 1, x j ] f[x j, x j 1, x j ] x f[x ] f[x, x 1 ] f[x 1] f[x ] x 1 x 1 x 1 f[x 1 ] f[x, x 1, x ] f[x 1,x ] f[x,x 1 ] x x x f[x ] f[x 1, x ] f[x ] f[x 1 ] x x 1 Exemplo 5 Encontrar o polinômio que passe pelos seguintes pontos ( 1, 3), (, 1), (1, 3), (3, 43) j x j f[x j ] f[x j 1, x j ] f[x j, x j 1, x j ] f[x j 3, x j, x j 1, x j ] ( 1) 1 1 ( ) 1 ( 1) ( 1) Portanto P (x) 3 (x + 1) + (x + 1)x + (x + 1)x(x 1) x 3 + x x + 1 Problema 1 Considere o seguinte conjunto de pontos: (, 47), (, 3), (1, 4)(, 41) Encontre o polinômio interpolador usando os métodos vistos Trace os pontos no Scilab usando o comando 'plotd' e trace o gráco do polinômio usando comandos de plotagem e a estrutura de polinômio Resp: 5x 3 + x 3 4

5 4 Polinômios de Lagrange Outra maneira clássica de resolver o problema da interpolação polinomial é através do polinômios de Lagrange Dado um conjunto de pontos {x j } n j1 distintos dois a dois, denimos os polinômios de Lagrange como os polinômios de grau n 1 que satisfazem as seguintes condições: { 1, k j L k (x j ), k j Assim, a solução do problema de encontrar os polinômios de grau n 1 tais P (x j ) y j, j 1,, n é dado por n P (x) y 1 L 1 (x) + y L (x) + + y n L n (x) y j L j (x) Para construir os polinômios de Lagrange, basta olhar para sua forma fatorada, ou seja: L k (x) C k (x x j ) 1 j k n onde o coeciente C k é obtido da condição L k (x k ) 1: L k (x k ) C k (x k x j ) C k Portanto, 1 j k n L k (x) 1 j k n (x x j ) (x k x j ) j1 1 1 j k n (x k x j ) Observação 1 O problema de interpolação quando escrito usando como base os polinômios de Lagrange produz um sistema linear diagonal Exemplo 6 Encontre o polinômio da forma P (x) a + a 1 x + a x + a 3 x 3 que passa pelos pontos Escrevemos: Assim temos: L 1 (x) L (x) L 3 (x) L 4 (x) (, ), (1, 1), (, 4), (3, 9) (x 1)(x )(x 3) ( 1)( )( 3) 1 6 x3 + x 11 6 x + 1 x(x )(x 3) 1(1 )(1 3) 1 x3 5 x + 3x x(x 1)(x 3) ( 1)( 3) 1 x3 + x 3 x x(x 1)(x ) 3(3 1)(3 ) 1 6 x3 1 x x P (x) L 1 (x) + 1 L (x) + 4 L 3 (x) + 9 L 4 (x) x Exemplo 7 Encontre o polinômio da forma P (x) a + a 1 x + a x + a 3 x 3 que passa pelos pontos (, ), (1, 1), (, ), (3, 1) Comos as absissas são as mesmas do exemplo anterior, podemos utilizar os mesmos polinômios de Lagrange, assim temos: P (x) L 1 (x) + 1 L (x) + L 3 (x) + 1 L 4 (x) 3 x3 3x x 5

6 5 Aproximação de funções reais por polinômios interpoladores Teorema Dados n + 1 pontos distintos, x, x 1,, x n, dentro de um intervalo [a, b] e uma função f com n + 1 derivadas contínuas nesse intervalo (f C n+1 [a, b]), então para cada x em [a, b], existe um número ξ(x) em (a, b) tal que f(x) P (x) + f (n+1) (ξ(x)) (x x )(x x 1 ) (x x n ), (n + 1)! onde P (x) é o polinômio interpolador Em especial, pode-se dizer que onde f(x) P (x) M (n + 1)! (x x )(x x 1 ) (x x n ), M max x [a,b] f (n+1) (ξ(x)) Exemplo 8 Considere a função f(x) cos(x) e o polinômio P (x) de grau tal que P () cos() 1, P ( 1) cos( 1 ) e P (1) cos(1) Use a fórmula de Lagrange para encontrar P (x) Encontre o erro máximo que se assume ao aproximar o valor de cos(x) pelo de P (x) no intervalo [, 1] Trace os grácos de f(x) e P (x) no intervalo [, 1] no mesmo plano cartesiano e, depois, trace o gráco da diferença cos(x) P (x) Encontre o erro efetivo máximo cos(x) P (x) P (x) 1 (x 1 ( ) )(x 1) 1 (x )(x 1) ( 1 + cos )( 1) ( 1 )( 1 1) + cos(1)(x )(x 1) (1 )(1 1) x x L1poly([5 1],'x');L1L1/horner(L1,) Lpoly([ 1],'x');LL/horner(L,5) L3poly([ 5],'x');L3L3/horner(L3,1) PL1+cos(5)*L+cos(1)*L3 x[:5:1] plot(x,cos) plot(x,horner(p,x),'red') plot(x,horner(p,x)-cos(x)) Para encontrar o erro máximo, precisamos estimar f (x) sin(x) sin(1) < 85 e max x [,1] (x x 1 ) (x 1) O polinômio de grau três Q(x) x ( x ) 1 (x 1) tem um mínimo (negativo) em x e um máximo 6 (positivo) em x 3 3 Logo 6 max x [,1] (x x 1 ) (x 1) max{ Q(x 1), Q(x ) } Portanto, f(x) P (x) < < ! Para encontrar o erro efetivo máximo, basta encontrar o máximo de P (x) cos(x) O mínimo (negativo) de P (x) cos(x) acontece em x e o máximo (positivo) acontece em x Portanto, o erro máximo efetivo é

7 Exemplo 9 1 Considere o problema de aproximar o valor da integral f(x)dx pelo valor da integral do polinômio P (x) que coincide com f(x) nos pontos x, x 1 1 e x 1 Use a fórmula de Lagrange para encontrar P 1 (x) Obtenha o valor de f(x)dx e encontre uma expressão para o erro de truncamento O polinômio interpolador de f(x) é P (x) f() (x 1 )(x 1) ( 1 + f )( 1) f()(x 3x + 1) + f ( ) 1 (x )(x 1) ( 1 ( 1 )( 1 1) + f(1)(x )(x 1 ) (1 )(1 1 ) ) ( 4x + 4x) + f(1)(x x) e a integral de P (x) é 1 [ ( P (x)dx f() 3 x3 3 ) ( ) 1 x + x + f ( 43 ) x3 + x ( f() 3 3 ) ( ) f ( 43 ) f() + ( ) 1 3 f f(1) Para fazer a estimativa de erro usando o teorema (), e temos f(x)dx P (x)dx f(x) P (x)dx 1 M 6 M 6 M 6 Lembramos que M max x [,1] f (x) ( + f(1) 3 1 f(x) P (x) dx 1 (x x 1 ) (x 1) dx [ 1/ ( x x 1 ) (x 1)dx [ 1 64 ( 1 )] M ( + f(1) ) 1/ 3 x3 1 x )] 1 ( x x 1 ) ] (x 1)dx Observação Existem estimativas melhores para o erro de truncamento para este esquema de integração numérica Veremos com mais detalhes tais esquemas na teoria de integração numérica Problema Use o resultado do exemplo anterior para aproximar o valor das seguintes integrais: a) b) 1 1 ln(x + 1)dx e x dx Usando a fórmula obtida, temos que 1 1 ln(x + 1)dx 39 ± 1 96 e x dx 75 ±

8 Problema 3 Use as mesmas técnicas usadas o resultado do exemplo (9) para obter uma aproximação do valor de 1 f(x)dx através do polinômio interpolador que coincide com f(x) nos pontos x e x 1 Resp: 1 f()+f(1) P (x)dx, 1 max 1 x [,1] f (x) 6 Ajuste de curvas pelo método dos mínimos quadrados No problema de interpolação, desejamos encontrar uma função f(x) tal que f(x j ) y j para um conjunto de pontos dados Existem diversas situações em que desejamos encontrar uma função que se aproxime desses pontos Figura 1: Conjunto de 15 pontos e a reta que melhor se ajuste a eles pelo critério do mínimos quadrados No problema de ajuste de curvas, busca-se a função f(x) de família de funções dadas que melhor se aproxima de um conjunto de pontos dados O critério mais usado para o ajuste é critério dos mínimos quadrados, ou seja, buscamos a função f(x) da família que minimiza a soma dos erros elevados ao quadrado: n E q [f(x 1 ) y 1 ] + [f(x ) y ] + + [f(x n ) y n ] [f(x j ) y j ] Exemplo 1 Encontre a função do tipo f(x) ax que melhor se aproxima dos seguintes pontos: (, 1), (1, ), (, 37) e (3, 7) j1 Dena temos que E q [f(x 1 ) y 1 ] + [f(x ) y ] + [f(x 3 ) y 3 ] + [f(x 4 ) y 4 ] E q [f() + 1] + [f(1) ] + [f() 37] + [f(3) 7] [1] + [a ] + [a 37] + [3a 7] 8

9 Devemos encontrar o parâmetro a que minima o erro, portanto, calculamos: E q a Portanto o valor de a que minimiza o erro é a 68 8 x[ 1 3]' y[ ]' plotd(x,y,style-4) [a ] + 4[a 37] + 6[3a 7] 8a 68 Problema 4 Encontre a função do tipo f(x) bx + a que melhor aproxima os pontos do problema anterior Resp: f(x) 3 + 3x E q [f() + 1] + [f(1) ] + [f() 37] + [f(3) 7] [a + 1] + [a + b ] + [a + b 37] + [a + 3b 7] Devemos encontrar os parâmetros a b que minimizam o erro, por isso, calculamos as derivadas parciais: E q a E q b [a + 1] + [a + b ] + [a + b 37] + [a + 3b 7] [a + b ] + 4[a + b 37] + 6[a + 3b 7] O erro mínimo acontece quando as derivadas são nulas, ou seja: 8a + 1b 5 1a + 8b 68 Cuja solução é dada por a 3 e b 3 Portanto a função que procuramos é f(x) 3 + 3x 7 O caso linear 71 Revisão de Álgebra Linear - O método dos mínimos quadrados para problemas lineares impossíveis Considere o sistema linear dado por Ax b onde A é uma matriz n m e b é um vetor de n linhas Assumimos as seguintes hipóteses: n m O número de linhas é igual ou superior ao número de colunas (Mais equações que incógnitas) O posto de A é m, ie, existem m linhas LI Isso implica que Av apenas quando v Neste caso, não seremos necessariamente capazes de encontrar um vetor x que satisfaça exatamente a equação Ax b, pelo que estamos interessamos no problema de encontrar o vetor x (ordem m) que minimiza o erro quadrático dado por: n E : [z i b i ] (1) onde z Ax e z i é linha i do vetor z, dado por: z i (Ax) i i1 m a ij x j, i 1,, n () j1 9

10 onde a ij é o elemento de A na linha i e coluna j Substituindo () em (1) E : [ n m ] a ij x j b i (3) i1 j1 Esta é uma função diferenciável nos coecientes x j e portanto todo ponto de mínimo acontece quando E, ou seja, quando x l E, 1 l m O que implica a seguinte condição Equivalente a x l E [ n m ] a ij x j b i a il, l 1,, m i1 j1 n m a il x j a ij i1 j1 n a il b i, i1 l 1,, m que pode ser reescrito na forma vetorial como: n m i1 j1 a i1x j a ij n m i1 j1 a ix j a ij m j1 a imx j a ij n i1 n i1 a i1b i n i1 a ib i n i1 a imb i (4) Observamos agora que a expressão (4) é equivalente ao seguinte problema matricial: A T Ax A T b (5) Teorema 3 A matriz M A T A é quadrada de ordem m e é invertível sempre que o posto da matriz A é igual a número de colunas m Demonstração Para provar que M é invertível precisamos mostrar que Mv implica v : Mv A T Av tomando o produto interno da expressão A T Av com v, temos: A T Av, v Av, Av Av Então se Mv Av, como o posto de A é igual ao número de colunas, v Outra propriedade importante é que M é simétrica, ou seja, M M T Isso é facilmente provado pelo seguinte argumento: M T (A T A) T (A) T (A T ) T A T A M 1

11 7 Ajuste linear de curvas pelo método dos mínimos quadrados Seja f 1 (x), f (x),, f m (x) um conjunto de m funções e (x 1, y 1 ), (x, y ),, (x n, y n ) um conjunto de n pontos Procuram-se os coecientes a 1, a,, a m tais que a função dada por minimiza o erro dado por como f(x) m j1 a jf j (x), temos f(x) a 1 f 1 (x) + a f (x) + + a m f m (x) E q E q n [f(x i ) y i ] i1 [ n m ] a j f j (x i ) y i i1 j1 Este problema é equivalente a resolver pelo métodos dos mínimos quadrados o seguinte sistema linear: f 1 (x 1 ) f (x 1 ) f m (x 1 ) y f 1 (x ) f (x ) f m (x ) a 1 1 f 1 (x 3 ) f (x 3 ) f m (x 3 ) a y y 3 a f 1 (x n ) f (x n ) f m (x n ) m Exemplo 11 Encontrar a reta que melhor aproxima o seguinte conjunto de dados: y n x i y i Desejamos então encontrar os valores de a e b tais que a função f(x) ax + b melhor se ajusta aos pontos da tabela Am de usar o critério dos mínimos quadrados, escrevemos o problema na forma matricial dada por: [ a b Multiplicamos agora ambos os lados pela transposta ] [ ] : [ ] [ a b 11 ] [ ]

12 [ ] [ a b ] [ A solução desse sistema é a e b A tabela abaixo mostra os valores dados e os valores ajustados: ] x i y i ax i + b ax i + b y i Problema 5 Encontrar a parábola y ax + bx + c que melhor aproxima o seguinte conjunto de dados: e complete a tabela x i y i x i y i ax i + bx i + c ax i + bx i + c y i Resposta y 47898x x Problema 6 Dado o seguinte conjunto de dados x i y i ax i + bx i + c ax i + bx i + c y i x i y i

13 Encontre a função do tipo f(x) a + b sin(πx) + c cos(πx) que melhor aproxima os valores dados Encontre a função do tipo f(x) a + bx + cx + dx 3 que melhor aproxima os valores dados Resp: a , b , c e a , b , c 78438, d Problemas não lineares que podem ser aproximados por problemas lineares Eventualmente, problemas de ajuste de curvas podem recair num sistema não linear Por exemplo, se desejamos ajustar a função y Ae bx ao conjunto de pontos (x, y ), (x 1, y 1 ) e (x, y ), temos que minimizar o funcional E q (Ae x b y ) + (Ae x 1b y 1 ) + (Ae x b y ) ou seja, resolver o sistema E q A (Aex b y )e xb + (Ae x1b y 1 )e x1b + (Ae xb y )e xb E q b Ax (Ae xb y )e xb + Ax 1 (Ae x1b y 1 )e x1b + x A(Ae xb y )e xb que é não linear em A e b Esse sistema pode ser resolvido pelo método de Newton-Raphson, o que pode se tornar custoso, ou mesmo inviável quando não dispomos de uma boa aproximação da solução para inicializar o método Felizmente, algumas famílias de curvas admitem uma transformação que nos leva a um problema linear No caso da curva y Ae bx, observe que ln y ln A + bx Assim, em vez de ajustar a curva original y Ae bx a tabela de pontos, ajustamos a curva submetida a transformação logaritmica z ln A + bx : B + bx Usamos os três pontos (x, ln y ) : (x, ỹ ), (x 1, ln y 1 ) : (x 1, ỹ 1 ) e (x, ln y ) : (x, ỹ ) e resolvemos o sistema linear [ ] ỹ B A T A A T ỹ b 1, ỹ onde A 1 x 1 x 1 1 x Exemplo 1 Encontre uma curva da forma y Ae x que melhor ajusta os pontos (1, ), (, 3) e (3, 5) Temos A e a solução do sistema leva em B 1744 e b Portanto, A e Observação 3 Os coecientes obtidos a partir dessa linearização são aproximados, ou seja, são diferentes daqueles obtidos quando aplicamos mínimos quadrados não linear Observe que estamos minimizando [ln y i ln(f(x i ))] em vez de [y i f(x i )] No exemplo resolvido, a solução do sistema não linear i original seria A e B i 13

14 Observação 4 Mesmo quando se deseja resolver o sistema não linear, a solução do problema linearizado pode ser usada para construir condições iniciais A próxima tabela apresenta algumas curvas e transformações que linearizam o problema de ajuste curva transformação problema linearizado y ae bx Y ln y Y ln a + bx y ax b Y ln y Y ln a + b ln x y ax b e cx Y ln y Y ln a + b ln x + cx y ae (b+cx) Y ln y Y ln a + b + bcx + c x y a y A cos(ωx + ϕ) ω conhecido b+x Y 1 y Y b a + 1 a x y a cos(ωx) b sin(ωx), a A cos(ϕ), b A sin(ϕ) Exemplo 13 Encontre a função f da forma y f(x) A cos(πx + ϕ) que ajusta a tabela de pontos x i y i Usando o fato que y A cos(πx + ϕ) a cos(πx) b sin(πx), onde a A cos(ϕ) e b A sin(ϕ), z [ a b ] T é solução do problema B T Bz B T y, onde B cos(πx ) sin(πx ) cos(πx 1 ) sin(πx 1 ) cos(πx 1 ) sin(πx 1 ) Assim, a e b e obtemos o seguinte sistema: { A cos(ϕ) A sin(ϕ) Observe que A

15 e, escolhendo A >, A e sin(ϕ) Assim, como cos ϕ também é positivo, ϕ é um ângulo do primeiro quadrante: ϕ Portanto f(x) cos(πx ) Observe que nesse exemplo a solução do problema linear é a mesma do problema não linear Problema 7 Encontre a função f da forma y f(x) usando uma das transformações tabeladas Usando o fato que Y 1 y b a + 1 a x, z [ b a x i y i a a b+x que ajusta a tabela de pontos ]T é solução do problema A T Az A T Y, onde e Assim, 1 a 8755 e b a A Y 1 x 1 1 x 1 x 3 1 x 4 1 x 5 1 x 6 1/y 1 1/y 1/y 3 1/y 4 1/y 5 1/y e, então, a e b , ou seja, f(x) x 9 Interpolação linear segmentada Considere o conjunto (x i, y i ) n j1 de n pontos Assumiremos que x i+1 > x i, ou seja, as abscissas são distintas e estão em ordem crescente A função linear que interpola os pontos x i e x i+1 no intervalo i é dada por (x i+1 x) P i (x) y i (x i+1 x i ) + y (x x i ) i+1 (x i+1 x i ) O resultado da interpolação linear segmentada é a seguinte função contínua denida por partes no intervalo [x 1, x n ]: f(x) P i (x), x [x i, x i+1 ] 15

16 Figura : Interpolação linear segmentada dos pontos (,), (1,4), (,3), (3,), (4,), (5,) 1 Interpolação cúbica segmentada - spline Dado um conjunto de n pontos (x j, y j ) n j1 tais que x j+1 > x j, ou seja, as abscissas são distintas e estão em ordem crescente; um spline cúbico que interpola estes pontos é uma função s(x) com as seguintes propriedades: com i Em cada segmento [x j, x j+1 ], j 1,, n 1 s(x) é um polinômio cúbico ii para cada ponto, s(x j ) y j, ie, o spline interpola os pontos dados iii s(x) C, ie, é função duas vezes continuamente diferenciável Da primeira hipótese, escrevemos s(x) s j (x), x [x j, x j+1 ], j 1,, n 1 s j (x) a j + b j (x x j ) + c j (x x j ) + d j (x x j ) 3 O problema agora consiste em obter os 4 coecientes de cada um desses n 1 polinômios cúbicos Veremos que a simples denição de spline produz 4n 6 equações linearmente independentes: s j (x j ) y j, j 1,, n 1 s j (x j+1 ) y j+1, j 1,, n 1 s j(x j+1 ) s j+1(x j+1 ), j 1,, n 1 s j (x j+1 ) s j+1(x j+1 ), j 1,, n 1 Como e s j(x) b j + c j (x x j ) + 3d j (x x j ) (6) s j (x) c j + 6d j (x x j ), (7) 16

17 temos, para j 1,, n 1, as seguintes equações Por simplicidade, denimos e temos que podem ser escrita da seguinte maneira a j y j, a j + b j (x j+1 x j ) + c j (x j+1 x j ) + d j (x j+1 x j ) 3 y j+1, b j + c j (x j+1 x j ) + 3d j (x j+1 x j ) b j+1, c j + 3d j (x j+1 x j ) c j+1, h j x j+1 x j a j y j, a j + b j h j + c j h j + d j h 3 j y j+1, b j + c j h j + 3d j h j b j+1, c j + 3d j h j c j+1, a j y j, (8) d j c j+1 c j 3h j, (9) b j y j+1 y j c j h j cj+1 cj 3h j h 3 j, h j 3y j+1 3y j 3c j h j c j+1 h j + c j h j 3h j Trocando o índice j por j 1 na terceira equação (8), j,, n 1 3y j+1 3y j c j h j c j+1 h j 3h j (1) e, portanto, b j 1 + c j 1 h j 1 + 3d j 1 h j 1 b j 3y j 3y j 1 c j 1 h j 1 c j h j 1 3h j 1 + c j 1 h j 1 + c j h j 1 c j 1 h j 1 3y j+1 3y j c j h j c j+1 h j 3h j Fazendo as simplicações, obtemos: c j 1 h j 1 + c j (h j + h j 1 ) + c j+1 h j 3 y j+1 y j h j 3 y j y j 1 h j 1 (11) É costumeiro acrescentar a incógnita c n ao sistema A incógnita c n não está relacionada a nenhum dos polinômios interpoladores Ela é uma construção articial que facilita o cálculo dos coecientes do spline Portanto, a equação acima pode ser resolvida para j,, n 1 Para determinar unicamente os n coecientes c n precisamos acrescentar duas equações linearmente independentes às n equações dadas por (11) Essas duas equações adicionais denem o tipo de spline usado 17

18 11 Spline natural Uma forma de denir as duas equações adicionais para completar o sistema (11) é impor condições de fronteira livres (ou naturais), ou seja, S (x 1 ) S (x n ) (1) Substituindo na equação (7) e Usando o fato que temos que s 1(x 1 ) c 1 + 6d 1 (x 1 x 1 ) c 1 s n 1(x n ) c n 1 + 6d n 1 (x n x n 1 ) c 1 c n 1 + 3d n 1 h n 1 c n c n 3d n 1 (x n x n 1 ) + 3d n 1 h n 1 Essa duas equações para c 1 e c n juntamente com as equações (11) formam um sistema de n equações AX B, onde 1 h 1 h + h 1 h h h 3 + h h 3 A h n h n + h n 1 h n 1 1 c 1 3 y 3 y h 3 y y 1 h 1 c 3 y 4 y 3 h X e B 3 3 y 3 y h c n 3 y n 1 y n h n 3 y n y n 3 h n 3 Observe que a matriz A é diagonal dominante estrita e, portanto, o sistema AX B possui solução única Os valores dos a n, b n e d n são obtidos diretamente pelas expressões (8), (1) e (9), respectivamente Exemplo 14 Construa um spline cúbico natural que passe pelos pontos (, 45), (5, 19), (9, 5) e (1, 5) O spline desejado é uma função denida por partes da forma: a 1 + b 1 (x ) + c 1 (x ) + d 1 (x ) 3 x < 5 f(x) a + b (x 5) + c (x 5) + d (x 5) 3 5 x < 9 a 3 + b 3 (x 9) + c 3 (x 9) + d 3 (x 9) 3 9 x < 1 Os coecientes c 1, c e c 3 resolvem o sistema AX B, onde 1 A

19 X c 1 c c 3 c 4 e B 3 5 ( 19) 3 ( 19) ( 19) Observe que c 4 é um coeciente articial para o problema A solução é c 1, c , c e c 4 Calculamos os demais coecientes usando as expressões (8), (1) e (9): a 1 y 1 45 a y 19 a 3 y 3 5 d 1 c c h d c 3 c 3h b 1 y y 1 h 1 h 1 3 (c 1 + c ) b y 3 y h h 3 (c + c 3 ) b 3 y 4 y 3 h 3 h 3 3 (c 3 + c 4 ) d 3 c 4 c h ( 19) ( ) ( ) ( ( ) + ) Portanto, (x ) (x ) 3 x < 5 f(x) (x 5) (x 5) 85961(x 5) 3 5 x < (x 9) (x 9) (x 9) 3 9 x < 1 Comandos no scilab: x[ 5 9 1]' y[ ] hx(:4)-x(1:3) A[1 ;h(1) *h(1)+*h() h() ; h(1) *h(1)+*h() h(); 1 ] B[ 3*(y(3)-y())/h()-3*(y()-y(1))/h(1) 3*(y(4)-y(3))/h(3)-3*(y(3)-y())/h() ]' ca\b for i1:3 a(i)y(i) d(i)(c(i+1)-c(i))/(3*h(i)) b(i)(y(i+1)-y(i))/h(i)-h(i)/3*(*c(i)+c(i+1)) end zzeros(3,1) for i1:3 P(i)poly([a(i) b(i) c(i) d(i)],'x','coeff') z(i,:)linspace(x(i),x(i+1),1) plot(z(i,:), horner(p(i),z(i,:) -x(i))) end 19

20 1 Spline com condições de contorno xadas Alternativamente, para completar o sistema (11), podemos impor condições de contorno xadas, ou seja, Substituindo na equação (6) e S (x 1 ) f (x 1 ) S (x n ) f (x n ) s 1(x 1 ) b 1 + c 1 (x 1 x 1 ) + 3d j (x 1 x 1 ) f (x 1 ) b 1 f (x 1 ) s n 1(x n ) b n 1 + c n 1 (x n x n 1 ) + 3d j (x n x n 1 ) b n 1 + c n 1 h n 1 + 3d n 1 h n 1 f (x n ) Usando as equações (9) e (1) para j 1 e j n 1, temos: c 1 h 1 + c h 1 3 y y 1 h 1 3f (x 1 ) c n 1 h n 1 + c n h n 1 3f (x n ) 3 y n y n 1 h n 1 Essas duas equações juntamente com as equações (11) formam um sistema de n equações AX B, onde h 1 h 1 h 1 h + h 1 h h h 3 + h h 3 A h n h n + h n 1 h n 1 h n 1 h n 1 X c 1 c c n e B 3 y y 1 h 1 3f (x 1 ) 3 y 3 y h 3 y y 1 h 1 3 y 4 y 3 h 3 3 y 3 y h 3 y n 1 y n h n 3 y n y n 3 h n 3 3f (x n ) 3 y n y n 1 h n 1 Observe que a matriz A é diagonal dominante estrita e, portanto, o sistema AX Y possui solução única Os valores dos a n, b n e d n são obtidos diretamente pelas expressões (8), (1) e (9), respectivamente Exemplo 15 Construa um spline cúbico com fronteira xada que interpola a função y sin(x) nos x, x π, x π, x 3π e x π O spline desejado passa pelos pontos (, ), (π/, 1), (π, ), (3π/, 1) e (π, ) e tem a forma: a 1 + b 1 x + c 1 x + d 1 x 3 x < π a f(x) + b (x π) + c (x π ) + d (x π )3 π x < π a 3 + b 3 (x π) + c 3 (x π) + d 3 (x π) 3 π x < 3π a 4 + b 4 (x 3π) + c 4(x 3π ) + d 4 (x 3π )3 3π x < π Observe que ele satisfaz as condição de contorno f () cos() 1 e f (π) cos(π) 1

21 Os coecientes c 1, c, c 3 e c 4 resolvem o sistema AX B, onde π π/ π/ π π/ A π/ π π/ π/ π π/ π/ π 3 c π/ c /π 3 π/ π/ X c 3 e B /π π/ π/ c 4 3 ( 1) 3 ( 1) π/ π/ 1/π c ( 1) 3 6/π π/ Aqui c 5 é um coeciente articial para o problema A solução é c , c 59563, c 3, c e c Calculamos os demais coecientes usando as expressões (8), (1) e (9): a 1 y 1 a y 1 a 3 y 3 a 4 y 3 1 d 1 c c 1 3h 1 d c 3 c 3h ( ) 3 π/ ( 59563) 3 π/ d 3 c 4 c h 3 3 π/ d 4 c 5 c 4 3h π/ b 1 y y 1 h 1 h 1 3 (c 1 + c ) 1 π/ π/ ( ( ) 59563) 1 3 b y 3 y h h 3 (c + c 3 ) 1 π/ π/ ( ( 59563) + ) b 3 y 4 y 3 h 3 h 3 3 (c 3 + c 4 ) 1 π/ ( ) π/ 3 b 4 y 5 y 4 h 4 h 4 3 (c 4 + c 5 ) ( 1) π/ π/ ( ) Portanto, x x x 3 x < π (x π f(x) ) 59563(x π ) (x π )3 π x < π (x π) (x π) 3 π x < 3π (x 3π) (x 3π ) (x 3π )3 3π x < π 1

22 Referências [1] Gautschi, W, and Inglese, G Lower bounds for the condition number of vandermonde matrices Numerische Mathematik 5, 3 (1987/1988), 415