Pesquisa Operacional

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1 Pesquisa Operacional Casos Especiais do Método Simplex e Gráfica Profa. Sheila Morais de Almeida DAINF-UTFPR-PG setembro

2 1 Casos Especiais do Método Simplex Degeneração Múltiplas soluções ótimas Função Objetivo ilimitada Solução inviável Conclusões 2 Gráfica Variações do Lado Direito Variações dos Coeficientes da Função Objetivo

3 Degeneração Característica: empate na razão mínima. Consequências: no mínimo uma variável básica será zero na iteração seguinte. Nesses casos, dizemos que a solução é degenerada. pode levar o método simplex a um número infinito de interações. Esse fênomeno é chamado de retorno cíclico, ciclismo ou ciclagem.

4 Degeneração Maximizar z = 4x 1 + 6x 2 sujeito a: x 1, x 2 0 3x 1 + 8x x 1 + 3x 2 33, 6 1x 1 + 1x 2 8.

5 Figura : Ponto ótimo superdeterminado. Degeneração Ponto ótimo superdeterminado: três retas passam pelo ponto ótimo. x 2 0 x 1

6 Degeneração Maximizar z = 4x 1 + 6x 2 sujeito a: x 1, x 2 0 3x 1 + 8x x 1 + 3x 2 33, 6 1x 1 + 1x 2 8.

7 Degeneração Maximizar z = 4x 1 + 6x 2 sujeito a: 3x 1 + 8x 2 + 1x 3 + 0x 4 + 0x 5 = 48 6x 1 + 3x 2 + 0x 3 + 1x 4 + 0x 5 = 33, 6 1x 1 + 1x 2 + 0x 3 + 0x 4 + 1x 5 = 8. x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 0

8 Degeneração Base x1 x2 x3 x4 x5 LD Z x3 x4 x5 Z x2 x4 x , /4 0 3/ /8 1-1/ /16 0 3/ ,8 5/8 0 1/ /(3/8) = 16 7,8/(39/16) = 3,2 2/(5/8) = 3,2

9 Degeneração Base x1 x2 x3 x4 x5 LD Z -7/4 0 3/ x2 x4 x5 Z 3/8 1-1/ /16 0 3/ ,8 5/8 0 1/ /13 28/ /5 x /13-2/ /5 x /13 16/ /5 x /6-10/39 1 0

10 Degeneração Base x1 x2 x3 x4 x5 LD Z -7/4 0 3/ x2 x4 x5 Z 3/8 1-1/ /16 0 3/ ,8 5/8 0 1/ /5 0 14/5 208/5 x /5 0-3/5 24/5 x /5 1-39/10 0 x /5 0 8/5 16/5

11 Degeneração Exemplo de Ciclismo

12 Degeneração - Fonte: Professor Rodrigo Scarpel - ITA

13 Degeneração - Fonte: Professor Rodrigo Scarpel - ITA

14 Degeneração - Fonte: Professor Rodrigo Scarpel - ITA

15 Degeneração - Fonte: Professor Rodrigo Scarpel - ITA Primeira iteração: Última iteração:

16 Degeneração - Fonte: Professor Rodrigo Scarpel - ITA Teorema: se todas as soluções básicas viáveis de um PPL forem não degeneradas, o método simplex é finito. Implicação: o número máximo de soluções básicas viáveis é n! (n m)!m!. na prática, observa-se que o número máximo de iterações não passa de 3m 2. Então, 3m 2 pode ser considerado um bom ponto de parada.

17 Múltiplas soluções ótimas Características: a função objetivo tem reta paralela a uma das restrições do problema. em alguma iteração do Simplex, uma variável não-básica tem coeficiente igual a zero na função objetivo. Consequências: há um número infinito de soluções ótimas. duas iterações do simplex apresentam valores ótimos para a função objetivo e determinam o segmento de reta em que todos os pontos são solução ótima para o problema. na prática, múltiplas soluções ótimas são úteis por apresentarem diferentes alternativas que não deterioram o valor da função objetivo.

18 Múltiplas soluções ótimas No método gráfico: x 2 z = 2x 1 + 4x 2 x 1 + 2x 2 < 5 x 1 + 2x 2 < 5 x 1 soluções básicas ótimas Função objetivo paralela à restrição.

19 Múltiplas soluções ótimas No método algébrico: Iteração Base x 1 x 2 x 3 x 4 LD 0 z entra x 2 x sai x 3 x (ótima) z entra x 1 x 2 1/2 1 1/2 0 5/2 sai x 4 x 4 1/2 0-1/2 1 3/2 2 (ótima) z x x Variáveis não básicas com coeficiente zero na função objetivo.

20 Função Objetivo ilimitada Característica: o valor de alguma variável pode ser aumentado indefinidamente sem violar nenhuma restrição. Consequências: a função objetivo cresce indefinidamente (em problemas de maximização) ou decresce indefinidamente (em problemas de minimização). Pode ser indício de um modelo mal construído!

21 Função Objetivo ilimitada Como identificar graficamente? Considere o modelo abaixo. Maximizar z = 2x 1 + x 2 sujeito a: x 1, x 2 0 1x 1 1x x 1 + 0x 2 40

22 Função Objetivo ilimitada Como identificar graficamente? x 2 crescimento de z z = 2x 1 + x 2 x 1 - x 2 < 10 2x 1 < 40 x 1 x 2 pode crescer indefinidamente.

23 Função Objetivo ilimitada Como identificar algebricamente? Base x 1 x 2 x 3 x 4 LD z x x Uma variável não básica, candidata a entrar na base, tem todos os seus coeficientes (nas restrições) negativos ou zero.

24 Solução inviável Características: iteração ótima. Consequências: Ao menos uma variável artificial será positiva na O problema não possui uma solução factível.

25 Conclusões Teste Empate no teste da razão mínima. Coeficiente de variável não básica igual a zero na Função Objetivo. Existe variável não básica candidata a entrar na base, mas todos os coeficientes da mesma são zeros ou nulos. Variável artificial (M grande ou duas fases) com valor diferente de zero na solução ótima. Diagnóstico Degeneração - pode ocorrer ciclagem. Múltiplas soluções ótimas. Função Objetivo ilimitada. Não há solução viável.

26 Permite averiguar o impacto da incerteza dos parâmetros sobre a solução ótima. Identifica os limites de variação nos parâmetros do modelo de PL que não causam alteração na solução ótima.

27 Gráfica Vamos considerar dois casos: 1 Sensibilidade às variações da disponibilidade de recursos (lado direito). 2 Sensibilidade às variações no lucro unitário ou no custo unitário (coeficientes da função objetivo).

28 Variações do Lado Direito Uma empresa produz dois produtos utilizando as máquinas M 1 e M 2. Cada unidade do produto P 1 requer duas horas da máquina M 1 e uma hora da máquina M 2. Cada unidade do produto P 2 requer uma hora da máquina M 1 e três horas da máquina M 2. As receitas dos produtos P 1 e P 2 são $30 e $20, respectivamente. O tempo de processamento diário disponível em cada máquina é de 8 horas.

29 Variações do Lado Direito x 1 e x 2 : número de unidades produzidas por dia dos produtos P 1 e P 2, respectivamente. Maximizar z = 30x x 2 sujeito a: x 1, x 2 0 2x 1 + 1x 2 8 1x 1 + 3x 2 8

30 Variações do Lado Direito E C é ótimo: x1 = 3,2; x2 = 1,6; z = 128 G é ótimo: x1 = 3,8; x2 = 1,4; z = M1: 2x1 + x2 < 8 M1: 2x1 + x2 < 9 2 B 1 C G M2: x1 + 3x2 < 8 A D F Figura : Método gráfico para o modelo com variação do lado direito da máquina M 1.

31 Variações do Lado Direito Taxa de variação na receita resultante do aumento de uma hora na capacidade da máquina = z G z C = = $14/h Alteracao na capacidade 9 8 Cada hora de trabalho da máquina M 1 altera a receita em $14. $14 é o valor unitário equivalente do recurso (hora da máquina M 1 ) (também chamado de preço sombra ou preço dual)

32 Variações do Lado Direito Faixa de viabilidade do preço sombra da hora de M 1 : Capacidade mínima de M 1 (em B = (0; 2, 67)): , 67 = 2, 67 horas. Capacidade máxima de M 1 (em F = (8; 0)): = 16 horas. O preço sombra da máquina M 1 é $14/h para a faixa 2, 67 capacidade de M 1 16 horas.

33 Variações do Lado Direito E C é ótimo: x1 = 3,2; x2 = 1,6; z = 128 G é ótimo: x1 = 3; x2 = 2; z = M1: 2x1 + x2 < B G 1 C M2: x1 + 3 x2 < 9 M2: x1 + 3x2 < 8 A D F Figura : Método gráfico para o modelo com variação do lado direito da máquina M 2.

34 Variações do Lado Direito Faixa de viabilidade do preço sombra da hora de M 2 : Capacidade mínima de M 2 (em D = (4; 0)): = 4 horas. Capacidade máxima de M 2 (em E = (0; 8)): = 24 horas. O preço sombra da máquina M 2 é $2/h para a faixa 4 capacidade de M 2 24 horas.

35 Variações do Lado Direito Pergunta: Se a empresa puder aumentar a capacidade de ambas as máquinas, qual delas deve receber maior prioridade? Prioridade para a máquina M 1!

36 Variações do Lado Direito Pergunta: Se a empresa puder aumentar a capacidade de ambas as máquinas, qual delas deve receber maior prioridade? Prioridade para a máquina M 1!

37 Variações do Lado Direito Pergunta: É dada uma sugestão de aumentar as capacidades das máquinas M 1 e M 2 ao custo adicional de $ 10/hora por máquina. Isso é aconselhável? Para a máquina M 1, a receita ĺıquida adicional por hora é de $14 - $10 = $4. Para a máquina M 2, a receita ĺıquida adicional por hora é de $2 - $10 = -$8 Portanto, é aconselhável apenas para a máquina M 1.

38 Variações do Lado Direito Pergunta: É dada uma sugestão de aumentar as capacidades das máquinas M 1 e M 2 ao custo adicional de $ 10/hora por máquina. Isso é aconselhável? Para a máquina M 1, a receita ĺıquida adicional por hora é de $14 - $10 = $4. Para a máquina M 2, a receita ĺıquida adicional por hora é de $2 - $10 = -$8 Portanto, é aconselhável apenas para a máquina M 1.

39 Variações do Lado Direito Pergunta: Se a capacidade da máquina M 1 for aumentada das atuais 8 horas para 13 horas, qual será o impacto desse aumento na receita ótima? O preço sombra para a máquina M 1 é de $14 e é viável na faixa de 2, 67 a 16 horas. O aumento proposto está dentro da faixa de viabilidade. Portanto, o aumento na receita é de $ 14(13 8) = $ 70. O que significa que a receita total aumentará de $128 para $198.

40 Variações do Lado Direito Pergunta: Se a capacidade da máquina M 1 for aumentada das atuais 8 horas para 13 horas, qual será o impacto desse aumento na receita ótima? O preço sombra para a máquina M 1 é de $14 e é viável na faixa de 2, 67 a 16 horas. O aumento proposto está dentro da faixa de viabilidade. Portanto, o aumento na receita é de $ 14(13 8) = $ 70. O que significa que a receita total aumentará de $128 para $198.

41 Variações do Lado Direito Pergunta: Supondo que a capacidade da máquina M 1 seja aumentada para 20 horas, qual será o impacto desse aumento para a receita ótima? O preço sombra para a máquina M 1 é de $14 e é viável na faixa de 2, 67 a 16 horas. Portanto, não temos informações suficientes para tomar uma solução imediata. Serão necessários mais cálculos.

42 Variações do Lado Direito Pergunta: Supondo que a capacidade da máquina M 1 seja aumentada para 20 horas, qual será o impacto desse aumento para a receita ótima? O preço sombra para a máquina M 1 é de $14 e é viável na faixa de 2, 67 a 16 horas. Portanto, não temos informações suficientes para tomar uma solução imediata. Serão necessários mais cálculos.

43 Variações do Lado Direito Pergunta: Sabemos que a variação no valor ótimo da função objetivo é igual a (Preço sombra x variação do recurso), desde que a variação esteja dentro da faixa de viabilidade. O que podemos dizer sobre os valores ótimos das variáveis? Os valores ótimos das variáveis com certeza mudarão. Contudo o nível de informação que obtemos na solução gráfica não é suficiente para determinar esses valores.

44 Variações do Lado Direito Pergunta: Sabemos que a variação no valor ótimo da função objetivo é igual a (Preço sombra x variação do recurso), desde que a variação esteja dentro da faixa de viabilidade. O que podemos dizer sobre os valores ótimos das variáveis? Os valores ótimos das variáveis com certeza mudarão. Contudo o nível de informação que obtemos na solução gráfica não é suficiente para determinar esses valores. (Será?)

45 Variações dos Coeficientes da Função Objetivo E C é ótimo: x1 = 3,2; x2 = 1,6; z = Z = 30 x x B A M1: 2x1 + x2 < 8 G C D M2: x1 + 3x2 < F Método gráfico para o modelo com variação dos coeficientes da função objetivo.

46 Variações dos Coeficientes da Função Objetivo E C é ótimo: x1 = 3,2; x2 = 1,6; z = Z = 30 x x B A M1: 2x1 + x2 < 8 G C D M2: x1 + 3x2 < F A alteração dos coeficientes da função objetivo causa alteração na inclinação da reta da função objetivo,...

47 Variações dos Coeficientes da Função Objetivo E C é ótimo: x1 = 3,2; x2 = 1,6; z = Z = 30 x x B A M1: 2x1 + x2 < 8 G C D M2: x1 + 3x2 < F desde que a reta da função objetivo fique entre as retas BF e DE (restrições que definem o ponto ótimo). veja

48 Variações dos Coeficientes da Função Objetivo Faixa de viabilidade dos coeficientes que mantém o valor ótimo da função objetivo: Maximizar z = c 1 x 1 + c 2 x 2 A solução ótima permanece no ponto C enquanto z estiver entre as retas: x 1 + 3x 2 = 8 e 2x 1 + x 2 = 8. Imagine que a reta z gire em sentido horário e anti-horário.

49 Variações dos Coeficientes da Função Objetivo Faixa de viabilidade dos coeficientes que mantém o valor ótimo da função objetivo: Maximizar z = c 1 x 1 + c 2 x 2 A solução ótima permanece no ponto C enquanto z estiver entre as retas: x 1 + 3x 2 = 8 e 2x 1 + x 2 = 8. Portanto, a razão c 1 c 2 pode variar entre 1 3 e 2 1 : 1 3 c 1 c 2 2 ou 0, 333 c 1 c 2 2

50 Variações do Lado Direito Pergunta: Suponha que as receitas unitárias dos produtos P 1 e P 2 sejam alteradas para $ 35 e $ 25, respectivamente. A solução ótima atual permanecerá a mesma? A nova função objetivo é: Max z = 35x x 2. A solução no ponto C permanecerá ótima, pois c 1 c 2 = = 1, 4, que continua dentro da faixa de otimalidade (0, 333; 2). Quando a razão cair fora dessa faixa, serão necessários cálculos adicionais para achar a nova solução ótima. Observe que o valor ótimo de z muda de $ 128 para $ 152.

51 Variações do Lado Direito Pergunta: Suponha que as receitas unitárias dos produtos P 1 e P 2 sejam alteradas para $ 35 e $ 25, respectivamente. A solução ótima atual permanecerá a mesma? A nova função objetivo é: Max z = 35x x 2. A solução no ponto C permanecerá ótima, pois c 1 c 2 = = 1, 4, que continua dentro da faixa de otimalidade (0, 333; 2). Quando a razão cair fora dessa faixa, serão necessários cálculos adicionais para achar a nova solução ótima. Observe que o valor ótimo de z muda de $ 128 para $ 152.

52 Referência Esse material é totalmente baseado no livro: Hamdy A. TAHA, Pesquisa Operacional, 8 a edição, São Paulo: Pearson, 2008.

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