Matemática Computacional

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1 Matemática Computacional MEEC 1 ạ Parte/ 1 ọ Teste 019/01/ 18h30 (+1h30) Apresente todos os cálculos e justifique convenientemente as respostas. 1. Nas duas alíneas seguintes apresente os resultados num sistema de ponto flutuante com 6 dígitos na mantissa e arredondamento simétrico. a) [1.0] Considere x π 3 e x Determine δ x e δ cos( x). b) [1.0] Compare δ cos( x) /δ x com o valor dado pelo número de condição. O cálculo de cos(x) é mal condicionado para algum x? Justifique.. Com c 0 0, considere a sucessão definida por c n+1 1 (1 c n ). a) [1.0] Calcule c n adoptando como critério de paragem c n c n b) [1.5] Mostre que a sucessão (c n ) converge, e que o limite é c Pretende-se encontrar a raiz z [0, 1] da equação: exp(x) sin(x) 1. a) [1.5] Começando com x 0 1, calcule x 1 pelo Método de Newton. Mostre que a sucessão, dada pelo Método de Newton, converge quadraticamente para z. b) [1.5] Use os valores x 0 e x 1 da alínea a) para calcular x, x 3 e x 4 pelo Método da Secante, e mostre que z x 4 < Considere o sistema não linear com quatro equações 4x 1 + x 3 + 0, x3 + x 3 x 4, x 1 + x 3 3 x, x 1 + x3 4 x 3. a) [1.0] Considerando x (0) (1,1,1,1), mostre que o cálculo de x (1) h + x (0) pelo Método de Newton conduz ao sistema linear h 1 h h 3 h 4 7. (*) b) [1.5] Para obter uma aproximação de h, solução do sistema (*), aplique duas iterações do Método de Jacobi, começando com a iterada inicial nula. Justifique ainda que o Método de Jacobi converge.

2 Matemática Computacional MEEC ạ Parte/ ọ Teste 019/01/ 18h30 (+1h30) Apresente todos os cálculos e justifique convenientemente as respostas. 1. Considere a função f (x) 3 + x e os pontos s k 1 10 k, com k 0,1,...,10. a) [1.0] Determine p 3, o polinómio interpolador de f nos nós s 0, s, s 8, s 10. b) [1.5] Calcule f (s 5 ) p 3 (s 5 ) e compare com a estimativa teórica do erro absoluto.. [1.5] Determine a,b,c R que minimizam a função Q(a,b,c), Q(a,b,c) k ( a + bk + c k k 3 ). 3. Pretende-se aproximar o valor de I (g ) 1 0 g (t)d t, com g (t) cos(sin(t)). a) [1.0] Use a Regra dos Trapézios com 5 nós de integração. b) [1.5] Admita que g (4) (t) 5 se t [0,1]. Determine um número suficiente de nós de integração para garantir uma aproximação I (g ) com um erro absoluto inferior a 10 8 : (i) pela Regra dos Trapézios, (ii) pela Regra de Simpson. Comente. c) [1.0] Considere a Regra de Simpson composta S N. Expresse esse valor em função de T N e de M N (resultados da Regra de Trapézios composta e da Regra do Ponto-Médio composta, respectivamente). 4. a) [1.5] Com dois passos do Método de Runge-Kutta do Ponto-Médio aproxime y(1) onde y (t) y(t) + t, com y(0) 1. b) [1.0] Use h 1 no Método de Euler para aproximar u(1) onde u é solução do problema u (t) u(t)t, com u(0) U, u (0) V.

3 Resolução da 1 ạ Parte 1.a) Só os resultados são apresentados em FP(10,6) [também poderiam ser aí calculados]: x , x , δ x x x x cos(x) 0.5, cos( x) , δ cos( x) b) Temos δ cos( x) /δ x Por outro lado, δ cos( x) P cos (x)δ x com n ọ de condição P cos (x) x sin(x) cos(x) x tan(x) , que é um valor próximo, conforme previsto na teoria. Finalmente, como x tan(x) tem singularidades para x π/+kπ(k Z), então próximo desses pontos o cálculo do cosseno é mal condicionado, mas não é este o caso de x π/3..a) Apresentamos os resultados em tabela n c n c n c n < 0.01.b) É sucessão do ponto fixo, com g (x) 1 (1 x ), e converge pelo T. Ponto Fixo, porque: (i) g é invariante em [0, 1 ], pois g (0) 1, g ( 1 ) 3 8, logo g [0, 1 ] [ 3 8, 1 ] (pois g é decrescente); (ii) g é contractiva em [0, 1 ] porque g (x) x 1 L < 1. Concluímos assim existir apenas uma solução c [0, 1 ] que verifica c g (c) 1 (1 c ), ou seja c + c 1 0, com c 1 ( ± 4 + 4) 1 ± [0, 1 ], ou seja c a) Temos f (x) e x sin(x) 1, com f (x) e x (cos(x) + sin(x)) e f (x) e x cos(x). Para x 0 1 obtemos x 1 x 0 f (x 0 )/f (x 0 ) Condições suficientes de convergência quadrática do Método de Newton com x 0 1 são: (i) f (0)f (1) < < 0 (ii) f (x) e x (cos(x) + sin(x)) > 0 pois f (0) 1, f (1) e f crescente por (iii) (iii) f (x) e x cos(x) > 0 se x [0,1], (note: f 0 convergência não é cúbica) (iv) f (x)f (x 0 ) > 0, pois x 0 1. Logo o Método de Newton converge quadraticamente. x 1 x 0 3.b) Obtemos x x 1 f (x 1 ) f (x 1 ) f (x 0 ) , x , x E ainda, f (x 4 ) e 4 z x 4 min x [0,1] f (x) < a) Devemos resolver o sistema J f (x (0) )h f(x (0) ) para obter x (1) x (0) + h. Como f(x) (4x 1 + x 3 +, x3 + x 3 x 4, x 1 + x 3 3 x, x 1 + x3 4 x 3) temos f(x (0) ) (7,,,). A matriz jacobiana é 4 0 x x 1 1 J f (x) 1 x 6x3 0 x x4 e obtém-se a matriz dada para J f (x (0) ) pois nesse caso x (0) 1 x (0) x (0) 3 x (0) 4 1. Concluímos que o sistema da 1 ạ iteração do Método de Newton é o apresentado.

4 4.b) A matriz C do método de Jacobi é dada por C / /6 1/6 1/6 1/ /3 0 1/6 0 e com b ( 7,,, ) temos D 1 b ( 7 4, 1 3, 1 3, 1 3 ), por isso x (1) D 1 b +C x (0) ( 7 4, 1 3, 1 3, 1 3 ) x () D 1 b +C x (1) ( 19 1, , 7, 7 36 ) Além disso, como A tem a diagonal estritamente dominante 4 >, 6 > 1 + 1, 6 > 3 + 1, 6 > 3 + 1, ou ainda, porque C max{ 1, 1 3, 1, 1 } 1 < 1, o método de Jacobi converge.

5 Resolução da ạ Parte 1.a) Para usar a Fórmula de Newton construímos a tabela de diferenças divididas s n f (s n ) f [.,.] f [.,.,.] f [.,.,.,.] obtendo p 3 (x) x x(x 0.) x(x 0.)(x 0.8). 1.b) Obtemos f (0.5) p 3 (0.5) como erro absoluto. Como f (x) (3 + x) 1/, f (x) 1 (3 + x) 1/ ; f (x) 1 4 (3 + x) 3/ ; f (3) (x) 3 8 (3 + x) 5/ ; f (4) (x) (3 + x) 7/. Pela estimativa teórica do erro absoluto, sendo f (4) (x) (3) 7/ , tem-se f (0.5) p 3 (0.5) max f (x) 4! o que confirma a majoração com um valor ligeiramente superior.. Temos φ 0 (x) 1, φ 1 (x) x, φ (x) x, f (x) x 3, e u, v u(k)v(k), obtendo k φ0,φ 0 k 1 5, φ0,φ 1 k k 0, φ0,φ k 6, k φ1,φ 1 k k 10, φ1,φ k k k 0, φ,φ k k 10. φ0, f k k3 0, Assim, φ1, f k kk3 34, a b c 0 φ, f k k k3 0. a b c a) Pela Regra dos Trapézios como h obtemos T 4 h (f (0) + f (1) + (f ( 14 ) + f ( 1 ) + f ( 34 ) )) 1 ) ( ) ( 3.b) No caso da Regra dos Trapézios, usamos g (t) cos(t)sin(sin(t)), logo g (t) cos (t)cos(sin(t)) + sin(t)sin(sin(t)) cos cos + sin sin 1 + 1, assim E T N ( 1 N ) max g (t) N < 10 8 N > 6 1/ ou seja, N 4083 e são precisos 4084 nós. No caso da Regra de Simpson, temos E S N ( 1 N )4 max g (4) (t) < 10 8 N > 36 1/ N 4 logo N 4 (é par) e são precisos só 43 nós. Confirma-se a vantagem da Regra de Simpson. 3.c) Para h b a N, e x k a + kh. A Regra de Simpson é S N (f ) h ( 3 f (x0 ) + f (x N ) + N 1 k1 f (x k) ) + 4 h N 3 k1 f (x k 1) A Regra dos Trapézios, para h 1 b a N h, é T N (f ) h ( f (x0 ) + f (x N ) + N 1 k1 f (x k) ). A Regra do Ponto Médio nos intervalos [x k, x k ] é dada por M 1 h 1 f (x k 1 ) e a composta fica M N (f ) h N k1 f (x k 1). Portanto obtemos S N (f ) 1 3 T N (f ) + 3 M N (f ).

6 4.a) Temos f (t, y) t + y com t 0 0, y 0 1 e h 1, logo f 0 f (t 0, y 0 ) 1 y 1 y 0 + h f (t h, y h f 0) f ( 1 4, ) ( ) y y 1 + h f (t h, y h f 1) f ( , f ( 1, 7 4 )) ( ) b) Usamos v(t) u (t) e v (t) u (t) u(t)t para escrever [ ] [ ] ( [ ]) [ ] u (t) v(t) u v v f t,. (t) u(t)t v u t Como t 0 0, y 0 [ u0 v 0 ] [ ] U, h 1, obtemos V [ ] [ ] [ ] U V U +V y 1 y 0 + h f (t 0, y 0 ) + 1 u(1) U +V. V U 0 V