Investigação Operacional

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1 Métodos de Programação Linear: Big M, Fases, S Dual (Licenciatura) Tecnologias e Sistemas de Informação - Escola de Engenharia Departamento de Produção e Sistemas 1 Simplex Como obter um quadro simplex válido para um problema que tenha restrições de igualdade e/ou de maior ou igual? Note-se que, se o problema só tiver restrições de "menor ou igual", temos sempre uma base "à mão": a constituída pelas variáveis de folga, i.e. O ponto de solução nula pertence ao espaço de soluções válidas, e forma-se a base com as variáveis de folga.

2 Simplex Modelos (a) e (b) são equivalentes. O modelo (b) está na forma estandardizada e inclui uma variável de excesso (primeira restrição) e uma variável de folga (segunda restrição). Para a segunda linha é fácil encontrar uma variável básica inicial (tem coeficiente 1 na própria linha e 0 nas restantes). Qual a variável básica a associar à primeira linha? Não é claro. Não há nenhuma variável que tenha coeficiente 1 na própria linha e 0 nas restantes. Modifica-se o modelo por inclusão de variáveis artificiais Max z = x + x 1 x, x Grande M / fases Max z = x + x + 0S x + x x + x + S = 1 1 x, x, S Qual é a solução óptima? 4

3 Min z = S1 x1+ x + S1 = x, x, S Grande M / fases Minimizar a folga Qual é a solução óptima? O quadro não é válido 5 Min z = S1 x1+ x + S1 = x, x, S Grande M / fases Qual é a solução óptima? O quadro não é válido Validação do Quadro Simplex 6

4 Min z = x + x x1+ x x, x, S Grande M Fases Min z = x1+ x + Ma1 Variáveis artificiais permitem começar do ponto de solução x1+ x F1+ a1 = nula. x1, x, F1, a1 0 As variáveis artificiais medem o desvio (distância) do espaço de soluções válidas. O objectivo é anular essa distância / desvio da zona de soluções válidas x + x 1 x, x 0 1 O quadro não é válido Grande M Fases Min z = x1+ x Min z = x1+ x + Ma1 x1+ x x1+ x F1+ a1 = x, x, S 0 x, x, F, a O quadro não é válido x + x 1 x, x 0 1 8

5 Grande M Fases Síntese: Incluem-se no modelo variáveis artificiais com coeficientes na função objectivo de tal forma que, numa solução óptima do modelo modificado, as variáveis artificiais tenham valor nulo. Dessa forma a solução óptima do modelo modificado é também óptima do modelo original. O coeficiente das variáveis artificiais representa-se por M. 9 Grande M Fases Síntese: No exemplo, o valor de M pode ser 100. O modelo (c) obtido não é equivalente ao modelo original. Uma solução admissível de (c) só é uma solução admissível de (a) se o valor de a for zero. Se, na solução óptima de (c) a variável artificial a tiver um valor positivo, então o problema (a) é impossível. 10

6 Grande M Fases Exemplo: Validação do Quadro Simplex 11 Grande M Fases Exemplo: mais pequeno sai da base mais negativa, entra na base Não há artificiais na base, podem ser removidas do quadro e prossegue-se com o Simplex... 1

7 Exemplo: Grande M Fases sai entra Ponto actual Solução óptima 1 Grande M Fases O método das fases resulta do Grande M dividindo a Função Objectivo por M??? x1 x Ma Max z = + M M M Max z = 0+ 0 a Min w = a 14

8 Grande M Fases 1ª FASE Para obter uma base inicial, utiliza-se um problema auxiliar que consiste em minimizar a soma das variáveis artificiais. Elimina-se a distância à zona de soluções válidas. 15 Grande M Fases ª FASE Se não houver variáveis artificias na base, procede-se com a função objectivo original Senão, o problema é impossível! É necessário validar o quadro 16

9 Exemplo: 1ª Fase Grande M Fases Validação do Quadro Simplex 17 Exemplo: Grande M Fases 1ª Fase mais pequeno sai da base negativa (empate), entra na base Ponto actual Não há artificiais na base, podem ser removidas do quadro e passa-se à ª fase... 18

10 Exemplo: ª Fase Grande M Fases Validação do Quadro Simplex 19 Exemplo: ª Fase Grande M Fases sai da base negativa, entra na base Solução óptima 0

11 Vamos ver uma curiosidade Simplex DUAL Coluna pivot VAMOS ERRAR! Sai x 4 1 Simplex DUAL Há valores negativos nos termos independentes!!! O que fazer?

12 Simplex DUAL Reiniciar a partir do quadro original? Desfazer o erro? -sair x 1 e entrar x 4 E se fosse possível continuar, apesar da asneira!?!? Simplex DUAL O que é necessário fazer para reparar o erro? transformar termos independentes em valores positivos manter a matriz identidade iterar, escolhendo pivots negativos sai a mais negativa Qual é a que Pivots entra? negativos 4

13 Simplex DUAL O que é necessário fazer para reparar o erro? transformar os negativos em positivos manter a matriz identidade iterar, escolhendo pivots negativos Iterar, optimizando, escolhe-se a menor razão em módulo! sai a mais negativa Qual é a que Pivots entra? negativos Entra x4 5 Simplex DUAL Ainda há valores negativos nos termos independentes!!!

14 Quadro válido!!! Simplex DUAL Falta Optimizar, resolução pelo Simplex PRIMAL Solução Óptima Simplex DUAL

15 Simplex DUAL Só mudou a ordem das linhas Exemplo Simplex DUAL Min z = x + x x + x x 5 x x + 4x 8 x j 0, j = 1,, Max -z = x x x x + x 5 x + x 4x 8 x j 0, j = 1,, Max -z = x x 1 x x + x + s = x + x 4x + s = 8 x j 1 0, j = 1,, solução básica não admissível 0

16 Simplex DUAL sai Síntese: entra Sai da base a variável com o valor mais negativo (que é menos admissível ). Entra na base a variável que tem menor razão em módulo entre o coeficiente da linha da função objectivo e o coeficiente da linha pivot, considerando apenas as que têm coeficientes negativos na linha pivot. 1 Simplex DUAL 5 4, 1, 0, 1, 1 4, 7 1 4, 1, 1, 0, 1 4, 7 4, 1, 0, 0, 1 4, entra sai Solução Óptima

17 Simplex DUAL Resumo da Iteração do algoritmo simplex dual: 1. Teste de optimalidade (a solução básica actual é óptima se todos os termos independentes são não negativos e todos os coeficientes da linha da função objectivo são não negativos). Se a solução é óptima, parar. Se não, prosseguir com o passo.. Decidir qual a variável que sai da base (é aquela que tem o valor mais negativo - em caso de empate decidir arbitrariamente). Prosseguir com o passo.. Decidir qual a variável não básica que entra na base (é aquela que tem a menor razão em módulo do critério de entrada - excluindo as variáveis que têm coeficiente positivo ou nulo na linha pivot; em caso de empate, escolher maior pivot em módulo). Se não houver nenhuma variável com coeficiente negativo na linha pivot, o problema é impossível, parar. Se não, prosseguir para Actualizar o quadro simplex para a base actual e passar à iteração seguinte (passo 1). Simplex Matricial Revisto Quadro Inicial Quadro numa qualquer iteração 4

18 Simplex Matricial Revisto Quadro Inicial Matriz tecnológica (coeficientes das restrições) Matriz Identidade Termos independentes Coeficientes na Função Objectivo Variáveis de decisão Variáveis de folga 5 Simplex Matricial Revisto Max z = x + 5 x + x 4 1 x + x + x 7 1 x + x 6 j 1 + x + 6x 9 x 0, j = 1,, Max z = x + 5 x + x + 0x + 0x + 0x x + x + x + x = x + x + x = 6 j x + 6x + x = 9 6 x 0, j = 1,,, 4,5,6 1 A = b = 6 9 c = 5 4 6

19 Simplex Matricial Revisto Matriz formada pelas colunas da Matriz das variáveis básicas Matriz Inversa da Matriz Matriz dos coeficientes na Função Objectivo das variáveis básicas Vector das variáveis básicas Na Análise de Sensibilidade é esta forma matricial que se usa. Quase Sempre a Matriz é dada. Quadro numa qualquer iteração 7 Simplex Matricial Revisto A Revisão do Simplex teve como objectivo a definição de uma metodologia mais eficiente para uso do cálculo automático. Dantzig e Orchard-Hays desenvolveram para a RAND Corporation uma metodologia que visava tratar a informação estritamente necessária para o cálculo automático. O Simplex revisto permite reduzir o número de operações a efectuar em cada iteração, o espaço de memória, e o tempo de computação. 8

20 Simplex Matricial Revisto No percurso para a solução óptima só importa conhecer os vectores (colunas) fora da base, em termos da base actual (colunas das variáveis básicas): calculo dos custos reduzidos; determinação do vector a sair da base obtenção da nova solução por mudança de base. Não se actualiza todo o quadro simplex, somente interessa identificar o novo elemento pivot. A forma revista explora o facto de se poder obter todo o quadro simplex respeitante a qualquer SBA a partir do conhecimento da matriz inversa da base B -1 dessa solução. 9 Simplex Matricial Revisto Atendendo ao conceito de base de um espaço vectorial, qualquer vector P j édado por: Pj = BX j, j = 1,,, n em que X j é a representação do vector P j em termos de base B. Donde 1 X j = B Pj em que B -1 designa a matriz inversa da base actual. Qualquer solução básica resulta de igualar a zero as variáveis não básicas. 1 BX = b = B b B X B 40

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