é a distância entre um determinado ponto da linha

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1 Erro de Minimização O algoritmo do erro de minimização para efectuar a auto-localização de robôs foi desenvolvido de forma a superar os problemas existentes nas três abordagens identificadas, no sentido de preencher todos os requisitos necessários á auto-localização: robustez, eficiência e precisão. É baseado na actualização de passos que modelam o problema da localização em um erro de minimização e usando um minimizador numérico eficiente. Adicionalmente é possível obter uma medida de confiabilidade da posição estimada analisando a estrutura da função de erro, de forma a ser possível aplicar um processo de fusão sensorial para aumentar a precisão da estimativa. Este algoritmo é dependente dos dados obtidos do pré-processamento das imagens obtidas pela câmera montada no robô, ou outros sensores como ultra-sons e infravermelhos. Adequar as informações da Visão à estimativa da posição Para encontrar a posição e orientação do robô em relação à informação obtida do préprocessamento da imagem define-se uma função de erro que descreve a aptidão de uma determinada estimativa. A ideia é fazer com que os pontos da linha detectados coincidam com as linhas do campo o melhor possível, assumindo que a posição e orientação do robô são verdadeiras. Dai a minimização do erro retornar a melhor estimativa. Seja (p, ) o par que define a posição do robô, p=(px,py), e orientação,, do robô no sistema de coordenadas global. A lista de pontos da linha detectados relativamente ao robô é dada por s1,,sn. Então a posição do ponto da linha no sistema de coordenadas global é dada por: Minimizando o erro entre os pontos da linha detectados e as linhas de campo reais significa resolver: Em que a função é a distância entre um determinado ponto da linha no campo relativamente à linha do campo mais próxima deste. continuo e seccionalmente diferenciável e pode ser obtido através do conhecimento das linhas de campo que estão definidas nas regras do RoboCup. err é uma função de erro para os desvios entre os pontos da linha e as linhas do modelo, linhas do campo. é Figura 1: Esboço do ponto da linha detectado, relativamente ao eixo de coordenadas do robô e ao eixo de coordenadas global

2 Devido ao ruído e à imperfeição que advém do pré-processamento da imagem, somos confrontados com uma quantidade substancial de pontos da linha mal detectados, o que influência e distorce a estimativa. Por esse motivo é usado uma aproximação da função de erro que limita a influência dos pontos da linha que têm demasiado erro: em que o parâmetro c é aproximadamente 250. Devido à não linearidade da função de minimização não é possível calcular analiticamente a sua solução, embora necessitemos de um minimizador numérico. Como d é diferenciável em praticamente todo o lado, é possível calcular o seu gradiente também em praticamente todo o lado e interpolar os pontos não diferenciáveis. Para resolver isto podemos usar o método do gradiente descendente, isto é, usando o algoritmo de treino Resilient PROPagation (RPROP) devido à sua rápida convergência e à sua elevada robustez, sendo necessárias apenas 10 iterações para resolver a tarefa de minimização.

3 Algoritmo RPROP A retropropagação (BackPropagation) é o algoritmo mais usado em aprendizagem supervisionada em redes neuronais de múltipla camada. A ideia básica do algoritmo de aprendizagem de retroprogação é a repetição da aplicação de uma cadeia de regras para calcular a influência de cada peso da rede com respeito à arbitrariedade da função de erro E: Onde é o peso do neurónio j ao neurónio i, s i é a saída, e net i é a soma pesada das entradas do neurónio i. Uma vez sabida a derivada parcial para cada peso, o objectivo de minimizar a função de erro é atingido resolvendo o gradiente descendente: Obviamente a escolha da taxa de aprendizagem, que escala a derivada, tem um importante efeito no tempo necessário até a convergência ser alcançada. Se este valor for muito pequeno são necessários muitos passos para se alcançar uma solução aceitável; pelo contrário uma taxa de aprendizagem elevada leva à oscilação evitando que o erro caia abaixo de um determinado valor. Uma das primeiras formas propostas para resolver este problema foi a introdução de um termo de momento em que o parâmetro de momento escala a influência do passo anterior no currente passo: Acredita-se que termo de momento torna o processo de aprendizagem mais estável e que acelera a aprendizagem nas regiões superficiais da função de erro. No entanto, a experiência prática mostra que isso nem sempre é verdade, pois o valor óptimo para o parâmetro de momento tem igualmente um problema de dependência, como a taxa de aprendizagem, pelo que a melhoria geral não é conseguida. Vários algoritmos de adaptação da aprendizagem foram desenvolvidos para lidar com o problema de calcular o valor apropriado dos pesos. Um desses algoritmos é o Resilient Propagation (RPROP) que foi desenvolvido no intuito de evitar o problema da adaptabilidade desfocada, assim o RPROP altera o valor da actualização do peso,, directamente sem considerar o valor da derivada parcial. RPROP efectua a adaptação directa do peso de cada passo baseado na informação do gradiente local, não sendo esta adaptação influenciada pelo comportamento do gradiente. Para atingir isto, cada peso tem o seu próprio valor de actualização, que somente determina o tamanho da actualização do peso. Este valor evolui durante o processo de aprendizagem baseado na sua visão sobre a função de erro E, de acordo com a seguinte regra de aprendizagem: Então sempre que a derivada do peso correspondente muda de sinal, isso indica que a ultima actualização foi muito alta e que o algoritmo saltou para um mínimo local, pelo que o valor de actualização é diminuído pelo factor. Se a derivada mantiver o sinal, o valor de actualização é ligeiramente aumentado com o objectivo de acelerar a convergência nas regiões superficiais.

4 Quando o valor de actualização para cada peso estiver adaptado, a actualização dos pesos segue uma regra simples: se a derivada é positiva, erro aumentou, o peso é diminuído pelo valor de actualização; se a derivada é negativa o valor de actualização é somado: Mas existe uma excepção, que ocorre quando a derivada parcial muda de sinal, ou seja, quando o passo anterior foi tão grande que o mínimo desaparece, então a actualização do peso é revertida:

5 Então o algoritmo RPROP é dado por: Para todos os pesos fazer If begin End else begin If Else if End If Else if End Os parâmetros são definidos inicialmente com os seguintes valores, valores estes que advém do conhecimento e estudo prático do algoritmo: Embora estes sejam os parâmetros definidos por eleição, uma grande vantagem do RPROP é que para a maior parte dos problemas não é necessário fazer-se a escolha do valor dos parâmetros para obter o tempo de convergência óptimo. O problema da ambiguidade do cálculo do erro Apesar de a minimização do erro, apresentada anteriormente resolver robustamente o problema da auto-localização do robô, há situações em que ocorre ambiguidade na estimativa da posição e orientação do robô, tanto devido à pouca informação disponibilizada pelo pré-processamento da imagem, como o local onde o robô se encontra no campo, ou seja, numa situação com um mínimo global distinto a tarefa de optimização é bem colocada e todos os parâmetros podem ser estimados com fiabilidade. Mas há situações em que a tarefa de optimização é mal colocada devido ao reduzido número de pontos da linha ou devido à má estrutura dos pontos da linha. Por exemplo na situação em que o robô está localizado próximo de uma linha lateral, em que a distância à linha lateral, isto é, a coordena em y, é estimada com fiabilidade enquanto que a coordenada em x é ambígua. Desta forma a função de erro é caracterizada por um vale valores semelhantes. Para resolver este problema de abertura/ambiguidade, é necessário reconhecer três situações possíveis:

6 (a) A função de erro exibe um mínimo global distinto, assim é possível estimar p e com fiabilidade; (b) A função de erro é totalmente plana, devido ao reduzido número de pontos da linha, pelo que não é possível estimar qualquer parâmetro; (c) A função de erro exibe uma estrutura tipo vale em volta do mínimo. Neste caso pode-se estimar robustamente os parâmetros referentes ao eixo de coordenadas ortogonal ao vale, mas não se pode estimar os parâmetros referentes ao eixo de coordenadas paralelo ao vale, ou seja, é possível, estima p y e mas não p x. Para determinar a estrutura da função de erro em volta do mínimo propõe-se a análise da segunda derivada da função de erro: o valor de é pequeno no caso do vale ser paralelo ao eixo x e totalmente plano enquanto for grande se a função de erro tiver um mínimo distinto em relação ao eixo dos x. Da mesma forma se pode analisar e. Do ponto de vista prático o cálculo da derivada de segunda ordem simplifica a função d que é construída a partir das linhas do campo. A maioria destas linhas são paralelas ao eixo de coordenadas, só os cantos e o centro circular é que não são linhas rectas. Assim a função d é seccionamento linear na maior parte do campo e a sua derivada de segunda ordem é zero nessas zonas. As derivadas de primeira ordem podem ser decompostas da seguinte forma: Onde E Onde é a derivada de em ordem a Calculando as derivadas de segunda ordem obtém-se:

7 Infelizmente a função de aproximação não é totalmente definida positiva e, portanto, o critério da curvatura pode ser enganoso, isto é, a derivada parcial de segunda ordem pode ser reduzida para um mínimo local. No entanto este problema é causado apenas a partir de observações periféricas, uma vez que a função de erro é definida positiva no intervalo. Para evitar este problema é usado um truque em que nas equações da segunda derivada parcial a função de erro original é substituída pela função de erro quadrática e são ignoradas as observações periféricas. Desta forma a função de erro fica definida positiva e o critério de curvatura mostra resultados.