w 1 = v 1 + v 2 + v 3 w 2 = 2v 2 + v 3 (1) w 3 = v 1 + 3v 2 + 3v 3 também são linearmente independentes. T =

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1 Independência e dependência linear ) a) Sejam v, v e v vectores linearmente independentes de um espaço linear S. Prove que os vectores também são linearmente independentes. Resolução Seja V a expansão linear de {v, v, v }, w = v + v + v w = v + v () w = v + v + v V = L({v, v, v }) S. O conjunto de três vectores {v, v, v } é linearmente independente e gera V pelo que é uma base de V. Então, como vimos nas aulas teóricas, os vectores w, w, w são linearmente independentes se e só se a matriz T, que relaciona estes vectores com os vectores da base B = {v, v, v }, é invertível: T = 0 [a primeira coluna de T são os coeficientes da expansão linear de w na base B (veja () acima), a segunda são os coeficientes da expansão linear de w e a terceira são os coeficientes da expansão linear de w ]. Temos que, calculando o determinante de T (usando, por exemplo, a fórmula de Laplace ao longo da primeira linha,. det(t ) =.(6 ) + ( )( ) = 4 0. Logo, os vectores w, w, w, são linearmente independentes. b) Seja {v, v,..., v n } um conjunto linearmente independente de vectores de K n (sendo K um corpo qualquer) e seja A uma matriz invertível n n. Prove que o conjunto {Av, Av,..., Av n } também é linearmente independente. Resolução Mostremos que a igualdade α Av + + α n Av n = 0 implica, α = = α n = 0, pelo que o conjunto {Av, Av,..., Av n } é de facto linearmente independente. Temos α Av + + α n Av n = 0 A (α v + + α n v n ) = 0. Multiplicando agora ambos os membros da segunda igualdade, à esquerda, por A obtemos α v + + α n v n = 0. Como v,..., v n são linearmente independentes chegamos ao resultado pretendido, α = = α n = 0.

2 ) Determine se os seguintes conjuntos de vectores são linearmente independentes. a) Em R 4 : (,, 0, 0) (, 0,, 0) (0, 0,, ) (0,, 0, ) Resposta: não são linearmente independentes. b) Em R R : i. {, x, ( + x) } ii. {, cos x, sen x} Resposta: não são linearmente independentes (sen (x) = ( cos(x)). iii. {sen x, sen x} 4) Determine se é verdadeiro ou falso que se v, v e v são vectores linearmente independentes então também os vectores w = v + v w = v + v w = v + v são linearmente independentes. (Nota: este exercício é análogo ao exercício a). 5) a) Quantas são as matrizes de permutação 4 4? São linearmente independentes? Geram o espaço de todas as matrizes 4 4? Resolução São 4! = 4 = 4 matrizes, P σ Mat 4 (R), σ S 4. Uma vez que Mat 4 (R) = R 6, 4 matrizes são necessáriamente linearmente dependentes [em Mat 4 (R) há, no máximo, 6 matrizes linearmente independentes]. As matrizes de permutação também não geram Mat 4 (R). De facto, todas as linhas e todas as colunas das matrizes de permutação têm uma entrada igual a e as restantes iguais a 0. Isso implica que qualquer combinação linear de matrizes de permutação é uma matriz com as somas das entradas de todas as linhas iguais entre si e iguais às somas das entradas de todas as colunas. Assim, qualquer matriz que não satisfaça a essa propriedade, não pertence ao espaço das matrizes geradas pelas matrizes de permutação. Por exemplo a matriz,, tem as somas das entradas de todas as linhas iguais a 7 mas a soma das entradas da coluna é igual a 4 e da coluna é igual a 0.

3 b) Responda às mesmas questões para matrizes n n. Resolução Para n > as matrizes de permutação não geram o espaço de todas as matrizes n n pela mesma razão do caso n = 4 da alínea anterior. Relativamente à independência linear temos de considerar separadamente casos. ) n = : Neste caso temos só duas matrizes de permutação, ( ) ( ) 0 0 I =, 0 0 que são linearmente independentes (mostre isso!). ) n = : O número de matrizes de permutação é! = 6. Como o espaço de todas as matrizes, Mat (R) = R 9, tem dimensão 9, as matrizes de permutação podiam ser linearmente independentes. No entanto não são como se pode mostrar considerando o problema equivalente em R 9 (mostre isso aplicando o MEG à matriz 9 6 que obtém tomando as imagens das 6 matrizes de permutação em R 9 ). ) n 4: Para n 4, temos que n! > n pelo que as matrizes de permutação não podem ser linearmente independentes, como explicámos na alínea anterior. 6) Seja V um espaço vectorial real. Dados os vectores x, y, z e w pertencentes a V, seja f : V R um isomorfismo tal que: f(x) = (,, ) f(y) = (, 0, ) f(z) = (,, 0) f(w) = (,, ) a) Diga se w é combinação linear de x, y e z. Em caso afirmativo, exprima w como combinação linear de x, y e z. Resolução Como f : V R é um isomorfismo a pergunta colocada é equivalente a determinar se f(w) = (,, ) é uma combinação linear dos vectores, ou, equivalente, saber se a coluna f(x) = (,, ), f(y) = (, 0, ), f(z) = (,, 0), é combinação linear das colunas da matriz (i.e. pertence a Col(A)) A = 0. 0 Ou seja, temos de estudar a possibilidade do sistema com matriz aumentada à = 0 0

4 e, se for possível, resolvê-lo. Aplicando o MEG, Ã = B. Como car(a) = = car(ã), o sistema é possível. Resolvamos o sistema com matriz aumentada B (que é equivalente ao sistema com matriz aumentada Ã). α + α + α = α + α = α = α = α = α = Ou seja, a combinação linear das colunas de A que é igual a (,, ) é = pelo que, para o vector w de V, temos 0 w = x y + z b) Diga se o conjunto {x, y, z} gera V. Resolução O conjunto {x, y, z} gera V se e só se a sua imagem por f, {(,, ), (, 0, ), (,, 0)} () gera R. Mas um conjunto de três vectores em R, gera R se e só se é linearmente independente e portanto se só se é uma base. Como vimos na alínea anterior a matriz A tem três pivots pelo que as suas colunas são linearmente independentes. Assim, o conjunto {(,, ), (, 0, ), (,, 0)} gera R pelo que conjunto {x, y, z} gera o espaço V. c) Diga se {x, y, z} é linearmente independente. Resolução Análogamente à alínea anterior {x, y, z} é linearmente independente se e só se a sua imagem por f (ver () na alínea anterior) é linearmente independente em R. Já vimos que é nas alíneas anteriores (car(a) = ). 7) Seja V um espaço vectorial real. Dados os vectores x, y e z pertencentes a V, seja f : V P (R) um isomorfismo tal que: f(x) = + t + t f(y) = + t + t + t f(z) = + t a) Justifique que existe um isomorfismo de V para R 4. Para um tal isomorfismo g, apresente os valores g(x), g(y) e g(z). 4

5 Resolução Consideremos primeiro o seguinte isomorfismo do espaço de polinómios de grau menor ou igual a três para R 4, h : P (R) R 4 h(a + bt + ct + dt ) = (a, b, c, d). Como é dado que f : V P (R) é um isomorfismo e a composição de isomorfismos é um isomorfismo, temos que a função g = h f : V R 4, é um isomorfismo. As imagens pedidas são, para esta escolha de isomorfismo g, g(x) = (h f)(x) = h(f(x)) = h( + t + t ) = (,,, 0) g(y) = (h f)(y) = h(f(y)) = h( + t + t + t ) = (,,, ) g(z) = (h f)(z) = h(f(z)) = h( + t ) = (, 0,, 0). b) Diga se x, y e z geram V. Resolução Uma vez g = h f : V R 4 é um isomorfismo a pergunta colocada é equivalente a perguntar se os três vectores de R 4, obtidos na alínea anterior, e que são imagens dos vectores de V, x, y, z, geram R 4. Mas sabemos que três vectores em R 4 nunca podem gerar R 4 (são necessários quatro vectores linearmente independentes). Logo x, y, z, também não geram V. c) Diga se {x, y, z} é linearmente independente. Resolução A independência linear de {x, y, z} em V é equivalente à independência linear de {g(x), g(y), g(z)} = {(,,, 0), (,,, 4), (, 0,, 0)} em R 4. Aplicamos o MEG á matriz que tem como colunas estes vectores, A = Como todas as colunas de A têm pivots são todas linearmente independentes. Logo, {x, y, z} é linearmente dependente em V. 5