Faculdade de Engenharia Optimização. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu

Transcrição

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2 Programação Linear (PL) Aula 8 : O método Simplex. Casos particulares. Empate no critério de entrada. Óptimo não finito. Soluções óptimas alternativas. Degenerescência.

3 INÍCIO Forma Padrão Faculdade de Engenharia Optimização Identificar uma SBA inicial. Construir o quadro Simplex correspondente Calcular os custos reduzidos A solução é óptima? critério de optimalidade Não Determinar a variável não básica que entra critério de entrada Óptimo não finito? critério de óptimo não finito Não Determinar a variável básica que sai critério de saída Sim Sim FIM Solução óptima!!! FIM O problema não tem óptimo finito Calcular nova SBA Actualizar o quadro Simplex

4 Caso 1: Empate no critério de entrada O máximo dos custos reduzidos é atingido em mais do que numa variável não básica. Critério de entrada: max { c j - z j c j - z j > }= c j1 - z j1 = c j - z j =... = c jk - z jk Solução: Escolhe-se arbitrariamente uma para entrar. Qualquer que seja a escolha o processo converge para o óptimo. 4

5 Caso : Óptimo não finito. A região de admissibilidade é não limitada e o valor da f.o. cresce indefinidamente nesta região. Critério de óptimo não finito: Não existe nenhuma componente positiva na coluna pivotal. coluna pivot. Critério de entrada: max { c j - z j c j - z j > } =c r - z r j x 1 x r x m x x 1r x 1n x 1 x r x n... x m1... x mr x mn Existe alguma component e x ir >? Sim O vector P r da matriz de restrições está em condições de entrar na base Não FIM o problema não tem óptimo finito 5

6 Maximizar z= x 1 + x sujeito a x 1 + x 6 - x 1 + x 1 x x 1, x Todas as componentes da coluna pivotal são não positivas (são todas ): o problema não tem óptimo finito Faculdade de Engenharia Optimização Caso: Óptimo não finito. Exemplo. C B X B x 1 x 1 x x x 4 x 5 b x c j x 5 z j c j -z j x 1 x 1-1/4-1/ 1-1/4 1/ 1/4-1/ 1-5/4-1 5/4 1 máximo x z j c j -z j 6

7 Maximizar z= x 1 + x sujeito a x 1 + x 6 - x 1 + x 1 x x 1, x x 4 Faculdade de Engenharia Optimização Caso : Óptimo não finito. Exemplo gráfico. x 1 + x =6 x = Região de admissibilidade - x 1 + x = x 1 A região de admissibilidade é não limitada e o valor da f.o. cresce indefinidamente nesta região, o que significa que o problema não tem óptimo finito. 7

8 Região de Admissibilidade Não Limitada e Óptimo finito. Exemplo gráfico. Se mudamos a f.o de z=x 1 +x para z=-x 1 +x este novo problema tem óptimo finito solução x 4 x 1 + x =6 x = óptima Região de admissibilidade - x 1 + x = x 1 A região de admissibilidade é não limitada e o problema tem óptimo finito. O ponto (,) é a solução óptima com um valor óptimo igual a 7. 8

9 Caso : Soluções óptimas alternativas. O problema tem uma infinidade de soluções óptimas das quais pelo menos duas são soluções básicas e as restantes podem ser obtidas por combinação linear convexa daquelas Como identificar a existência de soluções óptimas alternativas? Quando no quadro simplex óptimo existe alguma variável não básica com custo reduzido nulo ( c j - z j = ) com pelo menos uma componente positiva na correspondente coluna do quadro. 9

10 Caso : Soluções óptimas alternativas... Suponha-se que foi encontrada, na iteração k, a solução óptima X k com z* como valor da f.o. e que no quadro simplex existe uma variável não básica com custo reduzido nulo e com pelo menos uma componente positiva na correspondente coluna do quadro simplex. Ver capítulo 4.. a entrada desta variável não básica corresponde a uma nova SBA X k+1 z k+1 = z*+ (c j - z j ) = z*+ () = z*, i.e., os valores da f.o. coincidem X K+1 é também solução óptima. Assim podemos, sucessivamente, identificar todas as soluções básicas alternativas. As soluções óptimas não básicas podem ser calculadas como combinação linear convexa das soluções básicas óptimas: X*= X* 1 + X* X* n, < < 1 X* 1,.., X* n SB óptimas 1

11 iteração k Caso : Soluções óptimas alternativas. Algoritmo. critério de optimalidade x j não básica com c j -z j >? Sim Não X k é óptima x j não básica com c j z j =? Verificar a existência de soluções óptimas alternativas Não FIM!!! Existe uma solução óptima X k Calcular nova SBA Verificar que P j pode entrar na base Sim Existe algum x ij >? Não Calcular SNBA óptimas Não (no caso de correspondem aos pontos duma semirecta) 1º. Calcular SBA óptimas alternativas. º. Calcular SNBA óptimas como combinação linear convexa das SBA (no caso de correspondem aos pontos dum segmento de recta) Sim 11

12 Caso : Soluções óptimas alternativas. Exemplo gráfico A função objectivo alcança o seu valor máximo em qualquer ponto do segmento de recta CD. Este segmento de recta constitui o conjunto de todas as combinações lineares convexas dos pontos C e D. Maximizar Z= x 1 + x sujeito a x 1 4 x 1 x 1 + x 18 x 1, x x 8 B 6 4 A z* SOLUÇÕES MÚLTIPLAS C D E 4 6 x 1 o gradiente da função objectivo coincide com o gradiente da recta da ª restrição do exemplo, i.e., as rectas da função objectivo seriam paralelas à recta x 1 + x = 18. 1

13 Regra da Estrela: 1 / x = -(x/1)= x - 1 / 1 x = -(1x/1)=- x - 1 / x = -(x/1)= x - 4 Faculdade de Engenharia Optimização C B X B x x 1 x x x 4 x 5 b x 4 Soluções óptimas alternativas. Exemplo: Quadro 1 c j x 5 z j c j -z j x 1 x 4 x / 4 x =18 -(4x/1)=6 x 18 - b Linha 1 e : NÂO MUDÃO Linha : ()

14 Linha 1: NÃO MUDA Linha : dividir pelo pivot Linha : 1 1 -() 1 -/ 1/ Soluções óptimas alternativas. Exemplo: Quadro C B X B x 1 x x x 4 x 5 b x x 4 1 c j x 5 z j c j -z j x 1 x 4 x / 1/

15 A solução X=(4,,,6,) que corresponde ao ponto D=(4,) é óptima. O valor óptimo é 18 A variável não básica x tem : c - z =, e na coluna do quadro existem coeficentes positivos existe soluções óptimas alternativas A solução X=(,6,,,) que corresponde ao ponto C=(,6) também é óptima com o mesmo valor óptimo 18 Faculdade de Engenharia Optimização Determinando soluções óptimas alternativas. Exemplo: Quadro óptimo c j C B X B x 1 x 4 x z j c j -z j x 1 x x x 1 x x x 4 x 5 b / 1/ / 1/ 1 1/ -1/ 1 1/ 6 z j c j -z j 15

16 Determinando soluções óptimas alternativas. A solução X*=(,6,,,) que corresponde ao ponto C=(,6) também é óptima com o mesmo valor óptimo 18 c j x 1 x x z j c j -z j C B X B x 1 x x x 4 x 5 b / 1/ 1/ 1/ -1/ A variável não básica x 4 tem c 4 z 4 =. A iteração extra não muda os custos reduzidos, i.e., a variável básica que sai fica com o mesmo valor nos seus custos igual a. Se continuar com outra iteração vamos a obter o quadro anterior, ou seja a primeira SBA óptima. Verificar!!!!... 16

17 x 8 B 6 4 z* SOLUÇÕES MÚLTIPLAS C L= (,4.5) D Faculdade de Engenharia Optimização Determinando as soluções óptimas alternativas não básicas. Existem duas SBA óptimas com o valor óptimo 18: X* 1 =(4,,,6,)-que corresponde ao ponto D=(4,) X* =(,6,,,) -que corresponde ao ponto C=(,6) A Qualquer outra solução não básica admissível (SNBA) óptima, X*, é obtida como combinação linear convexa de X* 1 e X*, atribuindo a valores numéricos diferentes entre e 1 : X* = E x 1 + (1- ) 6 = ½ Por exemplo fixando ½ x 4+ ½ x ½ x + ½ x 6 ½ x + ½ x ½ x 6+ ½ x ½ x + ½ x A SBNA óptima X*=(,4.5,1,, ) corresponde ao ponto L=(,4.5) do segmento de recta CD = 4,5 1 17

18 Caso 4: Degenerescência & cycling. Quando se está a definir qual a variável básica que sai e o mínimo é atingido em mais do que um dos quocientes (empate no critério de saída) obtém-se uma solução básica degenerada, i.e., com variáveis básicas nulas. O Algoritmo Simplex nos casos de soluções degeneradas pode entrar em ciclo ( cycling ) i.e., pode começar a reproduzir periodicamente as mesmas soluções básicas, mantendo-se constante o valor da f.o. e nunca atingir o valor óptimo. 18

19 Maximizar Z= x x sujeito a x x 8 x 1 + x 4 A solução X=(,,,) é degenerada (a variável básica x 4 é nula) 9 x x 4 Faculdade de Engenharia Optimização Caso 4: Degenerescência. Exemplo. x 1, x Escolhe-se arbitrariamente para sair x C B c j X B x x 4 z j c j -z j z j c j -z j 9 x 1 x x x 4 b /4 1 1/4 1/ -1/ 1 9/4 9 9/4 /4-9/ mínimos empatados 8/4= 4/= Solução degenerada 19

20 Maximizar Z= x x sujeito a x x 8 x 1 + x 4 x 1, x A solução X=(,,,) é óptima e degenerada (a variável básica x 1 é nula) Caso 4: Degenerescência. Exemplo C B 9 9 c j X B x x 4 z j x x 1 1/4 1 1/4 1/ -1/ 1 9/4 9 9/4 /4-9/4 c j -z j 18 z j c j -z j 9 x 1 x x x 4 b 1 1/ -1/ / / -/ -/ 18 x4= 8 x= mínimo Solução degenerada

21 Caso 4: Degenerescência. Exemplo Gráfico. Maximizar Z= x x sujeito a x x 8 x 1 + x 4 x 1, x x 1 + x = 4 x 4 Solução óptima degenerada: O ponto (,) é obtido como intersecção de rectas (equações), i.e. existe uma restrição redundante x x =8 1 Região de admissibilidade z = x 1 z =9 1

22 Caso 4: Degenerescência. Degenerescência acontece quando no percurso do algoritmo simplex aparece uma SBA degenerada. Podem acontecer duas situações: O algoritmo Simplex pode entrar em ciclo ( cycling ), podendo repetir a mesma sequência de iterações, nunca atingindo a solução óptima. O algoritmo Simplex consegue continuar até atingir uma solução óptima. Neste caso diz-se que a solução é temporariamente degenerada.

23 Solução temporariamente degenerada. Exemplo gráfico. Maximizar Z= x 1 + x sujeito a 4 x 1 + x 1 4 x 1 + x 8 4 x 1 - x 8 x 1, x 4 x 1 + x = 8 4 x 1 - x = 8 O percurso do algoritmo Simplex é A B E, passando pelo ponto B que corresponde a uma SBA degenerada, i.e. a solução é temporariamente degenerada 4 x 1 + x = 1 O ponto (,) é obtido como intersecção de rectas: 4 x 1 + x = 8, 4 x 1 - x = 8, x = e corresponde a uma SBA degenerada

24 Técnicas para tratar a degenerescência. Para evitar a entrada em ciclo do Simplex pode ser utilizada uma das seguintes técnicas: Técnica de perturbação: perturbando ligeiramente o vector dos termos independentes condicionando a escolha dos índice da linha pivotal. Regra de Bland: condiciona a escolha dos índice da coluna e linha pivotal. A regra de Bland é mais elegante do que a técnica de perturbação, mas, computacionalmente menos eficiente. 4

25 Degenerescência. Técnica de perturbação. Faculdade de Engenharia Optimização Foi introduzida por Charnes, 195, e é equivalente à outra regra: a regra lexicográfica apresentada por Dantzig, Orden and Wolfe em 1955 Suponha-se que a matriz básica inicial (matriz identidade) ocupa as m primeiras colunas do quadro. Suponha-se que existe empate nos índices s,...,q (correspondentes às linhas do quadro) 1º.Calcular: min i s... q xi min x 1 i x im im 1 x i xs q xir... xir xsr xqr x em lugar de calcular os quocientes entre os termos independentes, calcular entre as componentes com índice 1 nas colunas correspondentes º.Calcular: min i s... q x x i1 ir x ir Suponha-se que ainda existe empate nestes novos quocientes min s... q i x i1 xs 1 q xir... 1 xir xsr xqr x 5

26 Degenerescência. Técnica de perturbação. em lugar de calcular os quocientes entre os termos independentes, calcular entre as componentes com índice nas colunas correspondentes º. Calcular:: min i s... q x x i ir x ir min i s... q x i xs q xir... xir xsr xqr x Se o empate ainda persistir, repetir o processo com min i s... q x x ij ir x ir : j,,... m este processo garante o desempate. 6

27 Maximizar Z= x x sujeito a x x 8 x 1 + x 4 Faculdade de Engenharia Optimização Técnica de Perturbação. Exemplo. C B Para aplicar a técnica de perturbação a matriz identidade deve ocupar as primeiras colunas do quadro c mínimos j 9 mínimo empatados X B x x 4 x 1 x b x 1, x 8/4= recalcular quocientes: 1/4 em lugar de 8/4= / em lugar de 4/= x x 4 z j c j -z j /= Como existe empate nos mínimos dos quocientes para lograr um desempate é preciso perturbar os termos independentes. i.e., em lugar de calcular os quocientes entre os termos independentes, calcular entre as componentes da linha 1 nas colunas das variáveis onde existe o empate ( neste caso : x e x 4 ) : min (1/4, /) = em lugar de min ( 8/4, 4/) =. Como existe agora um desempate a variável a sair da base é x 4 7

28 Degenerescência. Regra de Bland. Foi introduzida por Bland em º. Escolher a coluna para entrar a base: aquela que tem menor índice j que verifica ( c j - z j ) > º. Regra do quociente mínimo: xi min x 1 i x im im 1 Se existir empate, escolher entre os quocientes que dão origem ao empate aquele com menor índice. 8