Métodos Numéricos I. A. Ismael F. Vaz. Departamento de Produção e Sistemas Escola de Engenharia Universidade do Minho

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1 Métodos Numéricos I A. Ismael F. Vaz Departamento de Produção e Sistemas Escola de Engenharia Universidade do Minho aivaz@dps.uminho.pt Engenharia Mecânica Ano lectivo 2007/2008 A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

2 Conteúdo 1 Introdução 2 Erros 3 Zeros de funções 4 Resolução de sistemas lineares 5 Resolução de sistemas não lineares 6 Interpolação polinomial 7 Interpolação segmentada - Splines 8 Mínimos quadrados lineares 9 Equações diferenciais - Condições iniciais 10 Equações diferenciais - Condições Fronteira 11 Integração numérica A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

3 Introdução Conteúdo 1 Introdução 2 Erros 3 Zeros de funções 4 Resolução de sistemas lineares 5 Resolução de sistemas não lineares 6 Interpolação polinomial 7 Interpolação segmentada - Splines 8 Mínimos quadrados lineares 9 Equações diferenciais - Condições iniciais 10 Equações diferenciais - Condições Fronteira 11 Integração numérica A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

4 Introdução Apresentação - Docente Aulas teóricas A. Ismael F. Vaz - aivaz@dps.uminho.pt Aula teórico-prática Senhorinha Teixeira st@dps.uminho.pt Horário de atendimento Quintas das 14h00 às 15h00 em Guimarães. Marcação por . A docente da TP terá o seu horário de atendimento. A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

7 Introdução Apresentação - Disciplina Página da disciplina; Duas fichas T para resolver ao longo do semestre (3 valores - Sem consulta); Ficha (Exame) TP a realizar em Janeiro (17 valores - Consulta de formulário). Nota mínima de 7 (em 17 valores). A classificação final é: Fichas + Ficha TP (Exame). As notas dos anos anteriores obtidas nas fichas teóricas transitam para o corrente ano, mas tem de ser expressamente pedido pelo aluno. É obrigatória a presença em 2/3 das aulas TPs efectivas (1/3 de faltas atenção às justificações/estatutos). A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

13 Introdução Material necessário e de apoio Calculadora científica; Folhas das fichas TPs; Papel e caneta; Livro de Computação Numérica; Software CoNum; Formulário e acetatos disponíveis na página; A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

19 Introdução Motivação da disciplina Presente em todos os cursos de engenharia (aplicações em todas as áreas da engenharia); A disciplina de métodos numéricos dedica-se à resolução numérica de problemas matemáticos. Com o desenvolvimento dos computadores encontra-se direccionada para a implementação de algoritmos estáveis. A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

20 Introdução Motivação da disciplina Presente em todos os cursos de engenharia (aplicações em todas as áreas da engenharia); A disciplina de métodos numéricos dedica-se à resolução numérica de problemas matemáticos. Com o desenvolvimento dos computadores encontra-se direccionada para a implementação de algoritmos estáveis. A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

21 Introdução Controlo óptimo - Um exemplo Problema de optimização do processo semi-contínuo de produção de Etanol. O problema de optimização é: (t 0 = 0 e t f = 61.2 dias) max u(t) s.t. J(t f ) x 3 (t f )x 4 (t f ) dx 1 = g 1 x 1 u x 1 dt x 4 dx 2 = 10g 1 x 1 + u 150 x 2 dt x 4 dx 3 = g 2 x 1 u x 3 dt x 4 dx 4 = u dt 0 x 4 (t f ) u(t) 12 t [t 0, t f ] com ( ) ( ) x 2 g 1 = 1 + x 3 / x 2 ( ) ( ) 1 x 2 g 2 = 1 + x 3 / x 2 onde x 1, x 2 e x 3 são as concentrações da massa celular, substrato e produto (g/l), e x 4 é o volume (L). As condições iniciais são: x(t 0 ) = (1, 150, 0, 10) T. A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

22 Introdução Abordagem para a resolução Grande exigência em termos numéricos; Grande exigência em termos de programação; Solução da equação diferencial com o CVODE (software em C); Problemas codificados em AMPL (linguagem de modelação); Algoritmo para optimização sem derivadas; A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

27 Introdução Programa detalhado Dia Matéria Apresentação da disciplina. Erros. Algarismos significativos. Fórmula fundamental dos erros. Erros de truncatura. Solução de equações não lineares. Método dos gráficos. Método da secante e sua convergência. Método de Newton e sua convergência. Critérios de paragem. Sistemas de equações lineares. Eliminação de Gauss com pivotagem parcial. Métodos iterativos de Gauss-Seidel e Jacobi. Sistemas de equações não lineares. Método de Newton. Miniteste 1. A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

28 Introdução Programa detalhado Dia Matéria Interpolação polinomial. Diferenças divididas. Fórmula interpoladora de Newton. Erro da fórmula interpoladora de Newton. Splines lineares e cúbicas. Mínimos quadrados polinomiais e modelos lineares. Equações diferenciais com condições iniciais de 1 a. Sistemas de equações diferenciais de 1 a ordem. Equações diferenciais de ordem superior. Equações diferencias com condições fronteira. Integração numérica. Fórmulas simples e compostas do Trapézio, Simpson e 3/8. Miniteste 2. Revisões. Avaliação Ficha TP (exame). A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

29 Erros Conteúdo 1 Introdução 2 Erros 3 Zeros de funções 4 Resolução de sistemas lineares 5 Resolução de sistemas não lineares 6 Interpolação polinomial 7 Interpolação segmentada - Splines 8 Mínimos quadrados lineares 9 Equações diferenciais - Condições iniciais 10 Equações diferenciais - Condições Fronteira 11 Integração numérica A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

30 Erros Formato de vírgula flutuante normalizado fl(x) = ±0.d 1 d 2...d k 10 e onde, 0.d 1 d 2... d k corresponde à mantissa, e e é o expoente. fl t (x) representa o valor de x em vírgula flutuante truncado e fl a (x) representa o valor de x em vírgula flutuante arredondado. Exemplo x = 2 3 fl t (x) = fl a (x) = A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

31 Erros Formato de vírgula flutuante (norma IEEE-754, 32 bits) σ e + 64 d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 d 6 1 bit 7 bits 4 bits 4 bits 4 bits 4 bits 4 bits 4 bits Exemplo x = = = ( ) σ e + 64 d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 d 6 A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

32 Erros Exemplo de programação A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

33 Erros Exemplo de programação A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

34 Erros Erros Seja x o valor exacto e x o seu valor aproximado, que será usado nos cálculos x x é o erro absoluto (normalmente não se pode calcular, porque x é desconhecido); x x δ x é o limite superior do erro absoluto; r x = x x x = δx x δx x é o erro relativo. Exemplo Pediu-se a duas pessoas para contarem laranjas de dois cestos. A primeira contou 980 laranjas num cesto de 1000 e a segunda contou 480 num cesto de 500. Apesar de cometerem o mesmo erro absoluto (δ 1 = 20 laranjas e δ 2 = 20 laranjas) a segunda cometeu um erro maior, visto que r 1 = = 0.02 e r 2 = = A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

38 Erros Fórmula fundamental dos erros Dados n valores aproximados, x 1,..., x n, e os seus respectivos erros absolutos é possível calcular um majorante para o erro absoluto cometido quando se aplica uma função f, através da fórmula fundamental dos erros. δ f M x1 δ x1 + M x2 δ x M xn δ xn f onde max x I xi Mxi, com I = I x1 I xn I xi = [x i δ xi, x i + δ xi ] r f δ f f(x 1,..., x n ) e A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

39 Erros Exemplo Cálculo dos limites do erro absoluto e relativo do cálculo da função f(x) = x 1 x 2. Temos que f x 1 Mx1 = 1 e f x 2 Mx2 = 1, logo e δ f = δ x1 + δ x2 r f δ x 1 + δ x2 x 1 x 2 A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

40 Erros Algarismos Significativos Casa decimais são as casas (algarismos) à direita da vírgula. Os algarismos significativos são aqueles em que temos confiança do seu valor. Exemplos: tem 1 algarismo significativo se δ = 0.05, 2 se δ = e 7 se δ = tem 7 casas decimais e 2 algarismos significativos (δ = ). Quando todas as casas decimais são significativas 0.2 é diferente de A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

41 Zeros de funções Conteúdo 1 Introdução 2 Erros 3 Zeros de funções 4 Resolução de sistemas lineares 5 Resolução de sistemas não lineares 6 Interpolação polinomial 7 Interpolação segmentada - Splines 8 Mínimos quadrados lineares 9 Equações diferenciais - Condições iniciais 10 Equações diferenciais - Condições Fronteira 11 Integração numérica A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

42 Zeros de funções Forma geral do problema Pretende-se determinar x tal que f(x) = 0 Exemplo Temos x = como solução para e x + x = 0 Nota: uma equação não linear pode não ter solução, ou ter mais do que uma. A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

43 Zeros de funções Métodos iterativos Uma sequência diz-se iterativa se é definida por uma função F independente de k e dependente de um ou vários elementos anteriores a ele, x k = F (x k 1, x k 2,... ) Aproximações iniciais Um método que se baseie numa sequência iterativa com k 1 elementos anteriores necessita também de k 1 valores iniciais. Exemplo x k = x k 1 + x k 2 Partindo de x 0 = 1 e x 1 = 1 temos x 2 = x 1 + x 0 = 2, x 3 = x 2 + x 1 = = 3, x 4 = x 3 + x 2 = = 5 gera uma sequência com os números de Fibonacci. A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

44 Zeros de funções Convergência Uma sequência iterativa diz-se convergente quando Convergência superlinear lim x k = x k lim k + x x k+1 x = L ou lim x k k + x x k+1 x x k = 0 Convergência quadrática x x k+1 lim k + x x k 2 = L A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

45 Zeros de funções Critério de Paragem A sequência de aproximações pode ser infinita. Como se pretende obter uma aproximação à solução implementa-se um critério de paragem. Estimativa do erro relativo d k = x k+1 x k x k+1 ɛ 1 Valor da função f(x k+1 ) ɛ 2 Número máximo de iterações k n max A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

46 Zeros de funções Método dos gráficos Uma aproximação ao zero da função f(x) pode obter-se pela intersecção do gráfico de f(x) com o eixo dos xx; se f(x) = g(x) h(x) os zeros de f(x) são os pontos de intersecção de g(x) com h(x). O método dos gráficos é frequentemente usado para obtermos uma aproximação inicial para outros métodos mais precisos. A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

47 Zeros de funções Exemplo f(x) = e x + x g(x) = e x h(x) = x g(x) 0.2 h(x) y f(x) x A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

48 Zeros de funções Método da bissecção Se f(x i )f(x s ) < 0 então existe um número ímpar de raízes de f(x) no intervalo [x i, x s ]. Aproxima-se da raiz calculando x k = x i+x s 2, k = 1, 2,... Considera-se o intervalo [x i, x k ] se f(x i )f(x k ) < 0 e faz-se x s x k ou [x k, x s ] se f(x k )f(x s ) < 0 e faz-se x i x k A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

49 Zeros de funções Interpretação gráfica (Bissecção) f(x) = e x + x f(x) xi xk+1 xk xs xs x A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

50 Zeros de funções Método da secante Método iterativo em que se fornece o x 1 e x 2 (a raiz não está necessariamente no intervalo [x 1, x 2 ]). O próximo valor é calculado pela seguinte fórmula (equação iterativa): x k+1 = x k (x k x k 1 )f(x k ), k = 2, 3,... f(x k ) f(x k 1 ) Zeros complexos: O método da secante também calcula zeros complexos, bastando para isso usar aritmética complexa. Convergência: A convergência do método da Secante depende do valor de M 2m ser pequeno. M é o max f (ξ) e m é o min f (η), onde ξ, η I. ɛ k+1 = f (ξ) 2f (η) ɛ k 1ɛ k A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

51 Zeros de funções Interpretação gráfica (Secante) f(x) = e x + x f(x) xk+2 xk+1 xk xk x A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

52 Zeros de funções Método de Newton Método iterativo em que se fornece o x 0. O próximo valor é calculado pela seguinte formula (equação iterativa): x k+1 = x k f(x k) f, k = 1, 2,... (x k ) Zeros complexos: O método de Newton também calcula zeros complexos, bastando para isso usar aritmética complexa. Convergência: A convergência do método de Newton depende do valor de M 2m ser pequeno. M é o max f (ξ) e m é o min f (η), onde ξ, η I. ɛ k+1 = f (ξ) 2f (η) ɛ2 k A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

53 Zeros de funções Interpretação gráfica (Newton) f(x) = e x + x f(x) xk+2 xk+1 xk x A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

54 Zeros de funções Principais propriedades Ambos possuem convergência local. Superlinear no caso do método da secante e quadrática no método de newton. O método da secante não usa derivadas. O método da secante e de Newton podem falhar quando o denominador da equação iterativa é próximo de zero, i.e., quando f(x k ) f(x k 1 ) ou f (x k ) 0. O método da secante e de Newton não convergem necessariamente para o zero mais próximo da aproximação inicial. A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

55 Resolução de sistemas lineares Conteúdo 1 Introdução 2 Erros 3 Zeros de funções 4 Resolução de sistemas lineares 5 Resolução de sistemas não lineares 6 Interpolação polinomial 7 Interpolação segmentada - Splines 8 Mínimos quadrados lineares 9 Equações diferenciais - Condições iniciais 10 Equações diferenciais - Condições Fronteira 11 Integração numérica A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

56 Resolução de sistemas lineares Forma geral do problema a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2... a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n É um sistema com n equações lineares nas n incógnitas, x 1, x 2,..., x n. O sistema pode ser escrito na forma matricial Ax = b a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a n1 a n2... a nn x 1 x 2... x n = b 1 b 2... b n A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

57 Resolução de sistemas lineares Exemplo x 1 x 2 x 3 = É um sistema linear de dimensão 3 3. A matriz dos coeficientes A = R 3 3 e o vector b = (1, 1, 1) T R 3 é o vector dos termos independentes A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

58 Resolução de sistemas lineares Definições A característica de uma matriz A, c(a), é o número máximo de linhas paralelas, ou colunas, linearmente independentes que existem na matriz. Para que um sistema seja possível e determinado temos de ter c(a) = n. Caso contrário (c(a) < n) o sistema é indeterminado ou impossível. À matrix (A b) que se obtém ampliando A com a coluna do termo independente b chama-se matriz ampliada do sistema. Triangular superior (inferior): É uma matriz em que os elementos abaixo (acima) da diagonal principal são zeros. Tridiagonal: Matriz em que a ij = 0, se i j 2, i, j = 1,..., n. Uma matriz com muitos elementos nulos diz-se esparsa. A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

63 Resolução de sistemas lineares Tipos de métodos Métodos directos e estáveis. Métodos que calculam a solução exacta do sistema ao fim de um número finito de operações elementares, caso não ocorram erros de arredondamento. Matrizes dos coeficientes densas e de pequena dimensão. Métodos iterativos. Métodos que definem uma sequência infinita de operações, determinando uma sequência de aproximações, cujo limite é a solução exacta do sistema. Matrizes dos coeficientes esparsas e de grande dimensão. A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

64 Resolução de sistemas lineares Tipos de métodos Métodos directos e estáveis. Métodos que calculam a solução exacta do sistema ao fim de um número finito de operações elementares, caso não ocorram erros de arredondamento. Matrizes dos coeficientes densas e de pequena dimensão. Métodos iterativos. Métodos que definem uma sequência infinita de operações, determinando uma sequência de aproximações, cujo limite é a solução exacta do sistema. Matrizes dos coeficientes esparsas e de grande dimensão. A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

65 Resolução de sistemas lineares Estabilidade numérica Considere-se o seguinte sistema linear: { x1 + x 2 = x 1 + x 2 = 2 cuja solução é x = (1, 1) T. Usando aritmética de três algarismos significativos e considerando o multiplicador igual a = , surge o sistema condensado { x 1 + x 2 = cuja solução é x = (0, 1) T!!! x 2 = A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

66 Resolução de sistemas lineares Motivação - Continuação Se nas mesmas condições usarmos a pivotagem parcial temos { x 1 + x 2 = x 1 + x 2 = m = = cuja solução é x = (1, 1) T. { x1 + x 2 = 2 x 2 = A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

67 Resolução de sistemas lineares Eliminação de Gauss com Pivotagem Parcial (EGPP) Corresponde a eliminação de Gauss, mas em que a linha usada na eliminação dos elementos da coluna das linhas seguintes é o maior em módulo. Exemplo: m 21 = 3 9 m 31 = 6 9 = A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

68 Resolução de sistemas lineares Eliminação de Gauss com Pivotagem Parcial (EGPP) m 32 = = 0.1 = A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

69 Resolução de sistemas lineares Substituição inversa Quando a matriz é triangular superior pode-se determinar a solução directamente, através da substituição inversa. Exemplo vem que x 3 = = 0.875, x ( 2) = = x 1 = 1 ( 9) = 0.5 A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

70 Resolução de sistemas lineares Substituição directa Quando a matriz é triangular inferior pode-se determinar a solução directamente, através da substituição directa. Exemplo vem que x 1 = 2 1 = 2, x 2 = = 1 x 3 = ( 1) 1 = 0 A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

71 Resolução de sistemas lineares Decomposição LU Da eliminação de Gauss com Pivotagem Parcial resulta Exemplo ( ) (A I ) (U J ) ( ) ( ) A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

72 Resolução de sistemas lineares Determinantes de Matrizes det(a) = ( 1) s n u ii onde u ii corresponde aos elementos da diagonal da matriz U e s é o número de trocas de linhas para obter a matriz U. Exemplo ( 1 2 det 2 1 ) ( = ( 1) det i=1 ) = ( 1) = 3 A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

73 Resolução de sistemas lineares Cálculo da Inversa de Matrizes A matriz inversa de A (A 1 ) verifica AA 1 = I = A 1 A. O cálculo da matriz inversa reduz-se a resolução de n sistemas lineares da forma Ax j = e j, j = 1,..., n, em que os vectores independentes e j são as colunas da matriz identidade. O vector solução x j corresponde à coluna j da matriz inversa. Na prática resolve-se os n sistemas em simultâneo, i.e., resolve-se a equação (U J ) por substituição inversa. A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

74 Resolução de sistemas lineares Cálculo da Inversa de Matrizes - Exemplo ( ) ( ) ( ) ( ) { x11 = = x 21 = = ( ) { x12 = 1 1 ( ) 2 = x 22 = = ( ) ( ) A inversa de é A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

75 Resolução de sistemas lineares Métodos iterativos Nos métodos iterativos a solução exacta só é obtida ao fim de uma sequência infinita de operações. O processo parte de uma aproximação inicial para a solução do sistema e usa uma equação iterativa da forma Mx (k+1) = Nx (k) + b, para k = 1, 2,... Os métodos em que M e N não dependem de k dizem-se estacionários. Os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel são métodos estacionário. A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

76 Resolução de sistemas lineares Método Iterativo Jacobi D matriz dos elementos da diagonal principal, L matriz dos simétricos dos elementos abaixo da diagonal principal e U matriz dos simétricos dos elementos acima da diagonal principal. O método de Jacobi usa a partição de A em D (L + U), i.e, M = D e N = L + U A equação iterativa fica Dx (k+1) = (L + U)x (k) + b ou x (k+1) = D 1 (L + U)x (k) + D 1 b A matriz iteração é C J = M 1 N = D 1 (L + U) A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

77 Resolução de sistemas lineares Método Iterativo Gauss-Seidel M = D L N = U A equação iterativa fica Mx (k+1) = Nx (k) + b ou x (k+1) = M 1 Nx (k) + M 1 b A matriz iteração é C GS = M 1 N = (D L) 1 U. A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

78 Resolução de sistemas lineares Critério de Paragem Erro relativo na aproximação x (k+1) x (k) x (k+1) < ɛ 1 Resíduo Ax (k+1) b < ɛ 2 A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

79 Resolução de sistemas lineares Convergência dos métodos iterativos Condições suficientes A simétrica e definida positiva = GS exibe convergência global; A é estrita e diagonalmente dominante = J e GS exibem convergência global; C p < 1, para qualquer normal p, = J e GS exibem convergência global; C é a matriz iteração de Jacobi ou Gauss-Seidel. A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

82 Resolução de sistemas lineares Algumas definições Uma matriz A diz-se simétrica se A = A T. Uma matriz é definida positiva se d T Ad > 0, d 0. É equivalente a verificar que todos os determinante das sub-matrizes principais são maiores do que zero. Uma matriz A diz-se estrita e diagonalmente dominante se a ii > n a ij, i = 1,..., n j=1 j i A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

85 Resolução de sistemas lineares Exemplo - convergência de Gauss-Seidel Considere-se a seguinte matriz dos coeficientes de um sistema linear ( ) 3 1 A = 1 2 Como a A = A T a matriz é simétrica. ( ) 3 1 det( 3 ) = 3 > 0 det(a) = = 5 > Logo A é simétrica e definida positiva e o método de Gauss-Seidel converge. A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

86 Resolução de sistemas lineares Exemplo - convergência de Jacobi Considere-se o seguinte sistema ( Como 1 2 a matriz dos coeficientes não é estrita e diagonalmente dominante e nada se pode concluir acerca da convergência do método de Jacobi. No entanto se trocarmos as linhas temos ( 3 1 ) e como 3 > 1 e 2 > 1 a matriz é estrita e diagonalmente dominante, logo o método de Jacobi converge. ) A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

87 Resolução de sistemas lineares Exemplo - convergência de Jacobi Considere-se a seguinte matriz dos coeficientes de um sistema linear ( ) 3 2 A = 3 1 Como 3 > 2, mas 1 3 a matriz dos coeficientes não é estrita e diagonalmente dominante e nada se pode concluir acerca da convergência do método de Jacobi. D = ( ) L = ( ) U = ( ) A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

88 Resolução de sistemas lineares Continuação ( ) ( C J = D (L + U) = ( ) = 3 0 ) Como C J = max{ , } = 3 1 e c J 1 = max{ 0 + 3, } = 3 1 nada se pode concluir acerca da convergência do método de Jacobi. A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

89 Resolução de sistemas lineares Uma iteração do método de Gauss-Seidel Considere-se o seguinte sistema linear ( A = ), x (1) = (0, 0) T e ɛ 1 = ɛ = 0.1 ( ) 3 0 D = L = 0 2 Equação iterativa é ( ) U = ( ) (D L)x (k+1) = Ux (k) + b A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

90 Resolução de sistemas lineares Continuação 1 a iteração C.P. ( ) ( x (2) 0 1 = 0 0 ( x (2) x (1) x (2) = ) { ( ( ) ( 0 0 ) ( ) = ( 1 1 x (2) 1 = 1 3 = x (2) 2 = = ) ( 0 0 ) ) ) = = Como o critério não se verifica deve-se continuar com a próxima iteração. A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

91 Resolução de sistemas não lineares Conteúdo 1 Introdução 2 Erros 3 Zeros de funções 4 Resolução de sistemas lineares 5 Resolução de sistemas não lineares 6 Interpolação polinomial 7 Interpolação segmentada - Splines 8 Mínimos quadrados lineares 9 Equações diferenciais - Condições iniciais 10 Equações diferenciais - Condições Fronteira 11 Integração numérica A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

92 Resolução de sistemas não lineares Sistemas de equações não lineares Forma geral do problema f 1 (x 1, x 2,..., x n ) = 0 f 2 (x 1, x 2,..., x n ) = 0... f n (x 1, x 2,..., x n ) = 0 em que f = (f 1, f 2,..., f n ) T é um vector de funções pelo menos uma vez continuamente diferenciáveis. Pretende-se determinar um x = (x 1, x 2,..., x n) T tal que f(x ) = (0, 0,..., 0) T = 0. A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

93 Resolução de sistemas não lineares Fórmula de Taylor a uma dimensão Se f : R R for l + 1 vezes diferenciável temos que f(x) = l k=0 f (k) (a) k! (x a) k + f (l+1) (ξ) (x a)l+1 (l + 1)! com ξ [a, x] e a função definida em torno de a. Exemplo: Valor da função em x (k+1) definido em torno de x (k). f(x (k+1) ) f(x (k) ) + f (x (k) )(x (k+1) x (k) ) ou seja, quando se pretende que f(x (k+1) ) = 0 vem x (k+1) = x (k) f(x(k) ) f (x (k) ) Eq. it. do método de Newton A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

94 Resolução de sistemas não lineares Fórmula de Taylor para dimensão n Se f : R n R n temos que f(x (k+1) ) f(x (k) )+ f 1 (x (k) ) f 1 (x (k) ) x 1 f 2 (x (k) ) f 2 (x (k) ) x 1 x 2... x f n(x (k) ) x 1 f n(x (k) ) x 2... f 1 (x (k) ) x n f 2 (x (k) ) x n f n(x (k) ) x n x (k+1) 1 x (k) 1 x (k+1) 2 x (k) 2 x (k+1) n... x (k) n e deduzindo a equação iterativa do método de Newton para sistemas de equações não lineares temos, J(x (k) ) (k) x = f(x (k) ), com x (k+1) = x (k) + (k) x em que J(x) é o Jacobiano da função. A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

95 Resolução de sistemas não lineares Critério de paragem x (k+1) x (k) 2 x (k+1) = (k) x 2 2 x (k+1) ɛ 1 2 Se x (k+1) 2 é zero, ou próximo de zero, então o critério deve ser (k) x 2 ɛ 1 Número máximo de iterações. f(x (k+1) ) 2 ɛ 2 A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

98 Resolução de sistemas não lineares Um exemplo Considere-se o seguinte sistema não linear { 3x 2 + 2y 2 = 35 4x 2 3y 2 cujo Jacobiano é J(x, y) = = 24 ( 6x 4y 8x 6y ) Temos f(x, y) = ( 3x 2 + 2y x 2 3y 2 24 ) e a aproximação inicial é (x, y) (1) = (2.5, 2). Pretende-se determinar a solução com uma precisão de ɛ 1 = ɛ 2 = A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

99 Resolução de sistemas não lineares Continuação 1 a iteração ( ) J((x, y) (1) 15 8 ) = J(2.5, 2) = ( ) f((x, y) (1) 8.25 ) = f(2.5, 2) = 11 ( (1) (x,y) = ( ) ) ( ) ( e (x, y) (2) = (x, y) (1) + (1) (x,y) = (3.05, 2)T ) A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

100 Resolução de sistemas não lineares Continuação C.P. ( f (x, y) (2)) ( ) = = 1.21 ɛ 2 = 0.1 Como o critério não se verifica faz-se uma nova iteração. A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

101 Resolução de sistemas não lineares Propriedades Convergência local quadrática. Determina a solução de um sistema linear numa única iteração. Inconveniente do cálculo do Jacobiano. (Também existe um método da secante para sistemas.) O método falha quando o Jacobiano é singular. A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

105 Interpolação polinomial Conteúdo 1 Introdução 2 Erros 3 Zeros de funções 4 Resolução de sistemas lineares 5 Resolução de sistemas não lineares 6 Interpolação polinomial 7 Interpolação segmentada - Splines 8 Mínimos quadrados lineares 9 Equações diferenciais - Condições iniciais 10 Equações diferenciais - Condições Fronteira 11 Integração numérica A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

106 Interpolação polinomial Motivação Pretende-se determinar uma função aproximação que descreva o melhor possível o comportamento de um conjunto de pontos (x 0, f 0 ), (x 1, f 1 ),..., (x m, f m ). Este conjunto de pontos pode ter sido obtido de: observações de uma experiência (função desconhecida); uma função complexa cujo cálculo é difícil (função pode ser conhecida). A função aproximação server para: formular um modelo matemático que descreve o processo em causa; obter valores da função em pontos que são desconhecidos. Problema: Como implementar a função sin(x) num microcontrolador? A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

111 Interpolação polinomial Continuação Pretende-se então, dado um conjunto de pontos (x i, f i ), i = 1,..., m, determinar uma função aproximação p(x) que melhor descreve o comportamento dos dados, de acordo com uma certa medida. No nosso caso vamos apenas considerar funções aproximação polinomiais, i.e., p n (x) é um polinómio interpolador de grau n. Para construirmos o polinómio interpolador de Newton são necessárias as diferenças divididas. A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

112 Interpolação polinomial Diferenças divididas com espaçamento não constante Considere-se uma função f(x) tabelada em m + 1 pontos x 0, x 1,..., x m não igualmente espaçados. Diferenças divididas de primeira ordem são onde f j = f(x j ). [x j, x j+1 ] = f j f j+1 x j x j+1 j = 0,..., m 1 A diferença dividida de primeira ordem corresponde ao declive da recta que passa em (x j, f j ) e (x j+1, f j+1 ). A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

113 Interpolação polinomial Continuação As diferenças divididas de segunda ordem são [x j, x j+1, x j+2 ] = [x j, x j+1 ] [x j+1, x j+2 ] x j x j+2, j = 0,..., m 2. As diferenças divididas de ordem n são [x j, x j+1,..., x j+n ] = [x j, x j+1,..., x j+n 1 ] [x j+1, x j+2,..., x j+n ] x j x j+n para j = 0,..., m n. A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

114 Interpolação polinomial Tabela das diferenças divididas 0 0 [x 0, x 1 ] x 1 f 1 [x 0, x 1, x 2 ] [x 1, x 2 ] [x 0, x 1, x 2, x 3 ] x 2 f 2 [x 1, x 2, x 3 ] [x 2, x 3 ] [x 1, x 2, x 3, x 4 ] x m 2 f m 2 [x m 3, x m 2, x m 1 ] [x m 2, x m 1 ] [x m 3, x m 2, x m 1, x m] x m 1 f m 1 [x m 2, x m 1, x m] [x m 1, x m] x m f m [x 0,..., x m 1, x m] A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

115 Interpolação polinomial Exemplo x i f i dd1 dd2 dd3 dd4 dd A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

116 Interpolação polinomial Propriedades das diferenças divididas Simétrica nos argumentos, i.e., é independente da ordem dos argumentos; Exemplo x i f i x i f i A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

117 Interpolação polinomial Propriedades das diferenças divididas Se f j = u j + v j para valores de x j, j = 0,..., m então a tabela das DD de f é igual à soma das tabelas das DD de u e v. Exemplo: f(x) = sin(x) + e x, u(x) = sin(x) e v(x) = e x. x i u i x i v i x i f i A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

118 Interpolação polinomial Propriedades das diferenças divididas A diferença dividida de cf(x), com c constante, é igual ao produto da diferença dividida de f(x) por c. Exemplo: f(x) = sin(x), cf(x) = 2 sin(x) x i f i x i 2f i A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN I Eng. Mec. 2007/ / 198

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