Problema de Designação. Fernando Nogueira Problema de Designação 1

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1 Problema de Designação Fernando Nogueira Problema de Designação 1

2 O Problema de Designação é um caso específico de um Problema de Transporte, que por sua vez é um caso específico de um Problema de Programação Linear. Obviamente, portanto, o Problema de Designação é também um Problema de Programação Linear. Aplicação direta também em Logística. O Problema de Designação consiste em designar cada uma das origens a cada um dos destinos, de maneira ótima. Fernando Nogueira Problema de Designação 2

3 Exemplos: 1) Designar pessoas para tarefas (ex.: escalar vendedores para regiões de vendas). 2) Designar máquinas para localizações. 3) Designar produtos para fábricas (plantas). Fernando Nogueira Problema de Designação 3

4 Considerações 1) O número de origens e o número de destinos são os mesmos (n). 2) Cada origem deve ser designada para exatamente um destino. 3) Cada destino deve ser designado para exatamente uma origem. 4) Há um custo c ij associado em designar a origem i (i = 1,2,...,n) para o destino j (j = 1,2,...,n). 5) O objetivo é determinar como todas as n designações devem ser realizadas para minimizar (ou maximizar) o custo (ou o lucro) total. Fernando Nogueira Problema de Designação 4

5 A representação esquemática abaixo ilustra o problema Fernando Nogueira Problema de Designação 5

6 O modelo generalizado fica: min Z = n n i= 1 j= 1 c ij x ij sujeito a: n x = 1 j= 1 ij para i = 1,2,..., n e: n x i= 1 ij = 1 para j = 1,2,..., n se x ij 1 = 0 i designado para caso contrário j Fernando Nogueira Problema de Designação 6

7 Este tipo de problema pode ser resolvido como um Problema de Transporte e portanto, o algoritmo Simplex de Transporte pode ser utilizado. Porém, como só é permitido uma alocação (designação) em cada linha e coluna trata-se de um problema degenerado, o que diminui consideravelmente a performance do algoritmo Simplex de Transporte. Um algoritmo bastante simples para este tipo de problema pode ser formulado. Este algoritmo será tratado Simplex de Designação. Antes de aplicar este algoritmo, deve-se verificar se o modelo está equilibrado. No modelo de designação, o número de origens (n) deve ser igual ao número de destinos (n). Caso isso não ocorra, deve-se construir origens ou destinos auxiliares, com custo de designação infinito. Fernando Nogueira Problema de Designação 7

8 Algoritmo O algoritmo é facilmente entendido através de um exemplo. Exemplo: Uma companhia de transportes possui 5 caminhões disponíveis localizados nas cidades A, B, C, D e E. Necessita-se de um caminhão nas cidades 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Qual a designação dos caminhões que minimize a quilometragem percorrida por todos os caminhões, dado as quilometragem entre as cidades abaixo? Fernando Nogueira Problema de Designação 8

9 A tabela abaixo mostra o problema na forma de uma tabela de Problema de Transporte. Fernando Nogueira Problema de Designação 9

10 Passo 1 Subtrair o menor elemento de cada linha. Fernando Nogueira Problema de Designação 10

11 Passo 2 Subtrair o menor elemento de cada coluna. Fernando Nogueira Problema de Designação 11

12 Passo 3 Testar a otimalidade traçando um número mínimo de retas que cubra todos os zeros. Retas diagonais não são permitidas. Fernando Nogueira Problema de Designação 12

13 Passo 4 Se o número de retas for igual a n (o número de linhas ou colunas), pode-se fazer uma designação ótima (solução ótima). Se o número de retas é menor que n, faz-se necessário realizar uma iteração. Isto é feito escolhendo o menor elemento não coberto pelas retas traçadas e subtraindo este mesmo elemento de todos os demais elementos não cobertos pelas retas traçadas. Somar depois este elemento aos elementos que se encontram na interseção das retas. Todos os demais elementos devem permanecer inalterados. Fernando Nogueira Problema de Designação 13

14 Fernando Nogueira Problema de Designação 14

15 Traçando as retas novamente, tem-se número de retas = 5. Solução não é ótima. Fernando Nogueira Problema de Designação 15

16 A próxima iteração (feita tudo de uma vez) é: número de retas = 5. Solução não é ótima. Fernando Nogueira Problema de Designação 16

17 A próxima iteração é: número de retas = 6. Solução é ótima. Pode-se fazer uma duas designações distintas. Fernando Nogueira Problema de Designação 17

18 Da origem A envie um caminhão para o destino 6. Da origem B envie um caminhão para o destino 1. Da origem C envie um caminhão para o destino 5. Da origem D envie um caminhão para o destino 3. Da origem E envie um caminhão para o destino 4. O destino 2 não recebe caminhão. A quilometragem total para esta designação é: = 55 Km Fernando Nogueira Problema de Designação 18

19 Da origem A envie um caminhão para o destino 2. Da origem B envie um caminhão para o destino 6. Da origem C envie um caminhão para o destino 3. Da origem D envie um caminhão para o destino 1. Da origem E envie um caminhão para o destino 4. O destino 5 não recebe caminhão. A quilometragem total para esta designação é: = 55 Km Fernando Nogueira Problema de Designação 19

20 Observação Se o Problema de Designação for expresso em termos de lucro ou de algum outro critério que requeira maximização, pode-se usar o mesmo método, apenas multiplicando os coeficientes de custo por -1. Fernando Nogueira Problema de Designação 20