Exame (1º Teste) de Análise Numérica (LMAC, MEIC, MMA) Instituto Superior Técnico, 11 de Janeiro de 2016, 15h00-16h15 (1º Teste)

Transcrição

1 Exame (º Teste) de Análise Numérica (LMAC, MEIC, MMA) Instituto Superior Técnico, de Janeiro de 6, h-6h (º Teste) ) [] a) Determine p, o polinómio de menor grau tal que p() = a, p() = b, p () = p () = c, b) Indique condições em f C 6 [, ] para que o p anterior verique f p f (6) 6! 6 ) [3] Estabeleça o algoritmo para o cálculo do spline quadrático interpolador s na lista de pontos {(x, f ),, (x n, f n )}, e com condição na derivada s (x ) = f[x, x ], mostrando em particular que f[x k, x k+ ] = s k +s k+ 3) [] Explicite n k= k v k, em função de V n = n k= v k 4) [3] Pretende-se uma fórmula de diferenciação numérica para aproximar f (z) a) Para obter essa fórmula, use os nós x = z h, x = z, x = z + h, x 3 = z + h b) Estabeleça a expressão do erro, incluindo erros de arredondamento, e discuta a sua in- uência Auxiliar E(x) = f ( α +m+) (ξ x) ( α +m+)! m k= (x x k) α k+

2 Exame (º Teste) de Análise Numérica (LMAC, MEIC, MMA) Instituto Superior Técnico, de Janeiro de 6, 6h-7h3 (º Teste) ) [3] Determine D = ( 4 min (x ) ( x a bx ) ) dx + max a,b,c,d R x [,4] x c dx ) [] Considere o método implícito de passo duplo: y k+ = y k + αhf k + βh (f(t k+, y k ) + f(t k, y k+ )) Com uma inicialização apropriada, discuta em função de α, β R, a convergência até ordem 3) [] No intervalo [, ] considere a equação diferencial ordinária u (t) = v(t) + p(t)u (t) + q(t)u(t), a) Sendo u() = A, u () =, com p = q = v =, indique a iteração do ponto xo a executar aplicando o método de Adams-Moulton de passo duplo b) Sendo u() = A, u() = B, aplicando um método de diferenças nitas, centradas de ª ordem, apresente o sistema linear que se obtém, onde a matriz M é tridiagonal da forma M kk = q k h, M k,k+ = p k h, M k,k = + p k h 4) [] Considere o cálculo dos valores próprios da matriz M denida em 3b) com h > a) Admitindo que h (suf pequeno), localize os valores próprios de M, pelo T Gerschgorin, e comente a invertibilidade b) Para M matriz 3 3, com h =, aplique duas iterações do Método das Potências, iniciando com (,, ), e apresente a aproximação do maior valor próprio Auxiliar y k+ = y k + h f k+ + h 3 f k h f k (Adams Moulton passo duplo)

3 χ-resolução: a) Construímos a tabela de diferenças generalizadas para a interpolação de Hermite desconhecendo p () = A e também p () = B, que podemos arbitrar x : p(x) : a a a b b b A A b a B B c/ b a A B b + a c/ exigindo que c/ = b a A, e que c/ = B b + a, obtemos A e B de forma a que as diferenças divididas seguintes sejam nulas Assim, resulta A = b a c/, B = b a + c/ e pela F Newton obtemos p(x) = a + Ax + c x = a + (b a c )x + c x b) No processo anterior denimos uma interpolação de Hermite cujo erro é dado por f(x) p(x) = f[,,,,,, x](x ) 3 (x ) 3 = f (6) (ξ) (x(x )) 3 com ξ [, ] 6! ou seja, obtemos f p f (6) 6! max x [,] x(x ) 3 f (6) ( ) 3 6! 4, pois x(x ) 4 em [, ] Finalmente a função é interpolada pelo polinómio f se vericar f() = a, f() = b, f () = f () = c, e além disso sendo A = f (), B = f (), devem vericar-se as condições A = b a c/ f () = f() f() f ()/, B = b a + c/ f () = f() f() + f ()/ ) [ do º Trabalho] Começamos pela interpolação como spline linear da derivada, assegurando ser C Assim, se x [x k, x k+ ] temos s (x) = s (x k ) + s [x k, x k+ ](x x k ), e primitivando obtemos s(x) = s(x k ) + s (x k )(x x k ) + s [x k, x k+ ](x x k ), () que verica a interpolação se for vericado (denindo h k = x k+ x k ) f k+ = f(x k+ ) = s(x k+ ) = f(x k ) + s (x k )h k + s [x k, x k+ ]h k = f k + s kh k + s k+ s k h k Portanto, obtemos f k+ f k h k = s k + s k+ s k, ou f[x k, x k+ ] = s k+ +s k, com uma recursividade s k+ = f[x k, x k+ ] s k que dene todos os s k iniciando com s = f[x, x ] A partir daí usamos a fórmula () 3) Calculamos usando a soma por partes n k v k = [ k ] k=n v k k= k= n n (k + ) v k+ = n v n (k + ) v k+ k= e por outro lado, n k= (k+) v k+ = [(k + )v k+ ] k=n k= n k= v k+ = (n+)v n+ v (V n+ v v ) Ou seja, k= 3

4 k v k = n (v n+ v n ) (n + )v n+ + V n+ v v n k= 4a) Pela F Newton, = (n ) v n+ + ( n )v n + V n v v p 3 (x) = f(x ) + f[x, x ](x x ) + f[x, x, x ](x x )(x x ) + f[x, x, x, x 3 ](x x )(x x )(x x ), e a aproximação de f (z) é p 3 (z) = 6f[x, x, x, x 3 ] Como os nós são igualmente espaçados, podemos usar diferenças progressivas p 3 (z) = 6f[x, x, x, x 3 ] = 6 3 f 3!h 3 = (S I)3 f h 3 = f 3 3f + 3f f h 3, ou seja p 3 (z) = h 3 (f(z + h) 3f(z + h) + 3f(z) f(z h)) = Q(f) 4b) O erro de interpolação dá f(x) p 3 (x) = f[z h, z, z + h, z + h, x] (x z + h)(x z)(x z h)(x z h) = F (x)e(x) }{{}}{{} F (x) W (x) Assim, f (x) p 3 (x) = (F (x)w (x) + F (x)w (x)) = (F (x)w (x) + F (x)w (x) + F (x)w (x)) = F (x)w (x) + 3F (x)w (x) + 3F (x)w (x) + F (x)w (x) notando que F (x) = f (4) (ξ )/4!, F (x) = f () (ξ )/!, F (x) = f (6) (ξ 3 )/6!, F (x) = f (7) (ξ 3 )/7!, e como z = x obtemos W (z) =, e ainda: concluindo-se que W (x) = (x x )(x x )(x x ) + (x x )(x x )(x x 3 ) +(x x )(x x )(x x 3 ) + (x x )(x x )(x x 3 ) = W (z) = + + (z x )(z x )(z x 3 ) + = h( h)( h) = h 3 W (x) = (x x )(x x ) + (x x )(x x ) + (x x )(x x ) +(x x )(x x 3 ) + (x x )(x x 3 ) + (x x )(x x 3 ) = W (z) = h + 4h + + 4h = h W (x) = 6(x x ) + 6(x x ) + 6(x x ) + 6(x x 3 ) = W (z) = 6( h) + + 6(h) + 6( h) = h f (z) p 3 (z) = + 3 f (6) (ξ 3 ) 6! = f (6) (ξ 3 ) (h 3 ) + 3 f () (ξ )! ( h ) + 3 f (4) (ξ ) ( h) 4! h 3 f () (ξ ) h 3 f (4) (ξ )h = O(h) A inuência dos erros de arredondamento será dada pelos ε k = f k f k, com ε k ɛ Q(f) Q( f) f 3 3f + 3f f = h 3 f 3 3 f + 3 f f h 3 = ε 3 3ε + 3ε ε h 3 8ɛ h 3 4

5 O erro total é assim A(f) Q( f) O(h) + O( ɛ h ), e a fórmula só é ecaz se 3 Para ɛ = 6, corresponde a escolher h 4 ɛ h 3 = O(h), ou seja, ɛ = O(h 4 ) ) Começamos por notar que o mínimo da soma positiva é a soma dos mínimos, e vemos o º termo, considerando x = (y + ) D = min max a,b,c,d R x [,4] x c dx = min max 4(y + c,d R y [,] ) c d(y + ) como em [, ] os polinómios mónicos P são minimizados pelo de Chebyshev com valor mínimo logo D = 4 min max (y + c,d R y [,] ) c/4 d(y + )/ = 4/ = Por outro lado, usando x = y + obtemos ( 4 D = min a,b,c,d R = min A,B R ( (x ) ( x a bx ) dx ) = min a,b R y ( y A By ) ) dy ( y ( (y + ) a b(y + ) ) ) dy com A = 4 a b; B = b =, Escrevemos agora o sistema normal para u, v w = y u(y)v(y)dy, notando dar zero, se o integrando for impar [, w = ] [ y = 6 ] [, 3, y w = A y, y w = y, y w = y4 = 64 = = ] w y4 = 64 B y, y = w Portanto, A = 64 / 6 D = 3 =, B =, e obtemos ( y y ) dy = ( y 6 4 y ) y dy = = 8 = D = 78 7 ) A estabilidade tem-se porque a equação às diferenças associada é y k+ = y k com eq característica r =, em que as duas raízes r = ± são simples e r = ± = Basta agora avaliar a ordem de consistência, para obtermos a mesma ordem de convergência, ou seja E = y(t k+) y(t k ) h =y (t k ) {}}{ α f(t k, y(t k )) β(f(t k+, y(t k )) + f(t k, y(t k+ ))) = O(h r ) e como y(t k± ) = y(t k )±hy (t k )+ h y (t k )+O(h 3 ) concluímos que y(t k+) y(t k ) h usamos agora a F Taylor a duas variáveis E = ( α)y (t k ) + O(h ) β(f(t k+, y(t k )) + f(t k, y(t k+ ))) = y (t k )+O(h ) Portanto =y (t k ) = hy (t {}}{ f(t k±, y(t k )) = f(t k, y(t k )) ±h f k )+O(h ) {}}{ t (t k, y(t k )) + ( y(t k ) y(t k )) f y (t k, y(t k )) + O(h ) ( ) concluindo E = ( α)y (t k )+O(h ) β y (t k ) + + O(h ) f y (t k, y(t k )) + O(h ) = ( α β)y (t k )+O(h ) e haverá pelo menos ª ordem de convergência, se = α + β (inicializando com um método unipasso de ordem ), não havendo convergência noutro caso

6 3a) Consideramos y = u, y = u, para transformar na forma vectorial y (t) = [ ] [ y (t) = y ] [ y (t) = + y + y aplicando o método de Adams-Moulton de passo duplo, temos ] [ y(t) + ] = f(t, y(t)) y [k+] = y [k] + h f(t k+, y [k+] ) + h 3 f(t k, y [k] ) h f(t k, y [k ] ) Iniciando com x [] = y [k], dene-se a iteração x [m+] = g(x [m] ), onde g(x) = y [k] + h f(t k+, x) + h 3 f(t k, y [k] ) h f(t k, y [k ] ) = y [k] + h [ ] ( x + 4y [k] 3y [k ]) [ ] + h 3b) Aplicando diferenças centradas de ordem, nos pontos t k = k/n, com u k = u(t k ) u (t k ) = u k+ u k h + O(h ); u (t k ) = u k+ u k + u k h + O(h ) Assim, para cada t k para k =,, N : u k+ u k +u k h = v k + p k u k+ u k h + q k u k, ou seja, ( p k h)u k+ ( + h q k )u k + ( + p k h)u k = v k, obtendo-se o sistema linear: h q p h u h v + p h h q = pn h + p N h h q N u N h v N 4a) Pelo T Gerschgorin, os valores próprios estão na reunião das bolas ( + p h)a ( p N h)b N B( q h, p h ) k= B( q k h, p k h + + p k h ) B( q N h, + p N h ) e quando h isto corresponde a B( + O(h ), + O(h)), que tende no limite para B(, ), podendo não ser invertível Mas, se q > e p = podemos concluir que as bolas B( q k h, ) nunca intersectam a origem, concluindo a invertibilidade 4b) A matriz é M = com v () = (,, ) resulta v () = Mv () = [ ], e v () = Mv () = [ 4 ] Portanto, u () = + v() v () = [ 8 ], e assim λ () = (Mu () ) = 8, é aproximação do valor próprio dominante 6