Exemplo: Maximização de lucros em uma chocolateria que produz os seguintes produtos: (1) Chocolate Pyramide (2) Chocolate Pyramide Nuit

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1 Universidade Tecnológica Federal do Paraná Professor Murilo V. G. da Silva Notas de aula Estrutura de Dados 2 (Aula 09) Conteúdos da Aula: [DPV06 7.1, 7.2, 7.3] [Observação: Estas notas de aula são apenas um esboço do que foi visto em aula e não devem ser usadas como material principal de estudos. O(a) aluno(a) deve acompanhar os conteúdos cobertos nesta aula usando os livros indicados na página da disciplina.] 1. Programação Linear 101 Entrada: ˆ Conjunto de equações/desigualdades lineares com variáveis x 1,..., x n ; ˆ Uma função objetivo f a ser maximizada/minimizada. Saída: ˆ Valores para x 1,..., x n que maximizam/minimizam f respeitando as equações/desigualdades. Exemplo: Maximização de lucros em uma chocolateria que produz os seguintes produtos: (1) Chocolate Pyramide (2) Chocolate Pyramide Nuit Considere as seguintes condições: ˆ Lucro com venda de uma caixa de (1): $1,00. ˆ Lucro com venda de uma caixa de (2): $6,00. ˆ Demanda diária por (1): 200 caixas. ˆ Demanda diária por (2): 300 caixas. ˆ Capacidade de produção da fábrica: 400 caixas diárias. Pergunta: Quanto devemos produzir de (1) e (2) diariamente para maximizar o lucro? ˆ Vamos chamar de x 1 a quantidade de caixas de (1) ˆ Vamos chamar de x 2 a quantidade de caixas de (2) Com isso queremos maximizar a função objetivo x 1 + 6x 2 e as restrições são: x x x 1 + x x 1, x 2 0 Olhando o gráfico da Figura 1 (a) temos um polígono em que cada aresta vem de uma equação do conjunto de restrições. Qualquer valor que satisfaça as restrições (sem necessariamente maximizar a função objetivo) deve pertencer ao polígono. Qualquer um destes valores são chamados de soluções factíveis. Na Figura 1 (b) cada linha pontilhada representa uma reta da função x 1 + 6x 2 = c para diferentes valores de lucro c. Claramente, o valor máximo que c pode atingir é quando a função objetivo passa no ponto (100, 300). Tal ponto é chamado de solução ótima. Neste curso veremos apenas os conceitos básicos de como se modelar problemas usando programação linear e não apresentaremos os algoritmos que resolvem de fato os problemas. Convidamos os alunos, entretanto, a pesquisar sobre os diferentes algoritmos utilizados nesta área. A ideia básica que queremos que o aluno entenda neste momento (embora não demonstraremos aqui) é que a solução do problema de programação linear sempre se encontra em um dos vértices do polígono (ou poliedro n-dimensinal, onde n é o número de variáveis) convexo 1

2 Figura 1: Espaço de soluções do problema (figura copiada so livro texto DVP06). obtido a partir das restrições do problema. Novo Exemplo: Digamos que temos um terceiro tipo de chocolate cujo lucro é de $13,00 por caixa. Digamos que neste novo cenário aparecem outras restrições modeladas pelas equações extras que aparecem abaixo: Maximizar x 1 + 6x x 3 dadas as restrições: x x x 1 + x x 2 + x x 1, x 2, x 3 0 Figura 2: Novo espaço de soluções do problema, agora com 3 variáveis (figura copiada so livro texto DVP06). Neste caso a solução ótima é (0, 300, 100) com valor 3100 para a função objetivo. No gráfico da figura 2, 2

3 é mostrado a sequência de passos que o Algoritmo Simplex usa para chegar na solução. O algoritmo percorre cada um dos vértices do poliedro sempre movendo-se para um vértice adjacente que tenha um maior valor para a função objetivo. Novo Exemplo: Planejamento de Produção em uma fábrica Digamos que temos em mãos os dados da demanda experada pelos produtos fabricados em cada mês. Chamaremos estes números de d 1, d 2,..., d 12 e que temos inicialmente w 0 = 30 funcionários e não temos nenhum produto estocado, que denotaremos por s 0 = 0. Além disso sabemos o seguinte: ˆ Produtividade dos trabalhadores: 80 produtos (mês) ˆ Salário dos trabalhadores: $ (mês) ˆ Hora Extra: Um produto produzido em hora extra custa 80% mais ˆ Hora Extra: Um trabalhador em hora extra produz 30% a mais ˆ Custo para contratar: $ ˆ Custo para demitir: $ ˆ Custo de armazenamento de produtos: $8.00 (mês) Queremos determinar o valor de diversas variáveis: ˆ Produtos a serem fabricados em cada mês: x 1, x 2,..., x 12 ˆ Produtos a serem armazenados em cada mês: s 1, s 2,..., s 12 ˆ Quantidade de funcionários em cada mês: w 1, w 2,..., w 12 ˆ Produtos fabricados durante hora-extra: o 1, o 2,..., o 12 ˆ Quantidade de funcionários contratados: h 1, h 2,..., h 12 ˆ Quantidade de funcionários demitidos: f 1, f 2,..., f 12 Vamos as equações: Minimizar: Restrições: w i h i f i s i o i x i = 20w i + o i w i = w i 1 + h i f i s i = s i 1 + x i d i o i 6w i Além disso, obviamente temos x i, s i, w i, o i, h i, f i 0 Problema: O que significa demitir 3.25 funcionários? Pense a respeito. 3

4 Versão padrão de um problema de PL Primeiro observe que dado um problema de maximização de uma função objetivo, é fácil obter um problema equivalente de minimização (e vice-versa) apenas multiplicando cada coeficiente da função objetivo por -1. Além disso veremos que equações podem ser transformadas em inequações e vice-versa. Finalmente veremos se tivermos variáveis com domínio igual a R, podemos mudar o problema para que tenhamos domínio apenas com valores maiores ou iguais a 0. Maximização para minimização: max x 1 6x 2 torna-se min x 1 + 6x 2. Uma equação vira duas inequações: ax = b é equivalente as duas inequações ax b, ax b. Uma inequação vira uma equação (+ uma variável dummy ): Dada a equação n a i x i b, podemos adicionar uma variável dummy s com domínio não negativo e obter: n a i x i + s = b s 0 Domínio das variáveis R para domínio apenas com valores positivos: Basta trocar cada variável x com domínio R por duas variáveis x, x 0 e onde aparecia x nas equações agora aparece x x Moral da história: Com isso podemos assumir que nossos problemas de PL sempre são de minimização, com equações (igualdades) e com variáveis assumindo valores 0. Fluxo em Redes Dada uma rede com capacidade nas arestas, nosso objetivo agora é enviar a maior quantidade de produtos de uma origem para um destino respeitando as capacidades das arestas da rede. Por exemplo, se a rede é uma malha de oleodutos, a capacidade de uma aresta é a quantidade máxima de petróleo que um determinado duto admite por unidade de tempo. Se por exemplo estivermos tratando de uma rede de transporte rodoviário, a capacidade de uma aresta é a quantidade máxima de veículos que podem trafegar em uma determinada via por unidade de tempo. O problema é modelado com um grafo G = (V, E) (normalmente direcionado) com capacidades positivas nas arestas c : E R + e dois véritices especiais s, t V de origem e destino respectivamente. Figura 3: (a) Grafo com capacidades nas arestas. (b) Um fluxo máximo (figuras do livro texto DVP06). 4

5 A ideia é determinar a quantidade máxima de produtos que podem ser enviados de s a t de maneira que dada uma aresta uv E não se pode enviar mais produtos pela aresta uv do a capacidade c(uv). Além disso o fluxo tem que ser coerente, ou seja, a quantidade de produtos chegando em um vértice u tem que ser igual a quantidade de objetos saindo de u (exceto o vértice s do qual temos apenas produtos saindo e o vértice t no qual temos apenas produtos chegando. Para resolver o problema a ideia é calcular uma função de fluxo f : E R + que associa um fluxo de produtos para cada aresta de G. Este fluxo tem que respeitar o seguinte: (1) uv E, 0 f(uv) c(uv) (2) x V \ {s, t}, f(vx) = v;vx E v;xv E f(xv) O fluxo obtido é soma dos fluxos das arestas saindo de s, ou seja, se o mesmo valor de f(vt)). v;vt E Como encontrar um fluxo máximo: (ideia do algoritmo visto em sala) Certificado de Otimalidade: Corte Mínimo: (visto em sala) Modelando fluxo máximo como programação linear: (visto em sala) Dualidade em programação linear: v;sv E f(sv) (observe que este valor deve Assim como temos um problema de minimização associado ao problema de fluxo máximo (no caso o problema de corte mínimo), temos um problema de minimização associado a qualquer problema de maximização em programação linear (assim como sempre há um problema de maximização associado a cada problema de minimização). Vamos mostrar isso voltando ao nosso problema da fábrica de chocolates, onde tínhamos formulado o problema da seguinte maneira: max x 1 + 6x 2 x x x 1 + x x 1, x 2 0 Pergunta: O solução que obtivemos foi (100, 300). Como podemos nos certificar de que a solução ótima? (Ou seja, que o valor máximo que x 1 + 6x 2 pode atingir é 1900?) Se somarmos a primeira restrição com a segunda multiplicada por seis obtemos a seguinte equação que é um limitante superior para a função objetivo: ˆ x 1 + 6x Chegamos quase lá, mas isso não é bom o suficiente. Com um pouco de perspicácia podemos ver que multiplicando a primeira, a segunda e a terceira restrição respectivamente por 0, 5 e 1 e somarmos as três equações chegamos em ˆ x 1 + 6x Ou seja, a função objetivo não pode atingir um valor maior do que Como nossa solução (100, 300) atinge este valor, a solução é ótima. Em particular, o vetor (0, 5, 1) é um certificado de otimalidade. 5

6 O que acontece se buscarmos sistematicamente o vetor (0,5,1)? Veremos agora o que acontece se o invés de advinhar o vetor (0, 5, 1), tentarmos sistamticamente obter tal vetor. Vamos chamá-lo de (y 1, y 2, y 3 ). ˆ Fato 1: y 1, y 2, y 3 0 (caso contrário o sentido da desigualdade mudaria) ˆ Fato 2: Multiplicando a i-ésima restrição por y i e somando as três equações obtemos: (y 1 + y 3 )x 1 + (y 2 + y 3 )x 3 200y y y 3 Como queremos que o lado esquerdo tenha a forma da nossa função objetivo em que os coeficientes são 1 e 6, basta restringir que (a) y 1 + y 3 = 1 e (b) y 2 + y 3 = 6. No caso de obtivermos o nosso certificado dizendo que uma função objetivo c 1 x 1 + c 2 x para valores c 1 1 e c 2 6 isso também serve dado o sentido da desigualdade. Ou seja, as restrições (a) e (b) podem ser vistas como ˆ Fato 3: y 1 + y 3 1 e y 2 + y 3 6. Como estamos em busca de um limitante superior mais apertado possível, queremos minimizar o lado direito da desigualdade do Fato 2. Juntando tudo temos: min 200y y y 3 y 1 + y 3 1 y 2 + y 3 6 y 1, y 2, y 3 0 Ou seja, outro problema de PL! Esse novo problema de PL é chamado de dual do problema original, que é chamado de problema primal. Veja que qualquer solução factível para o problema dual oferece um limitante superior para o valor ótimo do problema original. Se acharmos uma solução factível cujo valor objetivo seja igual no primal e no dual, esta solução deve ser ótima. Este é o caso das soluções x 1 = 100, x 2 = 300 e y 1 = 0, y 2 = 5, y 3 = 1. Para estes valores, a função objetivo de ambos problemas (um de minimização e outro de maximização) tem valor Não é difícil generalizar todo este raciocínio e ver que todo problema de PL de maximização tem um dual de minimização e vice-versa de acordo com a Figura 4 abaixo: Figura 4: Um problema de maximização e seu dual de minimização. 6