Capítulo 5 - Interpolação Polinomial

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1 Capítulo 5 - Interpolação Polinomial Carlos Balsa balsa@ipb.pt Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança 2 o Ano - Eng. Civil, Química e Gestão Industrial Carlos Balsa Métodos Numéricos 1/ 13

2 Outline Interpolação 1 Interpolação Motivação Escolha do Existência e Unicidade 2 Carlos Balsa Métodos Numéricos 2/ 13

3 Motivação Escolha do Existência e Unicidade Interpolação Problema tipo de interpolação: para os pontos dados (t 1, y 1 ), (t 2, y 2 ),..., (t m, y m ) com t 1 < t 2 <... < t m queremos determinar a função polinomial p n : IR IRtal que p n (t i ) = y i, i = 1,..., m p n é designado por polinómio interpolador Interpolação pode também ser feita com funções não-polinomiais, contudo iremos apenas considerar as polinomiais Substituindo a função tabelada (discreta) pelo polinómio interpolador permite estimar a função a função entre pontos assim com aproximar derivada e integral Carlos Balsa Métodos Numéricos 3/ 13

4 Motivação Escolha do Existência e Unicidade Exemplo Polinómio interpolador associado à seguinte função tabelada t y é p 2 (t) = 1 + 5t 4t 2 Carlos Balsa Métodos Numéricos 4/ 13

5 Motivação Escolha do Existência e Unicidade Funções Base Polinómios interpoladores gerados através da combinação linear de outras funções polinomiais pertencentes a bases de funções φ 1 (t), φ 2 (t),..., φ n (t) Polinómio interpolador p n é escolhido como combinação linear de uma base de funções n p n (t) = x j φ j (t) Impondo que p n interpole os dados (t i, y i ) significa que n p n (t i ) = x j φ j (t i ) = y i, i = 1,..., m j=1 correspondendo a um sistema linear Ax = b, em que x é um vector com n componentes x j e as entradas de matriz A, de dimensão m n, são dadas por a ij = φ j (t i ) j=1 Carlos Balsa Métodos Numéricos 5/ 13

6 Motivação Escolha do Existência e Unicidade Existência, Unicidade e Condicionamento Existência e unicidade do polinómios interpoladores depende do numero de dados m do número de funções da base n Se m > n, polinómio interpolador normalmente não existe Se m < n, polinómio interpolador não é único Se m = n, como a matriz A é não-singular desde que os pontos dados t i sejam distintos o polinómio interpolador existe e é único Sensibilidade de x a perturbações nos dados depende de cond(a) que por sua vez depende da escolha da base de funções Carlos Balsa Métodos Numéricos 6/ 13

7 Um único polinómio de grau inferior ou igual a n 1 passa por n pontos dados (t i, y i ), i = 1,..., n em que os t i são distintos Existem muitas técnicas de representar ou calcular um polinómio interpolador, mas em teoria todas devem conduzir ao mesmo resultado Dados n pontos (t i, y i ), existe um e um só polinómio de grau n 1 que passa pelos n pontos Carlos Balsa Métodos Numéricos 7/ 13

8 Base monómica φ j (t) = t j 1, j = 1,..., n origina polinómio interpolador da forma p n 1 (t) = x 1 + x 2 t x n t n 1 com coeficientes x i dados pela resolução do sistema linear Ax =. 1 t 1 t n t 2 t n t n tn n 1 2 x 1 x 2. x n = y 1 y 2. y n = y Carlos Balsa Métodos Numéricos 8/ 13

9 Exemplo: Determine o polinómio que interpola os seguintes pontos: ( 2, 27), (0, 1) e (1, 0) Usando a base monómica, o sistema linear é 1 t 1 t t 2 t t 3 t 2 3 x 1 x 2 x 3 = y 1 y 2 y 3 Para estes dados particulares o sistema linear é x x 2 = x 3 0 cuja solução é x = [ 1 5 4] T, pelo que o polinómio interpolador é p 2 (t) = 1 + 5t 4t 2 Carlos Balsa Métodos Numéricos 9/ 13

10 Dado um conjunto de pontos (t i, y i ), i = 1,..., n, as funções da base de Lagrange são definidas por l j (t) = n k=1,k j (t t k ) / n k=1,k j (t j t k ), j = 1,..., n Para a base de Lagrange { 1 se i = j l j (t i ) =, i, j = 1,..., n 0 se i j pelo qua a matriz dos coeficientes do sistema linear Ax = b é a matriz identidade. Polinómio de Lagrange que interpola os dados (t i, y i ) é dado por p n 1 (t) = y 1 l 1 (t) + y 2 l 2 (t) y n l n (t) Carlos Balsa Métodos Numéricos 10/ 13

11 Exemplo: Determine, pelo método de Lagrange, o polinómio que interpola os seguintes pontos: ( 2, 27), (0, 1) e (1, 0) Polinómio interpolador de Lagrange, de grau dois, que interpola os três pontos (t 1, y 1 ), (t 2, y 2 ) e (t 3, y 3 ) é (t t 2 )(t t 3 ) p 2 (t) = y 1 (t 1 t 2 )(t 1 t 3 ) +y (t t 1 )(t t 3 ) 2 (t 2 t 1 )(t 2 t 3 ) +y (t t 1 )(t t 2 ) 3 (t 3 t 1 )(t 3 t 2 ) Para estes dados particulares obtemos (t)(t 1) p 2 (t) = 27 ( 2)( 2 1) + ( 1)(t + 2)(t 1) (2)( 1) (t + 2)(t) + 0 (1 + 2)(1) Carlos Balsa Métodos Numéricos 11/ 13

12 Dado um conjunto de pontos (t i, y i ), i = 1,..., n, as funções da base de Newton são definidas por j 1 π j (t) = (t t k ), j = 1,..., n k=1 em que o valor do produtório é 1 se os limites da multiplicação forem nulos Polinómio interpolador de Newton tem a forma p n 1 = x 1 +x 2 (t t 1 )+x 3 (t t 1 )(t t 2 )+...+x n (t t 1 )(t t 2 )... (t t n 1 ) Para i < j, π j (t i ) = 0, pelo que a matriz A é triangular inferior, com a ij = π j (t i ) Carlos Balsa Métodos Numéricos 12/ 13

13 Exemplo: Determine, pelo método de Newton, o polinómio que interpola os seguintes pontos: ( 2, 27), (0, 1) e (1, 0) Usando a base de Newton o sistema linear é t 2 t t 3 t 1 (t 3 t 1 )(t 3 t 2 ) x 1 x 2 x 3 = Para estes dados particulares o sistema linear é x x 2 = x 3 0 y 1 y 2 y 3 cuja solução, obtida por substituição progressiva, é x = [ ] T, pelo que o polinómio interpolador é p 2 (t) = (t + 2) 4(t + 2)t Carlos Balsa Métodos Numéricos 13/ 13