Unidade II PESQUISA OPERACIONAL. Profa. Ana Carolina Bueno

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1 Unidade II PESQUISA OPERACIONAL Profa. Ana Carolina Bueno

2 Programação linear É um subitem da programação matemática. É um dos modelos utilizados em pesquisa operacional. Consiste em otimizar (maximizar ou minimizar) uma dada função linear, que se chama função objetivo, definida num dado conjunto convexo, tendo em conta que as variáveis estão sujeitas a restrições.

3 Modelagem do problema exemplo Uma fábrica produz CPUs de dois tamanhos diferentes grande e pequena que apresentam lucros unitários de, respectivamente, R$ 500 e R$ 200. Ela deseja saber quantas unidades de cada um destes aparelhos deverá fazer para que o lucro obtido pela operação seja máximo. A capacidade de produção da fábrica é a seguinte: Componentes CPU CPU Produção grande pequena horária Gabinete grande 1 6 Gabinete pequeno 1 15 Placamãe Placa de vídeo

4 Modelagem do problema Modelar o problema significa definir: as variáveis de entrada; a função objetivo; as restrições e, a partir delas, montar um sistema de equações e inequações.

5 Modelagem do problema exemplo Variáveis de entrada: o número de CPUs a serem produzidas; x 1 = número de CPUs grandes a serem montadas; x 2 = número de CPUs pequenas a serem montadas. Função objetivo para maximizar o lucro: Lucro = 500x x 2

6 Modelagem do problema exemplo Restrições relativas à capacidade produtiva de cada componente: gabinete grande: x 1 6 gabinete pequeno: x 2 15 placasmãe: 3x 1 + x 2 24 placas de vídeo: 2x 1 + x 2 20 restrição de negatividade: x 1 0 e x 2 0 Os valores de x 1 e x 2 que maximizam o lucro desta operação serão obtidos pela resolução deste sistema de equações e inequações.

7 Métodos de solução de pesquisa operacional Método gráfico Método Simplex: método geral, aplicável a problemas com qualquer quantidade de variáveis de entrada. Método computacional: aplicável a um tipo específico de problema, mas com qualquer quantidade de variáveis de entrada.

8 Método gráfico Para problemas com duas variáveis de entrada. Traçase o gráfico com seus dois eixos, sendo as duas variáveis x 1 e x 2. Traçamse as retas referentes às restrições do problema e delimitase então a região. viável. x 1 + 2x 2 10

9 Método gráfico Encontrada a região viável, devese traçar uma reta com a inclinação da função objetivo. São então traçadas diversas paralelas a ela. O ponto ótimo é o ponto onde a reta de maior (menor) valor possível corta a região viável. x 1 + 2x 2 10

10 Método gráfico exemplo 1ª restrição é a dos gabinetes grandes. 0 x 1 6

11 Método gráfico exemplo 2ª restrição é a dos gabinetes pequenos. 0 x 1 15

12 Método gráfico exemplo 3ª restrição é a quantidade de placasmãe produzidas. 3x1 x2 24 x1 0 x2 24 x x

13 Método gráfico exemplo 4ª restrição: placas de vídeo. 2x1 x2 1 0 x2 2 0 x1 x x

14 Método gráfico exemplo

15 Método gráfico exemplo Antes tínhamos infinitas soluções possíveis. Agora, com este teorema, restaram apenas seis soluções que podem ser ótimas e por tentativas podemos definir qual é essa solução ótima. Vértice CPU grande CPU pequena Lucro = 500x x 2 A B = 300 C 2, = D = E = F = 3.000

16 Método gráfico exemplo O ponto de máximo lucro é o ponto D. Devese montar 4 CPUs grandes por hora e 12 CPUs pequenas por hora. Gerará um lucro de $ 4.400,00 por hora. Para se atingir esse lucro máximo, serão produzidos: 4 gabinetes grandes por hora; 12 gabinetes pequenos por hora; 24 placasmãe por hora; 20 placas de vídeo por hora.

17 Interatividade Apresente qual é o espaço de solução da função objetivo e as restrições da apresentação gráfica abaixo. a) 8x x 2 48; x 1 4; 14x x 2 28; x 2 1; x 1, x 2 0 b) 5x x 2 40; x 1 5; 25x x 2 50; x 2 3; x 1, x 2 0 c) 5x x 2 40; x 1 3; 25x x 2 50; x 2 2; x 1, x 2 0 d) 30x x 2 300; x 1 8; 5x x 2 100; x 2 0; x 1, x 2 0 e) x 1 + x 2 3; x 1 4; 5x 1 + 8x 2 28; x 2 1; x 1, x 2 0

18 Método Simplex Objetivo Procedimento geral para resolver problemas de programação linear. É sempre usado um computador, e os programas estão amplamente disponíveis. Utilizaremos em nosso curso o aplicativo Solver, disponível nas ferramentas do MS Excel. Serão apresentados os principais aspectos do método Simplex para resolver qualquer problema de programação linear tal que bi > 0 para todo i = 1, 2,...,m.

19 Método Simplex Trabalha com equações e não com inequações. As inequações devem ser transformadas em equações, e isso é feito com a adição de variáveis. Determinar as variáveis que podem aparecer em um problema desse tipo: variável de entrada; termo independente; variável de folga ou residual; variável de excesso; variável artificial.

20 Relembrando o exemplo Uma fábrica produz CPUs de dois tamanhos diferentes grande e pequena que apresentam lucros unitários de, respectivamente, R$ 500 e R$ 200. Ela deseja saber quantas unidades de cada um destes aparelhos deverá fazer para que o lucro obtido pela operação seja máximo. A capacidade de produção da fábrica é a seguinte: Componentes CPU CPU Produção grande pequena horária Gabinete grande 1 6 Gabinete pequeno 1 15 Placasmãe Placas de vídeo

21 Método Simplex exemplo Variável de entrada: número de CPUs grandes (x1) e número de CPUs pequenas (x2). Termo independente: as quantidades limitantes produzidas para cada componente. Variável de folga ou residual: as eventuais sobras de componentes (gabinetes ou placas). Variável de excesso: não existirão valores deste tipo, pois é um problema de maximização. Variável artificial: não existem variáveis deste tipo, visto serem inequações do tipo.

22 Método Simplex exemplo As inequações seriam transformadas em equações: gabinete grande gabinete pequeno x 1 6 x 2 15 placasmãe 3 x x placas de vídeo 2x1 x2 20 Então: gabinete grande 1x1 0x2 1x3 0x4 0x5 0x6 6 gabinete pequeno x 1x 0x 1x 0x 0x 15 placasmãe placas de vídeo x1 1x2 0x3 0x4 1x5 0x6 2x 1x2 0x3 0x4 0x5 1x

23 Método Simplex exemplo Estabelecer a planilha do algoritmo. Um algoritmo é um processo em que um procedimento sistemático é repetido (iterado) seguidamente até que o resultado desejado seja obtido.

24 Método Simplex exemplo 1º passo: x x 6 se x 0 então: x º passo: início do preenchimento da planilha.

25 Método Simplex exemplo Na linha de controle colocamos o lucro respectivo com sinal trocado, ou seja, 500 para CPU grande, 200 para CPU pequena e zero para as demais colunas.

26 Método Simplex exemplo ^

27 Método Simplex exemplo 3º passo

28 Método Simplex exemplo Quando uma coluna cruza com uma linha correspondente à mesma variável, o valor será um.

29 Método Simplex exemplo Quando uma coluna cruza com uma linha correspondente a outra variável, o valor será zero.

30 Método Simplex exemplo Regra do retângulo Calcular o valor da célula D12. Usar o retângulo definido pelo pivô (célula C5) e pelo valor correspondente anterior (célula D6). O valor pedido será obtido pela formulação:

31 Método Simplex exemplo Novo valor = valor anterior (produtos dos elementos da diagonal oposta) pivô. No nosso exemplo seria: D12 D6 ( C6 D5) C5 1 (0 0) 1 1

32 Método Simplex exemplo Calcular o termo independente correspondente à placamãe. I13 I7 ( C7 15) C5 24 (3 6) 1 6

33 Método Simplex exemplo Calculando os outros valores:

34 Método Simplex exemplo

35 Método Simplex exemplo Podemos partir então para a terceira tentativa, substituindo primeiro a linha de x5 por x2.

36 Método Simplex exemplo Preencher os valores das colunas que não estão zeradas na tentativa.

37 Método Simplex exemplo Calcular pela regra do retângulo os valores correspondentes às três colunas restantes.

38 Método Simplex exemplo Por fim, calcular quem entra e quem sai para a próxima tentativa.

39 Método Simplex exemplo Essas tentativas serão repetidas sucessivamente e tantas vezes quantas necessárias até que na linha de controle todos os números sejam positivos ou nulos.

40 Método Simplex exemplo

41 Método Simplex exemplo Observe a última coluna da última tentativa. Ela nos oferece a alternativa ótima para esse problema de programação linear. Variável Item Qtd. Programa de produção: CPUs Grandes 4 CPUs Pequenas 12 Sobras (recursos residuais): Gabinetes Grandes 2 Gabinetes Pequenos 3 Placas mãe 0 Placas de vídeo 0

42 Interatividade Uma empresa produz dois tipos de produtos, Artigo 1 e Artigo 2. A produção destes artigos requer três tipos diferentes de recursos (material, tempomáquina e mão de obra). A tabela mostra o nível de recursos disponíveis, o consumo de recursos por cada unidade de cada um dos artigos produzidos, bem como o lucro líquido obtido da venda de cada unidade dos artigos. Admitese que o objetivo da Gestão corresponde à maximização do seu lucro total, e que pretende saber qual o Plano de Produção que cumpre esse objetivo.

43 Interatividade O método Simplex foi utilizado para maximizar o lucro total e foi construído o quadro. Assinale a alternativa incorreta: a) A última linha (Z) inclui os coeficientes da função objetivo, mas com sinal trocado (problema de maximização). i b) Examinar as entradas na linha Z. Se não houver nenhum coeficiente negativo, o algoritmo terminou, e o problema está resolvido. c) A coluna D inclui as disponibilidades relativas a cada um dos recursos. d) Na parte superior do quadro são colocados os identificadores das variáveis de folga e das variáveis de excesso. e) Ao lado esquerdo do quadro são colocados os identificadores das variáveis de folga para constituírem uma base de partida para a solução do problema.

44 Método computacional Solver O algoritmo Simplex é uma sequência repetitiva de cálculos, situação ideal para as chamadas planilhas eletrônicas como, por exemplo, o MS Excel. Vamos, portanto, tornar a resolver o exemplo das CPUs, utilizando o referido programa da Microsoft.

45 Pacote Solver

46 Pacote Solver

47 Relembrando o exemplo Uma fábrica produz CPUs de dois tamanhos diferentes grande e pequena que apresentam lucros unitários de, respectivamente, R$ 500 e R$ 200. Ela deseja saber quantas unidades de cada um destes aparelhos deverá fazer para que o lucro obtido pela operação seja máximo. A capacidade de produção da fábrica é a seguinte: Componentes CPU CPU Produção grande pequena horária Gabinete grande 1 6 Gabinete pequeno 1 15 Placasmãe Placas de vídeo

48 Iniciar o processo de programação linear exemplo 1º passo: elaborar uma planilha inicial com os dados fundamentais do problema.

49 Solver exemplo Nas células sombreadas são colocadas as fórmulas de cálculo. Na célula D5 é colocada a função objetivo: FO = lucro = 500x x2. Na planilha de Excel será: B4*B3+C4*C3B3 C3

50 Solver exemplo Nas células D7 a D10 serão colocadas as quantidades a serem utilizadas de cada componente, ou seja, a quantidade de CPUs a serem produzidas (célula B4 para CPU grande e C4 para CPU pequena) multiplicada pela quantidade de componentes utilizados em cada CPU.

51 Solver exemplo Gabinete grande (D7): 1x1 no Excel: B7*B3. Gabinete pequeno (D8): 1x2 no Excel: C8*C3. Placasmãe (D9): 3x1 + x2 no Excel: B9*B3+C9*C3. Placas de vídeo (D10): 2x1 + x2 no Excel: B10*B3+C10*C3.

52 Solver exemplo Montada a planilha, podemos resolver o problema com a utilização da ferramenta computacional: Dados/Solver

53 Solver exemplo Preencher informações em Parâmetros do Solver.

54 Solver exemplo Adicionar as restrições. Indicar três aspectos: Referência de célula (D7 a D10); escolher o sinal adequado (<=); Restrição (E7 a E10). Clicar em adicionar.

55 Solver exemplo Nesse ponto temos todas as informações para o MS Excel efetuar os cálculos.

56 Solver exemplo Iniciar os cálculos: estabelecer algumas opções de cálculo. No exemplo, manter todas as definições padrão, acrescentando apenas as opções: Presumir modelo linear; Presumir não negativos; Usar escala automática.

57 Solver exemplo Conferir as diversas informações introduzidas e pressionar o botão Resolver.

58 Solver exemplo O Solver irá fazer as tentativas de resolução e, após encerrado o processo de cálculo, apresentará o quadro Resultados do Solver.

59 Solver exemplo A planilha montada apresenta valores nas células que estavam zeradas, apresentando o número de CPUs grandes a serem montadas (4), o número de CPUs pequenas a serem montadas (12) e o lucro total, de R$ 4.400,

60 Solver exemplo Relatório de resposta

61 Solver exemplo Relatório de limites

62 Solver exemplo Relatório de sensibilidade

63 Interatividade Problema do dilema do fabricante : um fabricante deseja maximizar a receita bruta. A tabela ilustra as composições das ligas, seus preços e as limitações na disponibilidade de matériaprima. Pode ser usado o método computacional por meio do programa Solver. Assinale a alternativa que corresponde ao desenvolvimento do problema: Liga Tipo A Liga Tipo B Cobre Zinco Chumbo Preço unitário R$ 30,00 R$ 50,00 Matériaprima disponível

64 Interatividade a) Os dados de entrada correspondem somente à quantidade de cada tipo de matériaprima. b) Nas células variáveis, isto é, as células em que os valores das variáveis de decisão são colocados, que serão os níveis de produção, podese entrar com qualquer valor inicial. c) Recursos utilizados: calcular as unidades de cobre, chumbo e zinco utilizadas pelas quantidades de ligas digitadas inicialmente. Devese multiplicar as unidades entre si. d) É necessário obter o total de receita, somando o preço unitário de cada liga. e) Usar a ferramenta Solver. Ela pede que você especifique somente a célula destino (resultado da função objetivo).

65 Problemas envolvendo minimização da função objetivo O problema de minimização tem pelo menos uma de suas restrições do tipo. Introduzir variáveis de excesso nas restrições do tipo. Variável de excesso é uma variável não negativa, subtraída do lado esquerdo da desigualdade, e é numericamente igual à diferença entre o valor do termo independente e o valor das variáveis que estão à esquerda da desigualdade. Variável artificial é adicionada à esquerda em todas as restrições que não contenham uma variável de folga, sendo utilizada nas restrições que têm originalmente o sinal.

66 Alterações no algoritmo Simplex Introduzir as variáveis de excesso e artificial. Transformar a função objetivo de minimizar para maximizar, trocando seu sinal. Mudar a maneira de calcular a linha de controle da primeira solução básica. A variável que entrará na base seguinte é aquela da coluna que apresentar maior valor positivo na linha de Controle. A variável que vai sair da base é aquela que apresentar o menor valor não negativo na coluna Termo Independente dividido pela coluna de Trabalho.

67 Problemas envolvendo minimização da função objetivo exemplo Um fabricante de ração deseja produzir um determinado tipo de ração, conforme especificação do Ministério da Agricultura e pelo mínimo custo. O Ministério especifica apenas quatro nutrientes A, B, C e D, exigindo que um quilo de razão contenha: no mínimo 120g do nutriente A; no mínimo 360g do nutriente B; no máximo 360g do nutriente C; exatamente 180g do nutriente D.

68 Problemas envolvendo minimização da função objetivo exemplo O fabricante dispõe de três alimentos: milho, alfafa e silagem. Cada quilo destes alimentos contém os seguintes pesos em quilos dos nutrientes: NUTRIENTE MILHO ALFAFA SILAGEM A 0,1 0,2 0,1 B 0,4 0,4 0,3 C 0,2 0,2 0,1 D 0,1 0,2 0,1 outros 0,2 0,4 TOTAL 1,0 1,0 1,0 Sabendose que o quilo do milho custa R$ 0,50, o da alfafa R$ 0,20 e o da silagem R$ 0,10, determinar qual a mistura que proporciona mínimo custo da ração especificada.

69 Problemas envolvendo minimização da função objetivo exemplo Modelagem do problema Variáveis: quantidades num quilo de ração de milho (x), alfafa (y) e silagem (z). A função objetivo, portanto, será: custo da ração = 0,5x + 0,2y + 0,1z O objetivo é minimizar o valor do custo da ração. Então, determinar os valores de x, y e z que resultem no menor custo possível (a solução ótima).

70 Problemas envolvendo minimização da função objetivo exemplo Restrições Nutriente A: 0,1x + 0,2y + 0,1z 0,12 kg Nutriente B: 0,4x + 0,4y + 0,3z 0,36 kg Nutriente C: 0,2x + 0,2y + 0,1z 0,36 kg Nutriente D: 0,1x + 0,2y + 0,1z = 0,18 kg Outros nutrientes: 0,2x + 0y + 0,4z 0 kg Definir que os três alimentos juntos perfaçam um quilo: x + y + z = 1 kg

71 Problemas envolvendo minimização da função objetivo exemplo Redundância: as inequações para o nutriente A e para o nutriente D são redundantes. Ficaremos com a mais restritiva, ou seja, a inequação do nutriente D (se a inequação for igual a 18, será automaticamente maior do que 12, daí a redundância). Redundância: é a inequação para outros nutrientes. Também pode ser eliminada, pois se os valores de x, y e z têm de ser positivos, a inequação será automaticamente positiva.

72 Problemas envolvendo minimização da função objetivo exemplo Restrições (multiplicar por 10) Nutriente B: 4x + 4y + 3z 36 kg Nutriente C: 2x + 2y + 1z 36 kg Nutriente D: 1x + 2y + 1z = 18 kg 1x + 1y + 1z = 100 kg

73 Problemas envolvendo minimização da função objetivo exemplo Restrições Nutriente A: 1x + 2y + 1z 12 kg Nutriente B: 4x + 4y + 3z 36 kg Nutriente C: 2x + 2y + 1z 36 kg Nutriente D: 1x + 2y + 1z = 18 kg Outros nutrientes: 2x + 0y + 4z 0 kg Definir que os três alimentos juntos perfaçam um quilo: x + y + z = 10 kg

74 Problemas envolvendo minimização da função objetivo exemplo Modelo formal Introduzir as variáveis de folga, variável de excesso e variável artificial. Nutriente B: 4x + 4y + 3z E 1 + A 1 = 36 kg Nutriente C: 2x + 2y + 1z + R 2 =36kg Nutriente D: 1x + 2y + 1z + A 3 = 18 kg 1x + 1y + 1z + A 4 = 10 kg Variável de excesso: representa a quantidade de nutriente B que exceder os 360 gramas.

75 Problemas envolvendo minimização da função objetivo exemplo Função objetivo Mín. (5x + 2y + 1z + 0R2 + 0E1 + MA1 + MA2 + MA3) Maximizar a função simétrica. Máx. (5x2y1z0R20E1MA1MA2MA3) Submetendo as restrições. 4x + 4y + 3z + 1E1 + 0R2 + 1A1 + 0A3 + 0A4 = 36 kg 2x + 2y + 1z + 0E1 + 1R2 + 0A1 + 0A3 + 0A4 = 36 kg 1x + 2y + 1z + 0E1 + 0R2 + 0A1 + 1A3 + 0A4 = 18 kg 1x + 1y + 1z + 0E1 + 0R2 + 1A1 + 0A3 + 1A4 = 10 kg

76 Solução computacional Um investidor tem R$ ,00 para aplicar no mercado financeiro, podendo escolher entre duas opções: um fundo de ações e um fundo de renda fixa. Cada quota do fundo de ações custa R$ 160 e proporciona uma taxa de retorno de 9%. Por outro lado, cada quota do fundo de renda fixa custa R$ 215 e proporciona uma taxa de retorno de 5%. O objetivo do cliente é minimizar o risco, mas pretende obter o retorno de pelo menos R$

77 Solução computacional A aquisição de uma quota do fundo de ações apresenta um índice de risco igual a 5, enquanto uma quota do fundo de renda fixa apresenta um índice de risco igual a 2. O último desejo do cliente é que pelo menos 650 quotas do fundo de renda fixa sejam adquiridas. O que se deseja é determinar quantas quotas de cada um dos investimentos disponíveis devem ser adquiridas, para que se atinja o objetivo de minimizar o índice de risco total da carteira deste investidor.

78 Solução computacional Variáveis de entrada: x1 = quantidade de quotas do fundo de ações; x2 = quantidade de quotas do fundo de renda fixa. Função objetivo: Risco total da carteira = 5x1 + 2x2 Essa função objetivo deve ser evidentemente minimizada.

79 Solução computacional Restrições: 160x x2 = (0,09 160)x1 + (0,05 215)x x 650 Retorno

80 Solução computacional No Solver: presumir modelo linear; presumir não negativos; usar escala automática.

81 Solução computacional

82 Solução computacional Retorno

83 Solução computacional Relatório de resposta Retorno

84 Solução computacional Relatório de sensibilidade Retorno

85 Solução computacional Relatório de limites

86 Interatividade A Granja Cocoró quer misturar dois tipos de alimentos para criar um tipo especial de ração para suas galinhas poedeiras. A primeira característica a ser atingida com a nova ração é o menor preço possível por unidade de peso. Cada um dos alimentos contém os nutrientes necessários à ração final (aqui chamados de nutrientes X, Y e Z), porém em proporções variáveis. FO = 0,006x + 0,008y Restrições: 0,1x + 0,2y 2 ( I ) X 0,4x + 0,6y 64 ( II ) Y 05x 0,5x + 02y 0,2y 34 ( III ) Z

87 Interatividade Assinale a alternativa correta sobre o problema: a) 0,6x + 0,8y (função objetivo para minimização de 1g do alimento 1 e 1g do alimento 2). b) Uma das restrições é a quantidade parcial do nutriente Y; em x gramas do alimento 1 e y gramas do alimento 2, deve ser pelo menos igual a 34g. c) Se x = 34,5g e y = 83,6g, o custo será de 0,88. d) Se x = 34,5g e y = 83,6g, o custo será de 1,4. e) Se x = 34g e y = 83,6g do alimento X, então (0,5 * 34,5) + (0,2 * 83,6) = 33,97g.

88 ATÉ A PRÓXIMA!

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