Optimização e Decisão. Resumo de aula. 3 Novembro Capítulo 10. Programação Dinâmica. Autores: Miguel Couto, nº José Dias, nº 63736

Transcrição

1 Optimização e Decisão Resumo de aula 3 Novembro 2008 Capítulo 10 Programação Dinâmica Autores: Miguel Couto, nº José Dias, nº 63736

2 Sumário 1. Introdução 2. Exemplo 1 3. Programação Dinâmica Determinística 4. Problema de Distribuição de Recursos 5. Exemplo 2 6. Exemplo 3 7. Conclusões 2

3 Introdução Não há uma formulação convencional para o problema Equações particulares têm de ser obtidas de modo a enquadrarem-se em cada problema.. É necessário praticar muito para perceber quando e como um problema pode ser resolvido com PD 3

4 Exemplo 1 Objectivo: ir do IST para o Bairro Alto pelo caminho mais seguro (a pé). 4

5 Exemplo 1 Enumeração exaustiva -> menos eficiente para grandes problemas 5

6 Formulação Sendo, Exemplo 1 A x1 x2 x3 J f* n (s) = min f n (s,x n ) = f n (s,x* n ) f n (s, x n ) = cimediato(n) + min(cfuturo) f* 5 (J) = 0; x n Calcular f* 4 (s), f* 3 (s), f* 3 (s), f* 2 (s) para cada s possível. Finalmente obtém-se f* 1 (A) 6

7 Exemplo 1 Procedimento para determinar solução n = 4 n = 3 7

8 Exemplo 1 n = 2 n = 1 8

9 Exemplo 1 Solução optima Qual o caminho que é mais seguro? 9

10 Exemplo 1 Conclusões Problema simples com poucas interrelações entre etapas Caminho percorrido não influencia próxima etapa Estados da mesma etapa não podem estar ligados 10

11 Características PD 1. Problema dividido em etapas Decisão é necessária em cada etapa Sequência de decisões interrelacionadas 2. Etapas têm estados associados ao início de cada etapa 3. Efeito da decisão em cada etapa é transformar o estado actual num estado associado com o início da próxima etapa 4. Desenvolvimento da solução encontra solução óptima 11

12 Características PD 5. Princípio de Optimalidade (propriedade Markoviana) 6. Solução começa por calcular a decisão óptima para a última etapa 7. Relacionamento recursivo identifica decisão óptima na etapa n com base na decisão óptima da etapa n+1 12

13 Programação Dinâmica Determinística Problemasdeterminísticos: o estado da etapa seguinte é totalmente determinado pelo estado e política de decisão no estado actual. Forma da função objectivo Conjunto de estados 13

14 Problema de Distribuição de Formulação: Recursos Etapa n = actividade n x n = quantidade de recursos usados na actividade n Estado S n = quantidade de recursos restantes das etapas anteriores Na etapa n, no estado S n, a escolha de x n resulta de o estado em n+1 ser S n+1 =S n -x n 14

15 Exemplo 2 Objectivo: distribuir equipas médicas por países de modo a máxima eficácia. 15 n =??? x n =?????? 3 nº equipas s eq. médicas n = médicas disponíveis

16 Exemplo 2... Visualização gráfica do problema 16

17 Exemplo 2... Definição do problema 17

18 Exemplo 2... Equações 18

19 Exemplo 2... Resolução do problema com PD 19

20 Exemplo 2... Resolução do problema com PD 20

21 Exemplo 2... Resolução do problema com PD 21

22 Exemplo 2 Solução Gráfica 22

23 Problema de Distribuição de Formulação: Recursos Etapa n = actividade n x n = quantidade de recursos usados na actividade n Estado S n = quantidade de recursos restantes das etapas anteriores Na etapa n, no estado S n, a escolha de x n resulta de o estado em n+1 ser S n+1 =S n -x n 23

24 Exemplo 3 Recurso x n = nº de aparelhos a produzir na semana n Week Maximum Production, Regular Time Maximum Production, Overtime Production Cost per Unit Regular Time $ $ $400 24

25 Exemplo 3 s n = numero de aparelhos disponiveis no inicio da semana n s n+1 = s n + x n -3 s 1 = 2. c n = custo de produção em tempo regular 25

26 Exemplo n r n m n c n r n = tempo de produção regular maximo m n = produção maxima total p n ( s, x ) = c x max( 0, x r ) + 50 max( 0, s + x n n n n n n n n 3 ) 26

27 Exemplo 3 f * n ( s n ) = min [ pn ( sn, xn ) + fn+ 3 s n x n m n * 1 ( s n + x n 3)] For n = 3: S n+1 s 3 f 3* (s 3 ) x * 3 0 1, s

28 Exemplo 3 For n = 2: x 2 f 2 (s 2, x 2 ) = p 2 (s 2, x 2 )+ f 3* (s 2 + x 2-3) f 2* (s 2 ) x * 2 s ,900 3,050 3,200 2, ,400 2,450 2,600 2,850 2, ,900 1,950 2,000 2,250 2,900 1, ,400 1,450 1,500 1,650 2,300 2,950 1,400 0 For n = 1: x 1 f 1 (s 1, x 1 ) = p 1 (s 1, x 1 )+ f 2* (s 1 + x 1-3) f 1* (s 1 ) x 1 * s ,200 3,050 3,000 2,950 2,

29 Concluões Variáveis de estado são discretas (s n ) Ordem das etapas pode não ser relevante (característica dos ProbDistEsf) Condições da PL (proporcionalidade, divisibilidade e certeza) podem não ser cumpridas em problemas de PD. Apenas a aditividade tem de ser cumprida (príncipio de optimalidade) para ProbDistEsf. 29

30 Outros Exemplos Variáveis de estados discretas Worked Examples (CD-ROM) 2 exemplos Variáveis de estado contínuas Exemplo 4: Escalonamento do nível de emprego Mais do que um recurso Exemplo 5 Wynddor Glass Company 30