Resumos de CDI-II. 1. Topologia e Continuidade de Funções em R n. 1. A bola aberta de centro em a R n e raio r > 0 é o conjunto

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1 Resumos de CD- 1. Topologia e Continuidade de Funções em R n 1. A bola aberta de centro em a R n e raio r > 0 é o conjunto B r (a) = {x R n : x a < r}. 2. Seja A R n um conjunto. m ponto a A diz-se: (i) interior se existe r > 0 tal que B r (a) A; (ii) exterior se existe r > 0 tal que B r (a) A = ; (iii) fronteiro se não é interior nem exterior. O conjunto int A dos pontos interiores de A diz-se o interior de A. O conjunto ext A dos pontos exteriores de A diz-se o exterior de A. O conjunto A dos pontos fronteiros de A diz-se a fronteira de A. O conjunto Ā = int A A diz-se o fecho de A. O conjunto A diz-se aberto se A = int A, e diz-se fechado se A = Ā. 3. ma sucessão em R n é uma função x : N R n. Escrevemos x k = x(k). 4. Dizemos que uma sucessão x k converge para a R n (e escrevemos lim x k = a, ou x k a) se r>0 N N : k > N x k B r (a) r>0 N N : k > N x k a < r x k a ma sucessão x k = ((x 1 ) k,..., (x n ) k ) converge para um ponto a = (a 1,..., a n ) sse cada sucessão (x i ) k converge para a i (i = 1,..., n). 6. Propriedades dos limites de sucessões: Se x k, y k são sucessões convergentes em R n e a k é uma sucessão convergente em R então: (i) lim x k é único; (ii) lim (x k + y k ) = lim x k + lim y k ; (iii) lim (a k y k ) = (lim a k ) (lim y k ); (iv) lim x k, y k = lim x k, lim y k. 7. m conjunto A R n é fechado sse toda a sucessão convergente de termos em A tem limite em A. 8. m conjunto A R n diz-se limitado se existe algum r > 0 tal que A B r (0). m conjunto A R n diz-se compacto se é limitado e fechado. 9. Teorema de Bolzano-Weierstrass: m conjunto A R n é compacto sse toda a sucessão de termos em A admite uma subsucessão convergente para um ponto de A. 1

2 10. ma função f : R n R diz-se um campo escalar. ma função F : R n R n diz-se um campo vectorial. ma função g : R R n contínua diz-se um caminho. 11. O gráfico de uma função f : R n R m é o conjunto Graf(f) = {(x, y) R n+m : y = f(x)} R n+m. O conjunto de nível da função f correspondente ao valor c R m é o conjunto f 1 (c) = {x R n : f(x) = c} R n. 12. Dizemos que b R m é o limite de uma função f : R n R m quando x tende para a R n (e escrevemos lim x a f(x) = b) se r>0 ε>0 : x B ε (a) f(x) B r (b) r>0 ε>0 : x a < ε f(x) b < r sucessão xk x k a f(x k ) b. 13. Propriedades dos limites de funções: Se f, g : R n R m e ϕ : R n R são funções com limite no ponto a R n então: (i) lim x a f(x) é único; (ii) lim x a f(x) = (lim x a f 1 (x),..., lim x a f m (x)); (iii) lim x a (f(x) + g(x)) = lim x a f(x) + lim x a g(x); (iv) lim x a (ϕ(x)f(x)) = (lim x a ϕ(x)) (lim x a f(x)); (v) lim x a f(x), g(x) = lim x a f(x), lim x a g(x). 14. Diz-se que f : R n R m é contínua no ponto a R n se lim x a f(x) = f(a). A função f diz-se contínua se é contínua em todos os pontos do seu domínio. 15. Propriedades das funções contínuas: Se f, g : R n R m, ϕ : R n R e h : R m R p são funções e a R n então: (i) f = (f 1,..., f m ) é contínua em a sse f 1,..., f m são contínuas em a; (ii) Se f e g são contínuas em a então f + g é contínua em a; (iii) Se ϕ e f são contínuas em a então ϕf é contínua em a; (iv) Se f e g são contínuas em a então f, g é contínua em a; (v) Se f é contínua em a e h é contínua em f(a) então h f é contínua em a; (vi) Se ϕ(x 1,..., x n ) = x i (com i = 1,..., n) então ϕ é contínua. 16. Teorema Weierstrass: Se A R n é compacto e f : A R é contínua então f tem máximo e mínimo em A. 2. Cálculo Diferencial em R n 1. A derivada de f : R n R m segundo o vector v R n no ponto a R n é f v (a) f(a + hv) f(a) vf(a) = lim. h 0 h 2. A i-ésima derivada parcial da função f : R n R m no ponto a R n é f (a) i f(a) = f (a). x i e i 2

3 3. A função f : R n R m diz-se diferenciável em a R n se existe uma transformação linear Df(a) : R n R m (representada por uma matriz m n) tal que ou, equivalentemente, f(a + h) f(a) Df(a) h lim = 0, h 0 h f(a + h) = f(a) + Df(a) h + o( h ). 4. Se f : R n R m é diferenciável em a R n então f é contínua em a. 5. Se f : R n R m é diferenciável em a R n então f (a) = Df(a) v. v Em particular, Df é representada na base canónica pela matriz Jacobiana f 1 x 1... Df = f 1 x n f m x A função f : R n R m diz-se de classe C 1 se todas as suas derivadas parciais f i x j (i = 1,..., m; j = 1,..., n) são funções contínuas. 7. Se f : R n R m é de classe C 1 então f é diferenciável em todos os pontos do seu domínio. 8. Se f : R n R m é diferenciável em a R n e g : R m R p é diferenciável em f(a) R m, então g f : R n R p é diferenciável em a e f m x n. D(g f)(a) = Dg(f(a))Df(a). Em coordenadas (x 1,..., x n ) em R n e (y 1,..., y m ) em R m tem-se (regra da cadeia). g i x j = m k=1 g i y k f k x j 9. m vector v R n diz-se tangente a um conjunto R n no ponto a se existe um caminho diferenciável g : R tal que g(0) = a e dg dt (0) = v. m vector v Rn diz-se ortogonal a no ponto a se é ortogonal a todos os vectores tangentes a no ponto a. 10. Se f : R n R é um campo escalar diferenciável o seu gradiente é o campo vectorial grad f : R n R n definido por ( f grad f f =,..., f ) x 1 x n 11. O gradiente de um campo escalar é ortogonal aos seus conjuntos de nível. 3

4 3. Fórmula de Taylor e Extremos 1. Derivadas parciais de ordem superior: Dada uma função f : R n R define-se 2 f = ( ) f. x i x j x i x j A função f diz-se de classe C 2 se todas as suas derivadas parciais de segunda ordem são funções contínuas. 2. Lema de Schwarz: Se f : R n R é de classe C 2 então 2 f x i x j = 2 f x j x i. 3. Fórmula de Taylor de segunda ordem: Se f : R n R é de classe C 2 então onde f(a + h) = f(a) + Df(a) h ht Hf(a) h + o( h 2 ), Hf = 2 f x f x 1 x n f x n x f x n 2 é a matriz Hessiana. Pelo Lema de Schwarz, esta matriz é simétrica. 4. Diz-se que f : R n R tem um máximo local em a R n se existe r > 0 tal que f(a) f(x) para todo o x B r (a). O máximo diz-se global se f(a) f(x) para todo o x R n. As definições de mínimo local e mínimo global são análogas. 5. Se o campo escalar diferenciável f : R n R tem um extremo local em a R n então Df(a) = Seja f : R n R um campo escalar diferenciável. Os pontos a R n para os quais Df(a) = 0 dizem-se pontos críticos (ou pontos de estacionaridade) de f. Os pontos críticos que não são extremos locais chamam-se pontos de sela. 7. Seja f : R n R um campo escalar de classe C 2 e a R n um ponto crítico de f. Se Hf(a) é: (i) definida positiva (todos os v.p. > 0) então a é um ponto de máximo local; (ii) definida negativa (todos os v.p. < 0) então a é um ponto de mínimo local; (iii) indefinida (existem v.p. > 0 e v.p. < 0) então a é um ponto de sela. 8. Teorema de orse: Se f : R n R é um campo escalar de classe C 2 com um número finito de pontos críticos, nos quais a matriz Hessiana é não singular, e f(x) ± quando x +, então s + m = 1, onde é o número de pontos de máximo, s é o número de pontos de sela e m é o número de pontos de mínimo. 4

5 4. Cálculo ntegral em R n 1. R n é um intervalo se = 1... n, onde cada k é um intervalo de R. é limitado/aberto/fechado sse cada k é limitado/aberto/fechado. Se é um intervalo compacto com k = [a k, b k ], o seu volume n-dimensional é V n () = (b 1 a 1 )(b 2 a 2 )... (b n a n ). (Ī ) Se é um intervalo limitado, define-se V n () = V n. ma partição do intervalo compacto R é um conjunto finito P = P 1... P n, onde cada P k é uma partição do intervalo k = [a k, b k ] (i.e., P k é um subconjunto finito de k contendo a k, b k ). ma partição de subdivide num número finito de subintervalos J α. ma função s : R diz-se uma função em escada se existe uma partição P de tal que s é constante (igual a s α ) no interior de cada subintervalo J α, sendo o seu integral o número real s = s α V n (J α ). α 2. Seja R n um intervalo compacto e f : R uma função limitada. O integral superior de f em é o número real { } f = inf t : t é em escada e t(x) f(x) x. O integral inferior de f em é o número real { } f = sup s : s é em escada e s(x) f(x) x. A função f diz-se integrável à Riemann em se os seus integrais superior e inferior coincidem, e nesse caso define-se o seu integral como sendo f = f = f. As seguintes notações são também utilizadas para o integral de f: f = fdv n = f(x)dv n (x) = f (x 1,..., x n ) dx 1... dx n. 3. Se f e g são funções integráveis à Riemann no intervalo compacto R n e α R então f + g e αf são também integráveis à Riemann em e (i) (f + g) = f + g; (ii) (αf) = α f. 4. Teorema de Fubini: Sejam R n e J R m intervalos compactos e f : J R uma função integrável à Riemann. Se cada uma das funções f x : J R e f y : R definidas por f x (y) = f y (x) = f(x, y) são integráveis à Riemann então ( ) ( ) f = f(x, y) dv m (y) dv n (x) = f(x, y) dv n (x) dv m (y). J J J 5

6 5. Diz-se que A R n tem conteúdo nulo se para todo o ε > 0 existe uma família finita de intervalos limitados { 1,..., N } tal que N A k=1 k e N V n ( k ) < ε. k=1 6. Propriedades de conjuntos de conteúdo nulo: (i) m subconjunto de um conjunto de conteúdo nulo tem conteúdo nulo. (ii) A união de uma família finita de conjuntos de conteúdo nulo tem conteúdo nulo. (iii) O gráfico de uma função contínua f : R m (onde R n é um intervalo compacto) tem conteúdo nulo em R m+n. 7. Seja R n um intervalo compacto e f : R uma função limitada. Se o conjunto dos pontos de descontinuidade de f tem conteúdo nulo então f é integrável à Riemann em. 8. Seja R n um intervalo. A função característica do conjunto A é a função χ A : R definida por 1 se x A χ A (x) = 0 se x A 9. Seja R n um intervalo compacto. m conjunto A diz-se mensurável à Jordan em se χ A é integrável à Riemann em, e o volume n-dimensional de A é V n (A) = χ A. Se f : R é integrável à Riemann em, define-se f = fχ A (portanto V n (A) = A 1). A 10. m conjunto limitado A R n cuja fronteira tem conteúdo nulo é mensurável à Jordan. 11. O Jacobiano da função diferenciável g : R n R n é a função Jg(x) = det Dg(x). 12. ma transformação de coordenadas é uma função g : V (com, V R n conjuntos abertos) (i) bijectiva; (ii) de classe C 1 ; (iii) tal que Jg(x) 0 para todo o x. 13. Teorema de mudança de variáveis: Sejam, V R n conjuntos abertos limitados, g : V uma tranformação de coordenadas e f : V R integrável à Riemann. Então f = (f g) Jg. V 6

7 14. Coordenadas polares em R 2 : São as coordenadas (r, θ) ]0, + [ ]0, 2π[ relacionadas com as coordenadas Cartesianas usuais (x, y) pela a mudança de coordenadas O Jacobiano desta transformação é (x, y) = g(r, θ) = (r cos θ, r sen θ). Jg(r, θ) = r. 15. Coordenadas ciĺındricas em R 3 : São as coordenadas (ρ, ϕ, z) ]0, + [ ]0, 2π[ R relacionadas com as coordenadas Cartesianas usuais (x, y, z) pela a mudança de coordenadas O Jacobiano desta transformação é (x, y, z) = g(ρ, ϕ, z) = (ρ cos ϕ, ρ sen ϕ, z). Jg(ρ, ϕ, z) = ρ. 16. Coordenadas esféricas em R 3 : São as coordenadas (r, θ, ϕ) ]0, + [ ]0, π[ ]0, 2π[ relacionadas com as coordenadas Cartesianas usuais (x, y, z) pela a mudança de coordenadas (x, y, z) = g(r, θ, ϕ) = (r sen θ cos ϕ, r sen θ sen ϕ, r cos θ). O Jacobiano desta transformação é Jg(r, θ, ϕ) = r 2 sen θ. 17. Se A é mensurável à Jordan e é dada uma função densidade de massa ρ : A R +, integrável à Riemann em A, define-se: (i) O volume n-dimensional de A: V = V n (A) = (ii) A massa de A: = A A ρ dv n. 1 dv n. (iii) A coordenada k do centro de massa de A: x k = 1 ρ x k dv n. (iv) A coordenada k do centróide de A: x k = 1 V A A x k dv n. (v) O momento de inércia de A em relação ao eixo Re k : k = ρ (x i ) 2 dv n. A i k 7

8 18. Regra de Leibnitz: Seja R n um intervalo compacto e f : ]a, b[ R uma função contínua tal que n+1 f existe e é contínua. Então a função F : ]a, b[ R definida por F (t) = f(x, t)dv n (x) é de classe C 1 e 5. Função nversa e Função mpĺıcita F (t) = n+1 f(x, t)dv n (x). 1. Teorema da Função nversa: Seja f : R n R n uma função de classe C 1 e a R n tal que Jf(a) 0. Então existem conjuntos abertos a e V f(a) tais que f : V é bijectiva e f 1 : V é de classe C 1. Além disso, para todo o x Df 1 (f(x)) = [Df(x)] Teorema da Função mpĺıcita: Seja F : R n+m R m uma função de classe C 1 e (a, b) R n+m tal que F(a, b) = 0 e det F y (a, b) 0. Então existem conjuntos abertos a e V b, e uma função f : V de classe C 1, tais que {(x, y) V : F(x, y) = 0} = {(x, y) V : y = f(x)}. Além disso, [ ] F 1 F Df(a) = (a, b) (a, b). y x 6. Variedades Diferenciáveis e Extremos Condicionados 1. m conjunto R n é uma variedade diferenciável de dimensão m {1,..., n 1} se para qualquer ponto a existe um conjunto aberto a e uma função f : R m R n m de classe C 1 tais que = Graf(f) para alguma ordenação das coordenadas Cartesianas de R n. 2. ma variedade de dimensão 0 é um conjunto do pontos isolados; uma variedade de dimensão n é um conjunto aberto. 3. R n é uma variedade diferenciável de dimensão m sse para qualquer ponto a existe um conjunto aberto a e uma função F : R n m de classe C 1 tais que (i) = {x : F(x) = 0}; (ii) car DF(a) = n m. 4. Se R n é uma variedade de dimensão m, o conjunto T a de todos os vectores tangentes a no ponto a é um espaço vectorial de dimensão m, dito o espaço tangente a no ponto a. O seu complemento ortogonal T a é um espaço vectorial de dimensão n m, dito o espaço normal a no ponto a. 5. Sejam R n uma variedade de dimensão m, a, a aberto e F : R n m tais que = {x : F(x) = 0} com car DF(a) = n m. Então T a = L{ F 1 (a),..., F n m (a)}. 8

9 6. Teorema dos Extremos Condicionados: Sejam f : R n R uma função diferenciável e R n uma variedade de dimensão m. Se a restrição de f a tem um extremo local em a então f(a) T a. 7. Regra dos ultiplicadores de Lagrange: Nas condições do teorema anterior, se a é um conjunto aberto e F : R n m é tal que = {x : F(x) = 0} com car DF(a) = n m, existem constantes λ 1,..., λ n m R (ditas os multiplicadores de Lagrange) tais que 7. ntegrais em Variedades (f + λ 1 F λ n m F n m )(a) = ma parametrização de uma variedade-m R n é uma aplicação g : (com R m aberto) (i) injectiva; (ii) de classe C 1 ; (iii) tal que car Dg = m para todo o t. 2. Se g : R m é uma parametrização da variedade-m então { g T g(t) = L (t),..., g } (t). t 1 t m 3. Se R n é uma variedade-m e a então existe um conjunto aberto V a tal que V é a imagem de uma parametrização g : R m. 4. Se R n é uma variedade-m, g : R m é uma parametrização cuja imagem é excepto um número finito de variedades de dimensão inferior a m, e f : R n R é uma função contínua então f = f(g(t)) det G(t) dt 1... dt m = f(g(t)) det (Dg t Dg) dt 1... dt m, onde a matriz G, de dimensão m m, é dada por g g ij =, g. t i t j 5. (i) Se é uma variedade-1 e g : ]a, b[ R é uma parametrização então f = b a f(g(t)) dg dt (t) dt. (ii) Se é uma variedade-2 em R 3 e g : R 2 é uma parametrização então f = f(g(u, v)) g u g v du dv. 9

10 6. Se R n é uma variedade de dimensão m orientável e é dada uma função densidade de massa por unidade de volume m-dimensional σ : R n R +, define-se: (i) O volume m-dimensional de : V = V m () = (ii) A massa de : = σ dv m. 1 dv m. (iii) A coordenada k do centro de massa de : x k = 1 σ x k dv m. (iv) A coordenada k do centróide de : x k = 1 V x k dv m. (v) O momento de inércia de A em relação ao eixo Re k : k = σ i ) i k(x 2 dv m. 8. ntegrais de Linha, Campos Gradientes e Campos Fechados 1. Se F : R n R n é um campo vectorial contínuo e C é uma variedade-1 (curva) com parametrização g : [a, b] R n então o integral de linha de F ao longo de C no sentido de g é b F, dg = F(g(t)), dg dt (t) dt. C a 2. O integral de linha depende apenas do sentido em que a parametrização percorre a curva: inverter o sentido corresponde a mudar o sinal. 3. Em Física, F, dg representa o trabalho realizado pela força F ao longo de C, ou seja, C a energia transferida pela força F para uma partícula que percorre a curva C. 4. Teorema Fundamental do Cálculo para ntegrais de Linha: Se φ : R n R é um campo escalar de classe C 1 e C é uma curva parametrizada por g : [a, b] R n então φ, dg = φ(g(b)) φ(g(a)). C 5. Em Física, uma força da forma F = φ diz-se conservativa, e o campo escalar φ diz-se um potencial para F. 6. Se φ : R n R é um campo escalar de classe C 1 e C é uma curva fechada então φ, dg = 0. C 10

11 7. m campo vectorial F : R n R n de classe C 1 diz-se fechado se (ou seja, se DF é simétrica). F i x j = F j x i (i, j = 1,..., n) 8. Se F = φ para algum campo escalar φ : R n R de classe C 2 então F é fechado. 9. m conjunto A R n diz-se conexo por arcos se dados dois pontos a, b A existe um caminho g : [0, 1] A tal que g(0) = a e g(1) = b. 10. Seja R n um conjunto aberto conexo por arcos. m campo vectorial F : R n é um campo gradiente em sse F, dg = 0 para qualquer curva fechada C. C 11. Seja A R n um conjunto não vazio. Diz-se que dois caminhos fechados g, h : [a, b] A são caminhos homotópicos em A se existe uma função contínua H : [a, b] [0, 1] A (dita uma homotopia) tal que H(t, 0) = g(t) e H(t, 1) = h(t) para todo o t [a, b] e H(a, s) = H(b, s) para todo o s [0, 1]. 12. Seja R n um conjunto aberto, C 1, C 2 D curvas fechadas com parametrizações homotópicas em, e F : R n um campo fechado. Então F, dg = F, dg. C 1 C Diz-se que A R n é simplesmente conexo se A é conexo por arcos e qualquer caminho fechado g : [a, b] A é homotópico em A a um caminho constante. 14. Seja R n um aberto simplesmente conexo e F : R n um campo fechado. Então F é um campo gradiente. 9. Teorema de Green, Teorema da Divergência e Teorema de Stokes 1. m domínio regular é um conjunto aberto limitado R n cuja fronteira é uma união de finitas variedades de dimensão n 1 com vector normal unitário exterior n : R n bem definido. Se n = 2 então a orientação canónica é o sentido que resulta de rodar o vector normal unitário exterior 90 o no sentido directo. 2. Teorema de Green: Seja R 2 um domínio regular e F (P, Q) : R 2 R 2 um campo vectorial de classe C 1. Então ( Q F, dg P dx + Qdy = x P ) dx dy. y 3. ma variedade de dimensão n 1 (hipersuperfície) R n diz-se orientável se existe um vector normal unitário contínuo n : R n (portanto n(x) T x e n(x) = 1 para todo o x ). 4. Seja R n uma hipersuperfície orientável com vector normal unitário n : R n e F : R n R n um campo vectorial contínuo. O fluxo de F através de no sentido de n é dado por F, n. 11

12 5. Se R 3 é uma superfície orientável e g : R 2 R n é uma parametrização então F, n = F(g(u, v)), g u g du dv. v 6. No caso em que F = ρ v, onde ρ e v são a densidade e velocidade de um fluido, F, n é a massa de fluido que atravessa por unidade de tempo no sentido de n. 7. Se F : R n R n é um campo vectorial de classe C 1, a sua divergência é o campo escalar div F F = F 1 x F n x n. 8. Teorema da Divergência: Se F : R n R n é um campo vectorial de classe C 1 e R n é um domínio regular então F = F, n, onde n é a normal unitária exterior. 9. Se F : R 3 R 3 é um campo vectorial de classe C 1, o seu rotacional é o campo vectorial e 1 e 2 e 3 ( rot F F = F3 = x y z y F 2 z, F 1 z F 3 x, F 2 x F ) 1. y F 1 F 2 F Teorema de Stokes: Se F : R 3 R 3 é um campo vectorial de classe C 1 e é uma superfície com bordo orientável, então F, n = F, dg, onde o bordo deve ser percorrido no sentido tal que o produto externo do vector tangente ao bordo pela normal unitária n aponte para fora da superfície. 11. Regra da ão Direita: ma maneira simples de recordar a relação entre as orientações da superfície e do seu bordo no Teorema de Stokes é a seguinte: desenhando um pequeno quadrado na superfície tal que um dos seus lados é um pedaço do bordo, a orientação correcta do bordo é a que induz a circulação ao longo dos lados do quadrado que fornece a normal unitária n por aplicação da regra da mão direita (fechando a mão direita no sentido da circulação no quadrado, o polegar aponta na direcção da normal). 12. Se φ : R 3 R é um campo escalar de classe C 2, então ( φ) = Se F : R 3 R 3 é um campo vectorial de classe C 2, então ( F) = A R n diz-se em estrela se existe um ponto a A tal que [a, x] A para todo o x A, onde [a, x] designa o segmento de recta de extremos a e x. 15. Seja R 3 um conjunto aberto em estrela e F : R 3 um campo vectorial de classe C 1. Se F = 0 então F = A para algum campo vectorial A : R 3 (dito um potencial vector para F). 12