LISTA DE EXERCÍCIOS Cálculo I -A- Humberto José Bortolossi

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1 GMA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA LISTA DE EXERCÍCIOS Cálculo I -A- Humberto José Bortolossi ttp:// 02 Modelando com Funções, Funções Elementares e Obtendo Gráficos de Gráficos [01] Uma caixa sem tampa deve ser construída de um pedaço retangular de papelão com dimensões 12 por 20 cm. Deve-se cortar quadrados de lados x de cada canto e depois dobrar, conforme mostra a figura. Expresse o volume V da caixa como uma função de x. [02] Em um certo país, o imposto de renda é cobrado da seguinte forma: (1) são isentos os que têm rendimento I até R$ ,00, (2) para qualquer renda I acima de R$ ,00 e abaixo de R$ ,00 é cobrado um imposto de 10% sobre a diferença I R$ ,00 e (3) acima de R$ ,00 o imposto é de R$ 1 000,00 mais 15% sobre a diferença I R$ ,00. (a) Qual é o imposto cobrado sobre um rendimento de R$ ,00? E sobre R$ ,00? (b) Esboce o gráfico do imposto total cobrado T como função da renda I. [03] Um fabricante quer construir caixas com tampa a partir de uma fola de papelão medindo 10 cm por 15 cm. Para construir a caixa, dois quadrados e dois retângulos são removidos dos cantos da fola de papelão, como indica a figura a seguir. Tampa Encontre uma expressão para o volume V (x) da caixa em função de x. [04] A gamela na figura abaixo dever se construídas com as dimensões indicadas (em decímetros), apenas o ângulo θ pode variar. Encontre uma expressão para o volume V (θ) da gamela em função do ângulo θ. 1

2 [05] Associe cada equação a seu gráfico. Explique sua escola. Não use o computador ou uma calculadora gráfica. (a) y = x 2, (b) y = x 5, (c) y = x 8. [06] Associe cada equação a seu gráfico. Explique sua escola. Não use o computador ou uma calculadora gráfica. (a) y = 3 x, (b) y = 3 x, (c) y = x 3, (d) y = 3 x. [07] (a) Encontre uma equação para uma família de funções afins com inclinação 2 e esboce os gráficos de vários membros da família. 2

3 (b) Encontre uma equação para a família de funções afins tais que f(2) = 1 e esboce os gráficos de vários membros da família. (c) Quais funções pertencem a ambas as famílias [08] Supona dado o gráfico de uma função f. Escreva equações para os gráficos obtidos a partir do gráfico de f da forma descrita nos itens abaixo. (a) Desloque 3 unidades para cima. (b) Desloque 3 unidades para baixo. (c) Desloque 3 unidades para direita. (d) Desloque 3 unidades para esquerda. (e) Faça uma reflexão em torno do eixo x. (f) Faça uma reflexão em torno do eixo y. (g) Estique verticalmente por um fator de 3. () Encola verticalmente por um fator de 3. [09] O gráfico de y = f(x) é dado na figura a seguir. Associe cada equação com seu gráfico e dê razões para suas escolas. (a) y = f(x 4), (b) y = f(x) + 3, (c) y = f(x)/3, (d) y = f(x + 4), (e) y = 2 f(x + 6). [10] Para cada uma das funções descritas a seguir, faça o gráfico correspondente sem plotar pontos (tabela), mas começando com o gráfico de uma das funções elementares vistas em sala de aula e, então, aplicando as transformações necessárias. y = 1/x, y = tg(2 x), y = cos(x/2), y = 1/(x 3), y = sen(x π/6)/3, y = x x 2, y = 2 x + 1, y = sen(x). [11] O gráfico de uma função f é dado a seguir. Use-o para fazer o gráfico das funções dos itens abaixo. (a) y = f(2 x), (b) y = f(x/2), (c) y = f( x), (d) y = f( x). 3

4 [12] Faça um esboço do gráfico de y = sen x e um esboço do gráfico de y = x. [13] Para cada uma das funções descritas a seguir, faça o gráfico correspondente sem plotar pontos (tabela), mas começando com o gráfico de uma das funções elementares vistas em sala de aula e, então, aplicando as transformações necessárias. y = 4 x 3, y = 2 x, y = 3 e x. [14] Encontre uma função exponencial da forma f(x) = C a x (C e a são constantes), de modo que o gráfico de f seja como o apresentado a seguir. [15] Se f(x) = 5 x, mostre que f(x + ) f(x) ( ) 5 = 5 x 1. [16] Faça um esboço dos gráficos das funções ( ) x ( ) x 1 1 y =, y =, y = 10 x, y = 4 x, y = 2 x e y = (1.5) x 2 4 em um mesmo sistema de eixos coordenados. [17] Considere a função y = g(x) = x 2 2 x. Determine o domínio natural da função g e faça um esboço do gráfico da função g. Dica: use completamento de quadrados! [18] Se f(x) = cos(x), mostre que f(x + ) f(x) = cos(x) cos() 1 sen(x) sen(). [19] Mostre que x x = e x ln(x). 4

5 Respostas dos Exercícios [01] V (x) = 4 x 3 64 x x para 0 < x < 6. [02] (a) R$ 400,00 e R$ 1 900,00, respectivamente. (b) O gráfico do imposto total cobrado T como função da renda I é dado abaixo. (em reais) (em reais) [03] V (x) = x (10 2 x)(15/2 x), para x (0, 5). [04] V (θ) = 20 (cos(θ) + cos(θ) sen(θ)), para θ [0, π/2). [05] (a), (b) f, (c) g. [06] (a) G, (b) f, (c) F, (d) g. [07] (a) y = 2 x + b, onde b é a ordenada do ponto de interseção com o eixo y. Os gráficos estão esboçados na figura abaixo. (b) y = m x m, onde m é a inclinação. Os gráficos estão esboçados na figura abaixo. (c) y = 2 x 3. [08] (a) y = f(x) + 3, (b) y = f(x) 3, (c) y = f(x 3), (d) y = f(x + 3), (e) y = f(x), (f) y = f( x), ](g) y = 3 f(x), () y = f(x)/3. [09] (a) 3, (b) 1, (c) 4, (d) 5, (e) 2. 5

6 tg sen sen Figura 1: Resposta do Exercício [06]. 6

7 (a) (b) (c) (d) Figura 2: Resposta do Exercício [07]. [10] Os gráficos são apresentados na Figura 1. [11] Os gráficos são apresentados na Figura 2. [12] Os gráficos são apresentados na Figura 3. sen Figura 3: Resposta do Exercício [08]. [13] Os gráficos são apresentados na Figura 4. [14] y = f(x) = 3 2 x. [15] Temos que: f(x + ) f(x) = 5x+ 5 x = 5x 5 5 x ( ) 5 = 5 x 1. [16] Os gráficos são apresentados na Figura 5. 7

8 Figura 4: Resposta do Exercício [09]. Figura 5: Resposta do Exercício [12]. [17] O domínio natural da função g é o conjunto D g = [ 2, 0]. Note que g(x) = x 2 2 x = (x x + 1 1) = [(x + 1) 2 1] = 1 (x + 1) 2 = f(x + 1), onde f(x) = 1 x 2. Como o gráfico de f é o semi-círculo superior de centro em (0, 0) e raio 1, concluímos que o gráfico de g é o semi-círculo superior de centro em ( 1, 0) e raio 1. 8

9 [18] Temos que: f(x + ) f(x) = cos(x + ) cos(x) = cos(x) cos() 1 = cos(x) cos() sen(x) sen() cos(x) sen(x) sen(). [19] Temos que x x = e ln(xx) = e x ln(x). Texto composto em L A TEX2e, HJB, 11/09/