Cinemática Inversa (numérica) Douglas Wildgrube Bertol DEE - Engenharia Elétrica CCT

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1 Cinemática Inversa (numérica) Douglas Wildgrube Bertol DEE - Engenharia Elétrica CCT AS2ROB1 Fundamentos de Robótica Joinville 01/10/2018

2 Cinemática Inversa sumário Modelo cinemático inverso métodos analíticos (ou soluções fechadas) métodos numéricos 2

3 Revisão de cálculo

4 Revisão de cálculo derivada de uma função escalar Se tivermos uma função escalar f com uma única variável x, podemos escrevê-la como f x A derivada da função em respeito a x é df dx f derivada = df dx f(x) x X 4

5 Revisão de cálculo derivada de uma função vetorial Se tivermos uma função vetorial r que representa a posição de uma partícula em função do tempo t r = r x i + r y j + r z k, r = r x r y r z, dr dt = dr x dt dr y dt dr z dt Por definição, a derivada da posição pelo tempo é chamada velocidade v = dr dt A derivada da velocidade é a aceleração a = dv dt = d2 r dt 2 5

6 Revisão de cálculo gradientes Gradiente é uma derivada de primeira ordem de uma função em relação suas variáveis: f x, y, z = df df df i + j + dx dy dz k Dá informações sobre a taxa de variação de uma função em relação a variáveis independentes A inclinação de f x, y = cos 2 x cos 2 y 2 descrito como um campo de vetores projetada no plano inferior 6

7 Revisão de cálculo derivadas vetoriais Sabe-se como derivar um escalar por outro escalar derivar um vetor por um escalar Mas como se pode derivar um escalar por um vetor? derivar um vetor por outro? Derivadas de valores escalares por valores vetoriais são comuns nos campos de dinâmica dos fluidos equações de teoria de campos potenciais etc... Na robótica, é interessante calcular a derivada de um vetor por outro... Jacobiano 7

8 Revisão de cálculo Jacobiano Um Jacobiano é a derivada de um vetor por outro Se tivermos uma função f(x), o Jacobiano é a matriz de derivadas parciais para cada componente dos vetores O jacobiano contém toda a informação necessária para relacionar uma mudança em um componente de x a uma mudança em um componente de f J f, x = df dx = f 1 f 1 f 1 x 1 x 2 x N f 2 f 2 f 2 x 1 x 2 x N f M f M f M x 1 x 2 x N 8

9 Revisão de cálculo numérico

10 Revisão de cálculo numérico exato x aproximado Muitos algoritmos necessitam da computação da derivada Em alguns casos é possível computar analiticamente a derivada por exemplo f x = x 2, df dx = 2x Em outros casos a função a ser derivada é muito complexa, impossibilitando o cálculo exato Porém, desde que possamos computar a função, podemos aproximar a derivada (para valores pequenos de Δx) df dx f x + Δx f x Δx 10

11 Revisão de cálculo numérico derivada aproximada f derivada = Δf Δx f(x + Δx) f(x) Δx X df dx f x + Δx f x Δx 11

12 Revisão de cálculo numérico valores próximos Se sabemos o valor da função em algum ponto x, podemos estimar o valor da função em pontos próximos a ele. Considerando que Δf Δx df dx Δf Δx df dx Tem-se f x + Δx f x + Δx df dx 12

13 Revisão de cálculo numérico solução para f x = 0 Existem diversas maneiras de computar aproximadamente os valores de x para quando f x = 0 Uma maneira é o Método de descida de gradiente Se é possível computar f x e df dx para qualquer valor de x, pode-se sempre seguir o gradiente na direção do valor zero 13

14 Revisão de cálculo numérico método de descida de gradiente Deseja-se encontrar o valor que faz com que f x = 0 Inicia-se em um valor x 0 e toma-se pequenos passos: x i+1 = x i + Δx até encontrar um valor x N onde f x N = 0 Para cada passo, tenta-se encontrar um valor de Δx que levará mais próximos ao valor desejado Pode-se utilizar a derivada como uma aproximação da inclinação da função 14

15 Revisão de cálculo numérico minimização Se f x i não for 0, o valor de f x i pode ser considerado um erro o objetivo do método de descida de gradiente é minimizar este erro A cada passo Δx a função muda de valor pode-se chamar esta mudança de Δf Idealmente, bom seria se Δf = f x i : isto significa que um passo Δx cancelaria todo o erro em Δf Na prática, cada passo leva-se mais próximo da solução termina-se quando estiver perto o suficiente da resposta desejada Este processo iterativo (o MDG) é comum na maioria dos algoritmos numéricos *MDG - método de descida de gradiente 15

16 Revisão de cálculo numérico escolhendo Δx Se a função utilizada variar muito, é mais prudente andar em passos pequenos Se a função que se deseja minimizar é bem comportada pode-se tentar aproximações lineares que passam por zero Para aproximar linearmente Δx para levar ao valor de x onde f x = 0 pode-se usar Δf df Δx dx Δf Δx df dx f x i Δx df dx Δx = f x i df dx 1 16

17 Revisão de cálculo numérico minimizando f x = g Deseja-se encontrar o valor de x para quando a função f x seja igual a um valor g qualquer diferente de zero, basta minimizar para f x g e tentar chegar em g Δx = g f x i df dx 1 f f(x i ) df dx g x i+1 x i X 17

18 Revisão de cálculo numérico utilizando passos menores Se a função não for bem comportada, não se pode aproximar linearmente Δx Uma modificação possível adiciona o parâmetro β para diminuir o passo, onde 0 β 1 Δx = β g f x i β é a taxa de aprendizado df dx 1 18

19 Revisão de cálculo numérico algoritmo de descida de gradiente x 0 = valor inicial f 0 = f(x 0 ) //calcule f em x 0 enquanto f n g { s i = df dx x i //calcule a derivada x i+1 = x i + β g f i s i //calcule o passo na direção de Δx } f i+1 = f x i+1 //calcule f em x i+1 19

20 Revisão de cálculo numérico parando a descida É necessário parar a descida em algum ponto Idealmente, finaliza quando o objetivo é alcançado, levando em conta alguma tolerância Porem, existem casos onde o algoritmo fica preso em uma determinada região: problemas de mínimo local outros... 20

21 Cinemática e o Jacobiano Ok, muito legal! Agora, aonde eu uso isso?! 21

22 Cinemática inversa (numérica)

23 Cinemática inversa objetivo final do atuador Θ representa o estado atual das posições das juntas e representa os valores atuais de posição e orientação do atuador (efetuador) g representa o valor desejado para o atuador e = e x e y T Y a 2 θ2 a 1 θ 1 X 23

24 Cinemática inversa exemplo 1: manipulador 2R Imaginando um robô com 2 juntas rotacionais e = e x e y Y a 2 θ 2 a 1 θ 1 X 24

25 Cinemática inversa exemplo 1: manipulador 2R A matriz jacobiana J(e, Θ) mostra como cada componente do vetor e varia, com respeito a cada junta: e x e x e = e x e y T J e, Θ = θ 1 e y θ 1 θ 2 e y θ 2 Y a 2 θ 2 a 1 θ 1 X 25

26 Cinemática inversa exemplo 1: manipulador 2R - variação em θ 1 O que acontece ao vetor e se variar θ 1 um pouco? e f = e x θ 1 e y θ 1 Y a 2 θ 2 e = e x e y T a 1 θ 1 X 26

27 Cinemática inversa exemplo 1: manipulador 2R - variação em θ 2 O que acontece ao vetor e se variar θ 2 um pouco? e = e x e y T e x e f = θ 2 e y θ 2 Y a 2 θ 2 a 1 θ 1 X 27

28 Cinemática inversa Jacobiano x domínio Da mesma maneira que uma derivada escalar dfτdx de uma função f x pode variar sobre o domínio de valores de x, o Jacobiano J(e, Θ) varia sobre o domínio de poses de Θ Para cada valor de pose de Θ, pode-se calcular os componentes individuais do Jacobiano Se houver uma mudança ΔΘ que representa uma pequena mudança nos valores das juntas, a mudança em e pode ser aproximada por Δe J e, Θ ΔΘ = JΔΘ 28

29 Cinemática inversa mudanças na posição do atuador Se houver uma mudança na posição final do atuador em Δe, que mudança em ΔΘ será realizada? A matriz jacobiana J(e, Θ) mostra como cada componente do vetor e varia, com respeito a cada junta: Δe JΔΘ Para se obter a posição a partir da pose, basta usar: ΔΘ J 1 Δe 29

30 Cinemática inversa ΔΘ = J 1 Δe Δe mudanças na posição do atuador e = e x e y T Y a 2 θ 2 a 1 θ 1 X 30

31 Cinemática inversa mudanças na posição do atuador Pode-se utilizar o jacobiano para calcular valores próximos da posição atual Lembre-se que a cinemática direta envolve funções não lineares Assim, é necessário repetir o cálculo do Jacobiano a cada passo, até chegar na posição desejada 31

32 Cinemática inversa escolhendo Δe Deseja-se um valor de Δe que deixa o atuador mais perto de g Um chute inicial pode ser: Δe = g e Infelizmente, devido a não linearidade, devemos tomar passos menores na direção desejada Δe = β g e, onde 0 β 1 32

33 Cinemática inversa algoritmo básico enquanto (e estiver longe demais de g) { compute J(e, Θ) para a pose atual Θ compute J 1 // inverta a matriz Jacobiana Δe = β g e // escolha um passo apropriado ΔΘ = J 1 Δe // compute as mudanças nas juntas Θ = Θ + ΔΘ // aplique as mudanças nas juntas compute o novo e // utilize cinemática direta } 33