Exame/Teste (1) de Análise Numérica (LMAC, MEIC, MMA) Instituto Superior Técnico, 12 de Janeiro de 2011, 18h30-20h00 (1º Teste)

Transcrição

1 Exame/Teste () de Análise Numérica (LMAC, MEIC, MMA) Instituto Superior Técnico, de Janeiro de, 8h-h (º Teste) ) [] Seja f(x) = e x a) Determine um p n polinómio interpolador de f nos nós {, }, tal que p n e p n são interpoladores de f e f (respect) e também em {, } b) Apresente uma estimativa para o majorante do erro de interpolação f p n no intervalo [, ] ) [] Considere os pontos a = (,, ), b = (,, ) e c = (,, ), e sejam S, S, S splines cúbicos naturais em [, ] Explicite a curva (S (t), S (t), S (t)) que interpola o ponto a quando t =, b quando t =, c quando t = ) [] Com a R, k Z, calcule o interpolador trigonométrico φ : φ(kπ) =, φ( π + kπ) = a 4) [] Determine uma fórmula de derivação numérica, para f (z), usando os valores f(z h), f(z h), f(z + h), f(z + h), com h >, de forma a ter erro O(h p ), com o maior p possível Explicite a expressão do erro ) [] Justifique se o polinómio p (x) = x + é, ou não, a melhor aproximação uniforme em P de f(x) = x x + no intervalo [, ] Auxiliar f(x) p m+ α (x) = f ( α +m+) (ξ x) ( α + m + )! f (x) p n (x) = f (n+) (ξ ) (n + )! m (x x k ) α k k= W n (x) + f (n+) (ξ ) W n(x) (n + )! h +h h h h N h N h N +h N s s N = f [x,x ] f [x,x ] f [xn,x N ] f [xn,x N ] s k = f [x k,x k+ ] h k (s k + s k+ ) ; s(x) = f k + (x x k )s k + (x x k) s k + (x x k) s [x k,x k+ ]

2 Exame/Teste () de Análise Numérica (LMAC, MEIC, MMA) Instituto Superior Técnico, de Janeiro de, 8h-h (º Teste) ) [4] Com a, b, c R, considere a matriz definida por A = a sin (c) sin (b) a cos (b) cos (c) a a) Para a <, mostre que os valores próprios de A são reais, localize os intervalos disjuntos, e comente a invertibilidade b) Com a, b = aplique o método das potências, com u () = (,, ) Comente os resultados c) Com a =, b = c =, aplique uma iterada do método QR (usando Gram-Schmidt), e apresente as aproximações dos valores e vectores próprios ) [4] Considere o problema de Cauchy u (t) = f(u(t)), com u() =, com f Lipschtiziana a) Dado um passo h >, e u =, considere o método numérico u n+ = ( + h p )u n + hf(u n ) Discuta a convergência do método em função do expoente p Z b) Em função de α R, discuta a estabilidade de um método de passo duplo: u n+ = αu n + ( α)u n + hf(u n ) c) Seja f C (R) tal que f (x) [, ε] com ε [, ] ε Mostre que para h > fixo e suficientemente pequeno, a sucessão (u n ) definida pelo método de Euler converge, u n z, verificando-se f(z) = ) [] Considere a equação diferencial de segunda ordem no intervalo [, ], u (t) + u (t) u(t) + t = f(t) Sendo u() = u() =, com h =, apresente o sistema linear, resultante de uma aproximação 4 de ª ordem por diferenças finitas, para a resolução deste problema de valores na fronteira Auxiliar B(a kk, r k ), com r k = j k a kj (bolas no T Gerschgorin - linhas) u (n+) Au (n) = σ n Au (n) (método das potências); A n = Q nr n, A n+ = R nq n (método QR) u n+ = u n + hφ h (t n, u n) (expressão geral unipasso)

3 χ-resolução: ª PARTE a) Notamos que f[x, x] = f (x) = e x = f (x) = f[x, x, x], portanto: x f e e e f[, ] e e e f[,, ] e f[,,, ] e e f[,,,, ] e e 4 e f[,,,,, ] e 9 logo pela F Newton generalizada p (x) = + x + x + (e )x + ( e)x (x ) + ( e 9 )x (x ) b) A fórmula do erro dá-nos f(x) p (x) = f () (ξ x)! x (x ), logo f p = e max x [,]! x(x ) e ( 4 ) = ) Os pontos a, b, c, são unidos por splines que verifiquem: x S S S é claro que S, faltando apenas calcular S e S Acerca de S obtemos, com h = e daqui s =, s =, obtendo h s = S [,] S [, ] = 4 s = S (x) = { x 4x, (x [, ]) (x ) + 4(x ) (x [, ]) e de forma semelhante, para S, obtemos s =, depois s =, s =, { S (x) = x + x, (x [, ]) (x ) + (x ) (x ) (x [, ]) ) Basta reparar que φ() =, φ( π ) = a, φ(π) =, φ( π ) = a, repetindo-se periodicamente Basta calcular os coeficientes para as funções base u k (t) = e ikt N W y = 4 i i i i a a = e a/ a/

4 Figure : Solução do exercício obtendo-se φ(t) = Re( a + a eit + ) = a ( cos(t)) 4) Os nós são x = z h, x = z h, x = z + h, x = z + h, logo W (x) = (x x )(x x ) implica W (z) = ( h)( h)(h)(h) = 4h 4, W (z) = ( h)( h)(h)+( h)( h)(h)+( h)(h)(h)+( h)(h)(h) =, e pela fórmula de erro, f (z) p (z) = f () (ξ )! 4h 4, ou seja conseguimos um erro O(h 4 ) usando a interpolação que anula W (z) Essa interpolação pode ser expressa pela fórmula de Newton p (x) = f[z h] + f[z h, z h](x z h) + f[z h, z h, z + h](x z + h)(x z + h) +f[z h, z h, z + h, z + h](x z + h)(x z + h)(x z h) de onde a fórmula de aproximação é dada por f (z) p (z) = f[z h, z h] + f[z h, z h, z + h](h) + f[z h, z h, z + h, z + h]( h ) NOTA: simplificando p (z) = (4f[z h, z + h] f[z h, z h] f[z + h, z + h])/, obtemos f (z) = f(z h) 8f(z h) + 8f(z + h) f(z + h) h + f () (ξ ) h 4 ) Para verificar se p é a melhor aproximação P relativamente a f(x) = x x + em [, ], usamos o Teorema de Chebyshev O p deve verificar uma equioscilação em 4 pontos do intervalo: r(x k ) = f(x k ) p (x k ) = ( ) k f p Ora, como f p = max x x x + vemos que r(x) = x x x + verifica r (z) = z z = se z = ou z =, e estes são os extremos internos, com r() = e r( ) = 4, tendo nos extremos do intervalo r( ) = 9, r() =, concluímos que r = 9 > r(x) se x ], ], e não há 4 pontos x k [, ] que satisfaçam a equioscilação Portanto, não se trata da melhor aproximação uniforme 4

5 ª PARTE a) As bolas definidas pelo T Gerschgorin (linhas, colunas é semelhante) são B(a, sin (c)) B(a, ) B(a, sin (b) + cos (b)) = B(a, ) B(a, cos (c)) B(a, ) como a < a > 4 temos B(a, ) com parte real positiva, não intersectando B(a, ), B(a, ) que têm parte real negativa Estas duas bolas também não se intersectam porque z a z a implica z a z a, logo z a z a a z + a a + a a, o que é falso por hipótese Assim, sendo as bolas disjuntas, cada bola terá um valor próprio, que terá que ser real (a matriz tem entradas reais) Temos assim valores próprios λ [a, a + ], λ [a, a + ], λ [a, a + ] Como nenhum dos intervalos contém a origem, não há valores próprios nulos e a matriz é invertível b) A primeira iterada do método das potências dá v () = Au () = a sin (c) a cos (c) a = a ; u () = v() = v() v () a = u(), concluímos que u (n) = u () = (,, ), converge imediatamente para o vector próprio associado ao valor próprio a c) Consideramos a, a, a os vectores coluna da matriz A = e efectuamos a ortonormalização de Gram-Schmidt e = a / a = (,, )/ = (,, ); v = a (a e )e = (,, ) ; e = v / v = (,, )/ v = a (a e )e (a e )e = (,, ) ( )(,, )/; e = v / v = (,, )/ = (,, ) ficando com a matriz ortogonal Q = como Q Q = I, obtemos de A = QR R = Q A, ou seja R = =,

6 e portanto A = RQ = Q AQ dá A = = Sendo λ = correcto, as aproximações são λ = = 9, λ = =, que estão próximos dos valores correctos λ =, λ = 9 (e na tolerância para a diagonal 44) a) Sendo u n+ = u n + hφ h (t n, u n ) = ( + h p )u n + hf(u n ) temos Φ h (t, u) = h p u + f(u) Devemos verificar a consistência u(t n + h) u(t n ) h Φ h (t n, u(t n )) = u (t n ) + h u (ξ n ) h p u(t n ) f(u(t n )) = h ( ) u (ξ n ) h p u(t n ) = u (ξ n ) h p u(t n ) h e o método só é consistente de ordem se p Tratando-se de um método unipasso, a convergência fica assegurada, para h suficientemente pequeno, sendo também de ordem b) A estabilidade é verificada pela equação característica r = αr + ( α), associada a u n+ = αu n + ( α)u n basta analisar as raízes dessa equação, que são r =, r = α Devemos obter r [, [ (evitando a raiz dupla em ), pelo que α <, ou seja α [, [ As raízes são assim distintas e de módulo não superior a, havendo estabilidade c) Neste caso o método de Euler escreve-se na forma u n+ = u n + hf(u n ) = g(u n ) com g(x) = x + hf(x) Temos ainda g (x) = + hf (x), e considerando < h < ε obtemos g (x) [ h ε, εh] [, h] pelo que g é uma contracção em R e a sucessão (u n ) converge para esse ponto fixo z, e z = g(z) = z + hf(z) implica f(z) = (Note que f é estritamente descrescente, tendo obrigatoriamente um e um só zero) ) Aplicamos as habituais diferenças de segunda ordem aos três pontos internos dos cinco pontos t n = nh, com n =,, 4 u (t n ) = u n+ u n + u n h Com h = 4, sendo u = u 4 =, temos para n =,, : u n+ u n + u n h + O(h ); u (t n ) = u n+ u n h + u n+ u n h( + t n ) u n ( + t n ) = f(t n) + O(h ) com f n = f(t n ), resulta no sistema : u u u = f f f