Métodos de Pesquisa Operacional

Transcrição

1 Métodos de Pesquisa Operacional

2 Programação Linear é a parte da Pesquisa Operacional que trata da modelagem e resolução de problemas formulados com funções lineares.

3 Programação Linear } Métodos de Resolução Método Gráfico. Algoritmo SIMPLEX.

4 Conceitos Básicos } Considere o seguinte problema de Programação Linear max z = 100x 1 +30x 2 sujeito a 10x 1 + 4x 2 40 x 1 + x x 2 30 x 1, x 2 0

5 Conceitos Básicos } Graficamente o que a função objetivo representa? Z = 100x 1 +30x 2 } E as seguintes equações? } Z = 100x 1 +30x 2 = 200 } Z = 100x 1 +30x 2 = 250 } Z = 100x 1 +30x 2 = 300 } Z = 100x 1 +30x 2 = 350 } Z = 100x 1 +30x 2 = 400

6 Conceitos Básicos } Graficamente o que a função objetivo representa? } Para modelos com 2 variáveis ela representa uma reta. } A equações da transparência anterior representam } Retas Paralelas!

7 Conceitos Básicos } Vetor Gradiente A informação das derivadas parciais de uma função, f, pode ser unificada na forma de um vetor, denominado gradiente de f e denotado por. O vetor gradiente é calculado pela seguinte fórmula. # f(x, y) = % f $ dx (x, y), f dy & (x, y) ( '

8 Conceitos Básicos Vetor Gradiente: O vetor gradiente indica a direção e o sentido de maior crescimento da função a partir do ponto em que ele foi calculado. Exemplos: Calcular o vetor gradiente da seguinte função objetivo f(x) = 100x x 2 e representá-lo graficamente.

9 Conceitos Básicos Cálculo do Vetor Gradiente: # f(x, y) = f f & % (x, y), (x, y) ( $ dx dy ' f(x1, x2) =100x1+30x2 # f(0,0) = f f & % (x1, x2), (x1, x2) ( $ dx1 dx2 ' f(x, x ) = ( 100,30) 1 2

10 Conceitos Básicos } Vetor Gradiente f(x, x ) = ( 100,30) 1 2 } O Vetor Gradiente é perpendicular a função objetivo e para funções lineares é traçado a partir da origem.

11 Conceitos Básicos } Graficamente o que as restrições representam? 10x 1 + 4x 2 40 x 1 + x x 2 30 x 1, x 2 0

12 Conceitos Básicos } Graficamente o que as restrições representam? } Exemplo : 10x 1 + 4x 2 40

13 Conceitos Básicos } Procedimento para traçar as restrições de desigualdade. } Para o exemplo anterior traçar a reta 10x 1 + 4x 2 = 40 Indicar no espaço onde a restrição 10x 1 + 4x 2 40 é atendida.

14 Conceitos Básicos } 10x 1 + 4x 2 40

15 Conceitos Básicos } x 1 + x 2 7

16 Conceitos Básicos } 10x 2 30

17 Conceitos Básicos } x 2 0

18 Conceitos Básicos x 1 0

19 Conceitos Básicos } A intersecção de todas as restrições indica quais valores de x as atendem ao mesmo tempo.

20 Conceitos Básicos } Qual a influência de R4 no espaço de soluções? } Por que isto acontece? } R4 é redundante em relação a R3, ou seja, os valores que atendem R3 atendem R4.

21 } Método Gráfico Método utilizado para ser resolver problemas de Programação Linear com duas ou três variáveis. Não há limite para o número de restrições.

22 } Método Gráfico Consiste em obter-se a região viável do problema e determinar-se em qual ou quais pontos desta região encontra-se a solução ótima do problema.

23 } Método Gráfico Considerando o que foi visto em sala de aula como você acha que poderíamos encontrar a solução ótima? Utilizando o vetor gradiente

24 } Método Gráfico O vetor gradiente indica a direção de crescimento de uma função. No nosso caso a direção de crescimento da função objetivo. A função objetivo é perpendicular ao vetor gradiente. O procedimento consiste em encontrar o vetor gradiente e ir traçando retas perpendiculares a ele, na direção desejada. O ponto ótimo é aquele onde a reta de maior valor possível corta a região viável.

25 } Método Gráfico No caso de problema de minimização o que deve ser feito? Deve-se seguir o sentido oposto ao indicado pelo gradiente.

26 } Resolver o seguinte problema de PL pelo método gráfico. max z = 100x 1 +30x 2 sujeito a 10x 1 + 4x 2 40 x 1 + x x 2 30 x 1, x 2 0

27 } Definir o espaço de soluções viáveis

28 } Traçar o vetor gradiente

29 } Traçar as retas correspondentes à função objetivo. Estas retas são perpendiculares ao vetor gradiente.

30 } O ponto ótimo é aquele onde a reta de maior valor possível corta a região viável. Solução Ótima

31 } Qual é a solução ótima? } Qual o valor da função objetivo no ótimo?

32 } A solução ótima é calculada resolvendo-se o sistema formado pelas restrições que contêm o ponto de ótimo. 10x 1 + 4x 2 = 40 10x 2 = 30 x 2 = 3 x 1 = 2,8 Z = 100*2, * 9 = 370

33 } Espaço de Soluções Viáveis Limitado Ilimitado Vazio

34 } Espaço de Soluções Viáveis Limitado

35 } Espaço de Soluções Viáveis Ilimitado min z = 3x 1 +2x 2 sujeito a 4x 1 + x 2 8-2x 1 + x 2 4 x 2 1 x 1, x 2 0

36 } Espaço de Soluções Viáveis Ilimitado

37 } Espaço de Soluções Viáveis Ilimitado

38 } Espaço de Soluções Viáveis Vazio min z = 3x 1 +2x 2 sujeito a 3x 1 + 6x x 1 + x 2 1 x 1, x 2 0

39 } Espaço de Soluções Viáveis Vazio

40 } Espaço de Soluções Viáveis Vazio

41 } Resolver o seguinte problema de PL pelo método gráfico. min z = 3x 1 +2x 2 sujeito a 4x 1 + x 2 8-2x 1 + x 2 4 x 2 1 x 1, x 2 0

42 } Classificação de um problema de PL pelo número de soluções Uma solução ótima Infinitas soluções ótimas Solução ótima ilimitada Nenhuma solução