CÁLCUL O INTEGRAI S DUPLAS ENGENHARIA

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1 CÁLCUL O INTEGRAI S DUPLAS ENGENHARIA

2 1 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DE Nas integrais simples, nós somamos os valores de uma função f(x) em comprimentos dx. Agora, nas integrais duplas fazemos o mesmo, mas para funções de duas variáveis f(x,y) em uma área da= dx. dy, sendo a região de integração um retângulo R= [a,b] x [c,d]. O gráfico abaixo deixa mais claro. R f(x,y) dx dy ou R f(x,y) da sendo A a área de R ATENÇÃO! Devemos começar sempre resolvendo a integral de dentro! E também é importante colocarmos os limites que são constantes na integral mais externa, para no final obtermos um valor numérico. Resolva a seguinte integral x y dy dx Vamos deixar a integral de fora um pouquinho de lado, e vamos começar pela integral de dentro: Agora, substituímos esse resultado na integral: x y dy = [ ] = - = 0 y x x ⁰ x 4 5 ² x dx = ² x4 dx = [ ] ¹ ¹ x5 0 = ¹ 5 5 [ ] = ¹ = 10 = 5 Ou seja: x 16 y dy dx = 5 REGIÕES NÃO RETANGULARES TIPO I Quando podemos limitar nossa região com barras verticais. b a a x b f1(x) y f(x) f f 1 h(x,y) dy dx

3 TIPO II Quando podemos limitar nossa região com barras horizontais. c y d g₁(x) y g₂(x) d g c g 1 h(x,y) dy dx Obs.: quando tivermos uma região que não se encaixa em nenhum dos dois tipos, podemos dividi-la em duas partes! Calcule R x.y da, onde R é uma região entre: y = x ; y = x ; x = e x = 4 Esboço do gráfico: x 4 x y x Logo, temos uma região do Tipo I. Vamos à integral: 4 x x x. y dy dx 4 x 4 = [x. ] dx [x. -. y = x x ( x )² ] dx x = [ x - 8x ] dx = [ 1. 3x x ] 4 4 = [ ] = 11 6

4 3 MUDANÇA NA ORDEM DE INTEGRAÇÃO Quando vemos que é muito complicado integrar em y, por exemplo, e que em x fica mais fácil (ou vice-versa), podemos inverter os limites de integração. Passos: 1. Fazer um esboço da região de integração.. Escrever a região de outra forma: Tipo I Tipo II. 3. Reescrever a integral com os diferenciais invertidos e com os novos intervalos. 4. Integrar! Calcule 1 e x² dx dy 0 y Como não há antiderivada elementar de relação a x. e x², não conseguimos resolver a integral primeiro em Esboço do gráfico x x 1 0 y Fixando x de 0 a 1, y irá variar de 0 a x. Reescrevemos a integral: 1 1 x 0 dx dy = y e x² e x² dx dy x² x² = 0 x. e dx = e = e COORDENADAS POLARES Usamos coordenadas polares quando a integral dupla é mais bem adaptada a esse tipo de plano, como no caso da região de integração ter circunferências/elipses ou a função a ser integrada tiver termos em x e y. Precisamos de duas informações para fazer a mudança de plano: 1. A distância até a origem (r).. O ângulo (θ) que o segmento r faz com o eixo x.

5 x = r cos Ɵ y = r sen Ɵ da = r dr d Ɵ Calcule, convertendo para coordenadas polares, a seguinte integral R x²+ y² da, sendo R a região do plano limitada no 1 quadrante pelo círculo x + y. Esboço do gráfico A região R corresponde à região interior ao círculo de centro na origem e raio, no 1 quadrante. Então R corresponde ao retângulo polar: 0 r 0 Ɵ π Vamos converter a integral para polar, substituindo no integrando x² = r cos Ɵ y² = r sen Ɵ da = r dr d Ɵ Lembre que cos Ɵ + sen Ɵ = 1, portanto a integral fica: π π ² r r dr dɵ = 0 0 ² r dr dɵ π π 3 [ ] ² r 0 dɵ = 3 ( ) 3 dɵ π = [ ( ).Ɵ ] = ( ) π = ( ) π = π = π

6 FORMAS ESPECIAIS DE COORDENADAS POLARES

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