Capítulo 5 - Optimização Não-Linear
|
|
- Fernando Borja
- 5 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Capítulo 5 - Optimização Não-Linear balsa@ipb.pt Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança Mestrados em Engenharia da Construção Métodos de Aproximação em Engenharia 1 o Semestre 2009/2010 Métodos de Aproximação em Engenharia 1/ 15
2 Sumário Definições Optimização Unidimensional Métodos de Aproximação em Engenharia 2/ 15
3 Definições Optimização Dada uma função f : IR n IRe um conjunto S IR n, encontrar x S tal que f (x ) f (x) para todo o x S. x é chamado minimizador ou mínimo de f Basta considerar a minimização, pois o máximo de f é igual ao mínimo de f A função objectivo f é normalmente derivável, podendo ser linear ao não linear O conjunto restrição S é definido por um sistema de equações e inequações que pode ser linear ou não linear Os pontos x S são chamados pontos praticáveis Se S = IRo problema não tem restrições Métodos de Aproximação em Engenharia 3/ 15
4 Definições Um problema genérico de optimização contínuo: min f (x) sujeito a g(x) = 0 e h(x) 0 em que f : IR n IR, g : IR n IR m e h : IR n IR p Programação linear: f, g e h são todas lineares Programação não linear: pelo menos uma das funções f, g e h é não linear Métodos de Aproximação em Engenharia 4/ 15
5 Optimização Unidimensional Método de Newton Método de Newton para a resolução de f (x) = 0: x k+1 = x k f (x k )/f (x k ) Num problema de optimização o Método de Newton é usado para a resolução de f (x) = 0: x k+1 = x k f (x k )/f (x k ) Converge quadraticamente (duplica o número de dígitos correctos em cada iteração) para o mínimo desde que o ponto de partida esteja suficientemente próximo da solução Métodos de Aproximação em Engenharia 5/ 15
6 Optimização Unidimensional Exemplo 1: Método de Newton Usar o método de Newton para minimizar f (x) = 0.5 xe x 2 A primeira e a segunda derivada de f são dada por e f = (2x 2 1)e x 2 f = 2x(3 2x 2 )e x 2 Formula de recorrência do Método de Newton para encontrar o zero de f é x k+1 = x k (2x 2 k 1)/ ( 2x k (3 2x 2 k ) ) Usando a estimativa inicial x 0 = 1, obtemos x k f (x k ) Métodos de Aproximação em Engenharia 6/ 15
7 Método de Newton para Método de Newton para minimizar uma função unidimensional, procura o zero de f (x) através da recorrência: x k+1 = x k f (x k )/f (x k ) No caso multidimensional o método de Newton é usado para procurar o zero do gradiente da função, f (x) = 0, através da formula de recorrência: x k+1 = x k H 1 f (x k ) f (x k ) em que H(x) é a matriz Hessiana das segundas derivadas parciais {H(x)} ij = 2 f (x) x i x j Métodos de Aproximação em Engenharia 7/ 15
8 Método de Newton, continuação A matriz Hessiana não é invertida explicitamente, em vez disso resolve-se o sistema linear H f (x k )δ k = f (x) em ordem a δ k, e depois actualiza-se a solução aproximada x k+1 = x k + δ k Convergência quadrática mas necessita de uma boa estimativa inicial da solução Necessita da segunda derivada da função Métodos de Aproximação em Engenharia 8/ 15
9 Exemplo 2: Método de Newton Usar o método de Newton para minimizar f (x) = 0.5x x 2 2 Gradiente e matriz Hessiana são dados por [ ] [ ] x1 1 0 f (x) = e H 5x f (x) = [ ] [ ] 5 5 Escolhendo x 0 = obtemos f (x 1 0 ) = 5 Resolvendo[ o sistema ] linear H f (x 0 )δ 0 [ = f ] (x[ 0 ), obtemos ] [ o ] passo δ 0 =, e x 1 1 = x 0 + δ 0 = + = que é a solução exacta deste problema Métodos de Aproximação em Engenharia 9/ 15
10 Método do Gradiente Conjugado Um outro método que não requer explicitamente as segundas derivadas é o método do gradiente conjugado (CG) CG gera uma sequência de direcções de procura conjugadas (ortogonais) entre elas Teoricamente, para funções objectivo quadráticas o CG converge para a solução exacta num numero máximo de n iterações, em que n é a dimensão do problema Também é eficiente para os outros tipos de problemas de minimização sem restrições Métodos de Aproximação em Engenharia 10/ 15
11 Método do Gradiente Conjugado, continuação ALGORITMO DO GRADIENTE CONJUGADO x 0 = aproximação inicial g 0 = f (x 0 ) s 0 = g 0 for k = 0, 1, 2,... Escolher o α k que minimiza f (x k + α k s k ) x k+1 = x k + α k s k g k+1 = f (x k+1 ) β k+1 = ( g T k+1 g ) ( ) k+1 / g T k g k s k+1 = g k+1 + β k+1 s k end Métodos de Aproximação em Engenharia 11/ 15
12 Exemplo 3: Método do Gradiente Conjugado Usar o CG para minimizar f (x) = 0.5x [ ] x 2 2 x1 Gradiente é igual a f (x) = 5x 2 Escolhendo x 0 = [ 5 1 ] obtemos a direcção de procura inicial (corresponde ao gradiente negativo) [ ] 5 s 0 = g 0 = f (x 0 ) = 5 O mínimo exacto ao longo da linha de procura é α 0 = 1/3, pelo que a próxima solução aproximada é x 1 = [ ] T com o qual calculamos o novo gradiente [ ] g 1 = f (x 1 ) = Métodos de Aproximação em Engenharia 12/ 15
13 Exemplo, continuação Neste ponto, em vez de procurar na direcção do gradiente negativo calcula-se β 1 = ( g T 1 g 1 ) / ( g T 0 g 0 ) = que origina a nova direcção de procura [ ] [ s 1 = g 1 + β 1 s 0 = ] = [ ] A deslocação ao longo desta linha que minimiza a função é α 1 = 0.6, que origina a solução exacta x 2 = [ 0 0 ] T, tal como seria de esperar para uma função quadrática Métodos de Aproximação em Engenharia 13/ 15
14 Métodos Disponíveis na NMLibforOctave Método de Newton: [] = opt_newton() Mét. Gradiente Conjugado: [] = opt_cg() Métodos de Aproximação em Engenharia 14/ 15
15 Bibliografia Exposição baseada essencialmente no capítulo 6 de Michael T. Heath. "Scientific Computing an Introductory Survey". McGraw-Hill, 2002, New York. Métodos de Aproximação em Engenharia 15/ 15
Optimização. Carlos Balsa. Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança
Optimização Carlos Balsa balsa@ipb.pt Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança Matemática Aplicada - Mestrados Eng. Química e Industrial Carlos Balsa Matemática Aplicada
Leia maisCapítulo 6 - Equações Não-Lineares
Sistemas de Capítulo 6 - Carlos Balsa balsa@ipb.pt Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança 2 o Ano - Eng. Civil e Electrotécnica Carlos Balsa Métodos Numéricos 1/
Leia maisCapítulo 3 - Problemas com Valores de Fronteira para Equações Diferenciais Ordinárias
Capítulo 3 - Problemas com Valores de Fronteira para Equações Diferenciais Ordinárias Carlos Balsa balsa@ipb.pt Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança Matemática
Leia maisMétodos de Aproximação em Engenharia
Métodos de Aproximação em Engenharia balsa@ipb.pt Departamento de Matemática Mestrados em Engenharia da Construção 1 o Semestre 2011/2012 Métodos de Aproximação em Engenharia 1/ 11 Sumário Primeira Aula
Leia maisCapítulo 4 - Interpolação Polinomial
Capítulo 4 - Interpolação Polinomial Carlos Balsa balsa@ipbpt Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança 2 o Ano - Eng Civil e Electrotécnica Carlos Balsa Métodos Numéricos
Leia maisCapítulo 4 - Equações Não-Lineares
Capítulo 4 - Carlos Balsa balsa@ipb.pt Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança 2 o Ano - Eng. Civil, Química e Gestão Industrial Carlos Balsa Métodos Numéricos 1/
Leia maisCapítulo 3 - Mínimos Quadrados Lineares
Capítulo 3 - Mínimos Quadrados Lineares Carlos Balsa balsa@ipb.pt Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança 2 o Ano - Eng. Civil e Electrotécnica Carlos Balsa Métodos
Leia maisResolução de sistemas de equações lineares: Método do Gradiente
Resolução de sistemas de equações lineares: Método do Gradiente Marina Andretta ICMC-USP 24 de março de 2015 Marina Andretta (ICMC-USP) sme0301 - Métodos Numéricos para Engenharia I 24 de março de 2015
Leia maisDepartamento de Matemática da Universidade de Coimbra. Licenciatura em Matemática. e B =
Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Optimização Numérica Licenciatura em Matemática Ano lectivo 2006/2007 Folha 1 1. Considere as matrizes A = [ 1 1 1 2 ] e B = [ 1 3 1 2 (a) Verifique
Leia maisMétodo dos gradientes (ou método de máxima descida)
Método dos gradientes (ou método de máxima descida) Marina Andretta ICMC-USP 14 de setembro de 2010 Marina Andretta (ICMC-USP) sme5720 - Otimização não-linear 14 de setembro de 2010 1 / 16 Método dos gradientes
Leia maisCapítulo 4 - Equações Diferenciais às Derivadas Parciais
Capítulo 4 - Equações Diferenciais às Derivadas Parciais balsa@ipb.pt Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança Mestrados em Engenharia da Construção Métodos de Aproximação
Leia maisMatemática Aplicada Mestrados em Engenharia Industrial e Engenharia Química
Matemática Aplicada Mestrados em Engenharia Industrial e Engenharia Química Carlos Balsa balsa@ipb.pt Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança 1 o Semestre 2007/2008
Leia maisResolução de sistemas de equações lineares: Método dos Gradientes Conjugados
Resolução de sistemas de equações lineares: Método dos Gradientes Conjugados Marina Andretta/Franklina Toledo ICMC-USP 24 de março de 2015 Baseado no livro Cálculo Numérico, de Neide B. Franco Marina Andretta/Franklina
Leia maisCapítulo 1 - Problemas de Valores Próprios
Capítulo 1 - Problemas de Valores Próprios balsa@ipb.pt Departamento de Matemática Mestrado em Engenharia da Construção Métodos de Aproximação em Engenharia 1 o Semestre 2010/2011 Capítulo 1 - Problemas
Leia maisProblemas com Valores de Fronteira para Equações Diferenciais Ordinárias
Problemas com Valores de Fronteira para Equações Diferenciais Ordinárias Carlos Balsa balsa@ipb.pt Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança Matemática Aplicada - Mestrados
Leia maisMÉTODOS NEWTON E QUASE-NEWTON PARA OTIMIZAÇÃO IRRESTRITA
MÉTODOS NEWTON E QUASE-NEWTON PARA OTIMIZAÇÃO IRRESTRITA Marlon Luiz Dal Pasquale Junior, UNESPAR/FECILCAM, jr.marlon@hotmail.com Solange Regina dos Santos (OR), UNESPAR/FECILCAM, solaregina@fecilcam.br
Leia maisMarina Andretta. 17 de setembro de Baseado no livro Numerical Optimization, de J. Nocedal e S. J. Wright.
Métodos de regiões de confiança Marina Andretta ICMC-USP 17 de setembro de 2014 Baseado no livro Numerical Optimization, de J. Nocedal e S. J. Wright. Marina Andretta (ICMC-USP) sme0212 - Otimização não-linear
Leia maisAlgoritmos para resolução de problemas de minimização irrestrita
Algoritmos para resolução de problemas de minimização irrestrita Marina Andretta ICMC-USP 10 de agosto de 2010 Marina Andretta (ICMC-USP) sme0212 - Otimização não-linear 10 de agosto de 2010 1 / 16 Algoritmos
Leia maisMétodo do Lagrangiano aumentado
Método do Lagrangiano aumentado Marina Andretta ICMC-USP 23 de novembro de 2010 Marina Andretta (ICMC-USP) sme0212 - Otimização não-linear 23 de novembro de 2010 1 / 17 Problema com restrições gerais Vamos
Leia maisCapítulo 5 - Integração e Diferenciação Numérica
Capítulo 5 - Integração e Diferenciação Numérica Carlos Balsa balsa@ipb.pt Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança 2 o Ano - Eng. Civil e Electrotécnica Carlos Balsa
Leia maisBCC465 - TÉCNICAS DE MULTI-OBJETIVO. Gladston Juliano Prates Moreira 22 de novembro de 2017
BCC465 - TÉCNICAS DE OTIMIZAÇÃO MULTI-OBJETIVO Aula 04 - Otimização Não-linear Gladston Juliano Prates Moreira email: gladston@iceb.ufop.br CSILab, Departamento de Computação Universidade Federal de Ouro
Leia maisOptimização e Algoritmos (2004/2005)
Optimização e Algoritmos 2004/2005) Instituto Superior Técnico Engenharia Electrotécnica e de Computadores Série de Problemas 4 Minimização sem restrições algoritmos gradiente, Newton, quasi-newton BFGS)
Leia maisFaculdade de Engenharia Optimização. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu
Programação Não Linear Aula 7: Programação Não-Linear - Funções de Várias variáveis Vector Gradiente; Matriz Hessiana; Conveidade de Funções e de Conjuntos; Condições óptimas de funções irrestritas; Método
Leia maisOPTIMIZAÇÃO DE ESTRUTURAS
OPTIMIZAÇÃO DE ESTRUTURAS Alvaro F. M. Azevedo Email: alvaro@fe.up.pt Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto 1 OBJECTIVO Minimizar o custo de uma solução estrutural As restrições são os requisitos
Leia maisResolução de sistemas de equações não-lineares: Método de Newton
Resolução de sistemas de equações não-lineares: Método de Newton Marina Andretta/Franklina Toledo ICMC-USP 24 de setembro de 202 Baseado no livro Análise Numérica, de R. L. Burden e J. D. Faires. Marina
Leia maisBioinformática Avançada e Biologia de Sistemas Optimização
Bioinformática Avançada e Biologia de Sistemas Optimização A. Ismael F. Vaz Departamento de Produção e Sistemas Escola de Engenharia Universidade do Minho aivaz@dps.uminho.pt Mestrado em Bioinformática
Leia maisExercícios de MATEMÁTICA COMPUTACIONAL. 1 0 Semestre de 2009/2010 Resolução Numérica de Equações Não-Lineares
Exercícios de MATEMÁTICA COMPUTACIONAL Mestrado Integrado em Engenharia Biomédica 1 0 Semestre de 2009/2010 Resolução Numérica de Equações Não-Lineares 1. Considere a equação sin(x) e x = 0. a) Prove que
Leia maisMétodos Numéricos. MEI - Logística e distribuição Programação quadrática sequencial 2004/2005. A. Ismael F. Vaz - Departamento de Produção e Sistemas
Métodos Numéricos MEI - Logística e distribuição Programação quadrática sequencial 2004/2005 Métodos Numéricos - MEI 1 Motivação Considere-se o seguinte exemplo de um problema de minimização com restrições
Leia maisMétodos Numéricos C. A. Ismael F. Vaz 1. Escola de Engenharia Universidade do Minho Ano lectivo 2007/2008
Métodos Numéricos C A. Ismael F. Vaz 1 1 Departamento de Produção e Sistemas Escola de Engenharia Universidade do Minho aivaz@dps.uminho.pt Ano lectivo 2007/2008 A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN C 2007/2008
Leia mais)XQGDPHQWRVGHSURJUDPDomRPDWHPiWLFD
)XQGDPHQWRVGHSURJUDPDomRPDWHPiWLFD,QWURGXomR A grande maioria dos problemas de engenharia pode ser solucionado de diferentes formas, uma vez que um número muito grande de soluções atende aos critérios
Leia maisMétodo de Newton modificado
Método de Newton modificado Marina Andretta ICMC-USP 14 de setembro de 2010 Marina Andretta (ICMC-USP) sme0212 - Otimização não-linear 14 de setembro de 2010 1 / 36 Método de Newton Como já vimos, o método
Leia maisExercícios de ANÁLISE E SIMULAÇÃO NUMÉRICA
Exercícios de ANÁLISE E SIMULAÇÃO NUMÉRICA Licenciaturas em Engenharia do Ambiente e Química 2 o Semestre de 2005/2006 Capítulo II Resolução Numérica de Equações Não-Lineares 1. Considere a equação sin(x)
Leia maisMétodos Numéricos C. A. Ismael F. Vaz 1. Escola de Engenharia Universidade do Minho Ano lectivo 2007/2008
Métodos Numéricos C A. Ismael F. Vaz 1 1 Departamento de Produção e Sistemas Escola de Engenharia Universidade do Minho aivaz@dps.uminho.pt Ano lectivo 2007/2008 A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN C 2007/2008
Leia maisResolução de problemas com apenas restrições lineares de igualdade
Resolução de problemas com apenas restrições lineares de igualdade Marina Andretta ICMC-USP 14 de outubro de 2014 Marina Andretta (ICMC-USP) sme0212 - Otimização não-linear 14 de outubro de 2014 1 / 22
Leia maisControle Ótimo - Aula 8 Equação de Hamilton-Jacobi
Controle Ótimo - Aula 8 Equação de Hamilton-Jacobi Adriano A. G. Siqueira e Marco H. Terra Departamento de Engenharia Elétrica Universidade de São Paulo - São Carlos O problema de controle ótimo Considere
Leia maisMétodo de Newton truncado
Método de Newton truncado Marina Andretta ICMC-USP 8 de outubro de 2018 Baseado no livro Numerical Optimization, de J. Nocedal e S. J. Wright. Marina Andretta (ICMC-USP) sme5720 - Otimização não-linear
Leia maisCapítulo 1 - Erros e Aritmética Computacional
Capítulo 1 - Erros e Carlos Balsa balsa@ipb.pt Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança 2 o Ano - Eng. Civil e Electrotécnica Carlos Balsa 1/ 26 Sumário 1 Definição
Leia maisMétodos para resolver problemas de otimização restrita
Métodos para resolver problemas de otimização restrita Marina Andretta ICMC-USP 22 de novembro de 2010 Marina Andretta (ICMC-USP) sme0212 - Otimização não-linear 22 de novembro de 2010 1 / 13 Problema
Leia maisProcessamento de Imagens CPS755
Processamento de Imagens CPS755 aula 06 - sistemas não lineares Antonio Oliveira Ricardo Marroquim 1 / 38 laboratório de processamento de imagens tópicos RANSAC métodos iterativos (não-lineares) gradientes
Leia maisModelagem Computacional. Parte 8 2
Mestrado em Modelagem e Otimização - RC/UFG Modelagem Computacional Parte 8 2 Prof. Thiago Alves de Queiroz 2/2016 2 [Cap. 10 e 11] BURDEN, R. L.; FAIRES, J. D. Numerical Analysis (9th ed). Cengage Learning,
Leia maisProf. Lorí Viali, Dr. PUCRS FAMAT: Departamento de Estatística. Curso: Engenharia de Produção
Considere a função f(x). Para algum x a f (x) pode não existir. Suponha que se queira resolver o seguinte PPNL: Max f(x) s. a a x b Pode ser que f (x) não exista ou que seja difícil resolver a equação
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC. 1 Existência e unicidade de zeros; Métodos da bissecção e falsa posição
UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC BC1419 Cálculo Numérico - LISTA 1 - Zeros de Funções (Profs. André Camargo, Feodor Pisnitchenko, Marijana Brtka, Rodrigo Fresneda) 1 Existência e unicidade de zeros; Métodos
Leia maisCapítulo 2 - Sistemas de Equações Lineares
Capítulo 2 - Sistemas de Equações Lineares Carlos Balsa balsa@ipb.pt Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança 2 o Ano - Eng. Civil e Electrotécnica Carlos Balsa Métodos
Leia maisConsidere a função f(x). Para algum x a f (x) pode não existir. Suponha que. Max f(x) s. a a x b
Considere a função f(x). Para algum x a f (x) pode não existir. Suponha que se queira resolver o seguinte PPNL: Max f(x) s. a a x b Pode ser que f (x) não exista ou que seja difícil resolver a equação
Leia maisCapítulo 6 - Integração e Diferenciação Numérica
Capítulo 6 - Integração e Diferenciação Numérica Carlos Balsa balsa@ipb.pt Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança 2 o Ano - Eng. Civil, Electrotécnica e Mecânica
Leia maisMétodos Numéricos. MEI - Logística e distribuição Optimização não linear com restrições de igualdade 2004/2005
Métodos Numéricos MEI - Logística e distribuição Optimização não linear com restrições de igualdade 2004/2005 Métodos Numéricos - MEI 1 Apresentação - Docentes Aulas teóricas: A. Ismael F. Vaz - aivaz@dps.uminho.pt
Leia maisCÁLCULO NUMÉRICO. Profa. Dra. Yara de Souza Tadano.
CÁLCULO NUMÉRICO Profa. Dra. Yara de Souza Tadano yaratadano@utfpr.edu.br Aula 11 Sistemas de Equações não-lineares SISTEMAS NÃO-LINEARES Cálculo Numérico 3/39 SISTEMA NÃO LINEAR Vamos considerar o problema
Leia maisMatemática Computacional - 2 o ano LEMat e MEQ
Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Matemática Aplicada e Análise Numérica Matemática Computacional - o ano LEMat e MEQ Exame/Teste - 1 de Janeiro de 1 - Parte I (1h3m) 1. Considere
Leia maisExercícios de ANÁLISE E SIMULAÇÃO NUMÉRICA
Exercícios de ANÁLISE E SIMULAÇÃO NUMÉRICA Licenciaturas em Engenharia do Ambiente e Química 2 o Semestre de 2005/2006 Capítulo III Resolução Numérica de Sistemas de Equações Normas, Erros e Condicionamento.
Leia maisDiferenciais em Série de Potências
Existência de Soluções de Equações Diferenciais em Série de Potências Reginaldo J. Santos Departamento de Matemática-ICEx Universidade Federal de Minas Gerais http://www.mat.ufmg.br/ regi 0 de julho de
Leia maisSME306 - Métodos Numéricos e Computacionais II Prof. Murilo F. Tomé. (α 1)z + 88 ]
SME306 - Métodos Numéricos e Computacionais II Prof. Murilo F. Tomé 1 o sem/2016 Nome: 1 a Prova - 07/10/2016 Apresentar todos os cálculos - casas decimais 1. Considere a família de funções da forma onde
Leia maisAula 10 Sistemas Não-lineares e o Método de Newton.
Aula 10 Sistemas Não-lineares e o Método de Newton MS211 - Cálculo Numérico Marcos Eduardo Valle Departamento de Matemática Aplicada Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Universidade
Leia maisUniversidade Tecnológica Federal do Paraná
Cálculo Numérico - Zeros de Funções Prof a Dr a Diane Rizzotto Rossetto Universidade Tecnológica Federal do Paraná 13 de março de 2016 D.R.Rossetto Zeros de Funções 1/81 Problema Velocidade do pára-quedista
Leia maisAula 6. Zeros reais de funções Parte 3
CÁLCULO NUMÉRICO Aula 6 Zeros reais de funções Parte 3 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON Cálculo Numérico 3/48 CONSIDERAÇÕES INICIAS MÉTODO DO PONTO FIXO: Uma das condições de convergência é que onde I é um intervalo
Leia maisCapítulo 1 - Problemas de Valores Próprios
balsa@ipb.pt Departamento de Matemática Mestrados em Engenharia Química e Industrial Matemática Aplicada 1 o Semestre 2009/2010 Outline Problemas de Valores Próprios 1 Problemas de Valores Próprios Problemas
Leia maisCÁLCULO NUMÉRICO. Profa. Dra. Yara de Souza Tadano
CÁLCULO NUMÉRICO Profa. Dra. Yara de Souza Tadano yaratadano@utfpr.edu.br Aula 6 Zeros reais de funções Parte 3 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON Cálculo Numérico 3/47 CONSIDERAÇÕES INICIAS MÉTODO DO PONTO FIXO:
Leia maisMétodos Numéricos I. A. Ismael F. Vaz. Departamento de Produção e Sistemas Escola de Engenharia Universidade do Minho
Métodos Numéricos I A. Ismael F. Vaz Departamento de Produção e Sistemas Escola de Engenharia Universidade do Minho aivaz@dps.uminho.pt Engenharia Mecânica Ano lectivo 2007/2008 A. Ismael F. Vaz (UMinho)
Leia maisExame (1º Teste) de Análise Numérica (LMAC, MEIC, MMA) Instituto Superior Técnico, 11 de Janeiro de 2016, 15h00-16h15 (1º Teste)
Exame (º Teste) de Análise Numérica (LMAC, MEIC, MMA) Instituto Superior Técnico, de Janeiro de 6, h-6h (º Teste) ) [] a) Determine p, o polinómio de menor grau tal que p() = a, p() = b, p () = p () =
Leia maisSME Cálculo Numérico. Lista de Exercícios: Gabarito
Exercícios de prova SME0300 - Cálculo Numérico Segundo semestre de 2012 Lista de Exercícios: Gabarito 1. Dentre os métodos que você estudou no curso para resolver sistemas lineares, qual é o mais adequado
Leia maisINSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Mestrado Integrado em Engenharia Física Tecnológica Ano Lectivo: 2007/2008 Semestre: 1 o
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Mestrado Integrado em Engenharia Física Tecnológica Ano Lectivo: 27/28 Semestre: o MATEMÁTICA COMPUTACIONAL Exercícios [4 Sendo A M n (C) mostre que: (a) n A 2 A n A 2 ; (b)
Leia maisCapítulo 4 - Valores e Vectores Próprios
Capítulo 4 - Valores e Vectores Próprios Carlos Balsa balsa@ipb.pt Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança Matemática I - 1 o Semestre 2011/2012 Matemática I 1/ 17
Leia maisOPTIMIZAÇÃO NÃO LINEAR
OPTIMIZAÇÃO NÃO LINEAR Opção IV - LESI Método de penalidade para PSI 2004/2005 Optimização não linear - Opção IV - LESI 1 Formulação - Programação Semi-Infinita (PSI) min f(x) x R n s.t. g i (x, t) 0,
Leia maisMétodos iterativos para sistemas lineares.
Métodos iterativos para sistemas lineares. Alan Costa de Souza 7 de Setembro de 2017 Alan Costa de Souza Métodos iterativos para sistemas lineares. 7 de Setembro de 2017 1 / 46 Introdução. A ideia central
Leia maisCapítulo 3 - Mínimos Quadrados Lineares
Capítulo 3 - Mínimos Quadrados Lineares Carlos Balsa balsa@ipb.pt Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança 2 o Ano - Eng. Civil, Química e Gestão Industrial Carlos
Leia maisParte 1: Exercícios Teóricos
Cálculo Numérico SME0104 ICMC-USP Lista 5: Zero de Funções Lembrete (informação que vai estar disponível na prova) Método de Newton Método da Secante x k+1 = x k f(x k) f (x k ), x k+1 = x k J 1 F (x k
Leia maisCÁLCULO NUMÉRICO. Profa. Dra. Yara de Souza Tadano
CÁLCULO NUMÉRICO Profa. Dra. Yara de Souza Tadano yaratadano@utfpr.edu.br Aula 8 04/2014 Zeros reais de funções Parte 2 Voltando ao exemplo da aula anterior, vemos que o ponto médio da primeira iteração
Leia maisé a distância entre um determinado ponto da linha
Erro de Minimização O algoritmo do erro de minimização para efectuar a auto-localização de robôs foi desenvolvido de forma a superar os problemas existentes nas três abordagens identificadas, no sentido
Leia maisSME0300 Cálculo Numérico Aula 4
SME0300 Cálculo Numérico Aula 4 Maria Luísa Bambozzi de Oliveira marialuisa @ icmc. usp. br Sala: 3-241 Página: tidia-ae.usp.br 13 de agosto de 2015 Aula Passada Operações Aritméticas: Arredondamento a
Leia maisResolução do Exame Tipo
Departamento de Matemática e Engenharias Análise e Computação Numérica Resolução do Exame Tipo 1. O computador IBM 3090 possuía um sistema de vírgula flutuante F F(16, 5, 65, 62) (em precisão simples),
Leia maisAnálise Matemática II - 1 o Semestre 2001/ o Exame - 25 de Janeiro de h
Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Análise Matemática II - 1 o Semestre 2001/2002 2 o Exame - 25 de Janeiro de 2001-9 h Todos os cursos excepto Eng. Civil,
Leia maisTP062-Métodos Numéricos para Engenharia de Produção Zeros: Introdução
TP062-Métodos Numéricos para Engenharia de Produção Zeros: Introdução Prof. Volmir Wilhelm Curitiba, 2015 Os zeros de uma função são os valores de x que anulam esta função. Este podem ser Reais ou Complexos.
Leia maisENG-418 OTIMIZAÇÃO DE PROCESSOS QUÍMICOS
Universidade Federal da Bahia - UFBA Escola Politécnica EP Departamento de Engenharia Química - DEQ Laboratório de Controle e Otimização de Processos Industriais - LACOI Disciplina: Otimização de Processos
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC
UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC BC49 Cálculo Numérico - LISTA - sistemas lineares de equações Profs André Camargo, Feodor Pisnitchenko, Marijana Brtka, Rodrigo Fresneda Métodos diretos Analise os sistemas
Leia maisLista de Exercícios de Métodos Numéricos
Lista de Exercícios de Métodos Numéricos 1 de outubro de 010 Para todos os algoritmos abaixo assumir n = 0, 1,, 3... Bisseção: Algoritmo:x n = a+b Se f(a) f(x n ) < 0 então b = x n senão a = x n Parada:
Leia maisCálculo Numérico A - 2 semestre de 2006 Prof. Leonardo F. Guidi. 2 a Lista de Exercícios - Gabarito. 1) Seja a equação não linear x e x = 0.
Cálculo Numérico A - 2 semestre de 2006 Prof. Leonardo F. Guidi 2 a Lista de Exercícios - Gabarito 1) Seja a equação não linear x e x = 0. A solução é dada em termos da função W de Lambert, x = W 1) 0,
Leia maisCapítulo III: Sistemas de equações. III.1 - Condicionamento de sistemas lineares
EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA COMPUTACIONAL Capítulo III: Sistemas de equações III1 - Condicionamento de sistemas lineares 1 Seja 1 0 0 10 6 e considere o sistema Ax = b, com b = 1 10 6 T, que tem por solução
Leia maisMétodo do Ponto Fixo
Determinação de raízes de funções: Método do Ponto Fixo Marina Andretta ICMC-USP 07 de março de 2012 Baseado no livro Análise Numérica, de R. L. Burden e J. D. Faires. Marina Andretta (ICMC-USP) sme0500
Leia maisII Seminário da Pós-graduação em Engenharia Elétrica
UMA INVESTIGAÇÃO DOS PARÂMETROS NOS MÉTODOS MISTOS DE OTIMIZAÇÃO NÃO LINEAR Ellen Cristina Ferreira Aluna do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica Unesp Bauru Profa. Dra. Edméa Cássia Baptista
Leia maisMétodos de Pesquisa Operacional
Métodos de Pesquisa Operacional Programação Linear é a parte da Pesquisa Operacional que trata da modelagem e resolução de problemas formulados com funções lineares. Programação Linear } Métodos de Resolução
Leia maisCapítulo 2 - Sistemas de Equações Lineares
Capítulo 2 - Sistemas de Equações Lineares Carlos Balsa balsa@ipb.pt Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança 2 o Ano - Eng. Civil, Electrotécnica e Mecânica Carlos
Leia maisMétodos Numéricos - Notas de Aula
Métodos Numéricos - Notas de Aula Prof a Olga Regina Bellon Junho 2007 Zeros de equações transcendentes e Tipos de Métodos polinomiais São dois os tipos de métodos para se achar a(s) raízes de uma equação:
Leia maisAndréa Maria Pedrosa Valli
Raízes de Equações Andréa Maria Pedrosa Valli Laboratório de Computação de Alto Desempenho (LCAD) Departamento de Informática Universidade Federal do Espírito Santo - UFES, Vitória, ES, Brasil 2-27 Raízes
Leia maisMatemática Computacional. Exercícios. Teoria dos erros
Matemática Computacional Exercícios 1 o Semestre 2014/15 Teoria dos erros Nos exercícios deste capítulo os números são representados em base decimal. 1. Represente x em ponto flutuante com 4 dígitos e
Leia maisétodos uméricos ZEROS DE FUNÇÕES DE UMA OU MAIS VARIÁVEIS Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA
étodos uméricos ZEROS DE FUNÇÕES DE UMA OU MAIS VARIÁVEIS Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA UNIVERSIDADE DE JOÃO DEL-REI PRÓ-REITORIA DE PESQUISA CENTRO
Leia maisFOLHAS DE PROBLEMAS DE MATEMÁTICA II CURSO DE ERGONOMIA PEDRO FREITAS
FOLHAS DE PROBLEMAS DE MATEMÁTICA II CURSO DE ERGONOMIA PEDRO FREITAS Maio 12, 2008 2 Contents 1. Complementos de Álgebra Linear 3 1.1. Determinantes 3 1.2. Valores e vectores próprios 5 2. Análise em
Leia maisPlanejamento da Operação de Sistemas Hidrotérmicos. Parte III
Universidade Federal de Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica Planejamento da Operação de Sistemas Hidrotérmicos Parte III Prof. Dr. Clodomiro Unsihua-Vila SISTEMA TERMELÉTRICO
Leia maisAndréa Maria Pedrosa Valli
Interpolação Polinomial Andréa Maria Pedrosa Valli Laboratório de Computação de Alto Desempenho (LCAD) Departamento de Informática Universidade Federal do Espírito Santo - UFES, Vitória, ES, Brasil 2-32
Leia maisResolução do exame de matemática computacional
Resolução do exame de matemática computacional 0 de Janeiro de 00 GRUPO I f x_ : x^ x 1 g1 x_ : x^ 1 x^ g x_ : x 1 g x_ x^ 1 1 1 x Plot f x, x,, - -1 1 - -4 Graphics 1 Método de Newton Quando se procura
Leia maisCálculo Numérico BCC760 Raízes de equações algébricas e transcendentes
Cálculo Numérico BCC760 Raízes de equações algébricas e transcendentes Departamento de Computação Página da disciplina http://www.decom.ufop.br/bcc760/ Introdução Dada uma função y = f(x), o objetivo deste
Leia maisx exp( t 2 )dt f(x) =
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL 1 As notas de aula que se seguem são uma compilação dos textos relacionados na bibliografia e não têm a intenção de substituir o livro-texto, nem qualquer outra bibliografia Aproximação
Leia maisProgramação de Matemática: Teoria, Algoritmos e Aplicações na Engenharia. Luiz Eloy Vaz Anderson Pereira Ivan F. Menezes
Programação de Matemática: Teoria, Algoritmos e Aplicações na Engenharia Luiz Eloy Vaz Anderson Pereira Ivan F. Menezes Rio de Janeiro, 08 de agosto de 2012 Sumário I Teoria e Algoritmos 3 1 Introdução
Leia maisMÉTODOS PARA OTIMIZAÇÃO NÃO-LINEAR IRRESTRITA
Universidade Estadual de Campinas FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA E COMPUTAÇÃO Otimização Não-Linear MÉTODOS PARA OTIMIZAÇÃO NÃO-LINEAR IRRESTRITA Autor: Tiao Aostinho de Almeida INTRODUÇÃO Considere
Leia maisMétodos iterativos dão-nos uma valor aproximado para s. Sequência de valores de x que convergem para s.
Análise Numérica 1 Resolução de equações não lineares ou Cálculo de zeros de funções Problema: Dada a função f(x) determinar o valor s tal que f(s) = 0. Slide 1 Solução: Fórmulas exemplo: fórmula resolvente
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO Departamento de Ciência da ComputaçãoUFRJ. Cálculo Numérico. S. C. Coutinho. Provas e gabaritos
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO Departamento de Ciência da ComputaçãoUFRJ Cálculo Numérico S. C. Coutinho Provas e gabaritos Lembre-se: Nas provas não são aceitas respostas sem justicativa. Você
Leia maisCapítulo 6 - Integração e Diferenciação Numérica
Capítulo 6 - Integração e Diferenciação Numérica Carlos Balsa balsa@ipb.pt Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança 2 o Ano - Eng. Civil, Química e Gestão Industrial
Leia maisExercícios sobre zeros de funções Aula 7
Exercícios sobre zeros de funções Aula 7 André L. R. Didier 1 6 de Maio de 2015 7/47 Introdução Todas as questões foram obtidas da 3 a edição do livro Métodos Numéricos de José Dias dos Santos e Zanoni
Leia maisMétodos Numéricos C Apresentação da Disciplina
Métodos Numéricos C Apresentação da Disciplina Isabel Espírito Santo Departamento de Produção e Sistemas Escola de Engenharia Universidade do Minho iapinho@dps.uminho.pt http://www.norg.uminho.pt/iapinho/
Leia mais