Programação linear I João Carlos Lourenço

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1 Fundamentos de Investigação Operacional Programação linear I João Carlos Lourenço Ano lectivo 2011/2012 Leituras recomendadas: Nova, A.P., Lourenço, J.C., 2011, Apontamentos de Investigação Operacional, DEG, IST, Capítulo 2. Hillier, F.S., Lieberman, G.J., Introduction to Operations Research, 9th ed. McGraw-Hill, New York, Chapter 3. Programação linear: Para que serve? O tipo mais comum de aplicação envolve o problema genérico de afectação de recursos limitados da melhor forma possível (ou seja, óptima) entre actividades que competem entre si. Utilização eficiente de recursos 2 1

2 Programação linear: Características A Programação Linear (PL) recorre a um modelo matemático para descrever o problema em causa. O adjectivo linear significa que todas as funções matemáticas neste modelo têm de ser funções lineares. A palavra programação não se refere a programação de computadores; mas é essencialmente um sinónimo para planeamento. 3 PL: O exemplo Wyndor Glass Co. Exemplo A empresa WYNDOR GLASS CO. produz produtos em vidro de alta qualidade, incluindo janelas e portas de vidro em três fábricas. A gestão de topo decidiu descontinuar produtos não rentáveis, libertando capacidade de produção para lançar dois novos produtos que têm um grande potencial de vendas. Produto 1: Uma porta de vidro com moldura em alumínio Produto 2: Uma janela com moldura em madeira 4 2

3 PL: O exemplo Wyndor Glass Co. Fábrica 1 Fábrica 2 Fábrica 3 Produto 1 Produto 2 Que combinação poderá ser mais rentável? 5 PL: O exemplo Wyndor Glass Co. Definição do problema: Determinar quais devem ser as taxas de produção dos dois produtos de modo a maximizar o lucro total, sujeito às restrições impostas pelas capacidades de produção disponíveis nas três fábricas. (Cada produto será produzido em lotes de 20, assim a taxa de produção é definida como o número de lotes a produzir por semana.) 6 3

4 PL: O exemplo Wyndor Glass Co. A equipa de IO identificou os dados que necessitam ser reunidos: 1. Número de horas de tempo de produção disponível por semana em cada fábrica para estes novos produtos. 2. Número de horas de tempo de produção usado em cada fábrica para cada lote produzido de cada novo produto. 3. Lucro por lote produzido de cada novo produto. 7 PL: O exemplo Wyndor Glass Co. 8 4

5 PL: O exemplo Wyndor Glass Co. Formulação como um problema de programação linear: Sejam x 1 = número de lotes do produto 1 produzidos por semana x 2 = número de lotes do produto 2 produzidos por semana Z = lucro total semanal (em milhares de dólares) obtidos com a produção destes dois produtos Então x 1 e x 2 são as variáveis de decisão do modelo. O objectivo é escolher os valores de x 1 e x 2 de modo a Maximizar Z = 3x 1 +5x 2 usando o lucro por lote referido na linha de baixo da Tabela 3.1 (que se mostrou no slide anterior). 9 PL: O exemplo Wyndor Glass Co. Cada lote do produto 1 produzido por semana usa 1 hora de tempo de produção por semana na Fábrica 1, enquanto que só existem 4 horas por semana disponíveis. => x 1 4 A Fábrica 2 impõe a restrição 2x O número de horas de tempo de produção utilizadas por semana na Fábrica 3 escolhendo x 1 e x 2 como as taxas de produção dos produtos será 3x 1 + 2x 2 => 3x 1 + 2x

6 PL: O exemplo Wyndor Glass Co. Na linguagem da programação linear, o problema consiste em escolher os valores de x 1 e de x 2 de modo a sujeito às restrições Maximizar Z = 3x 1 +5x 2, e Variáveis de decisão não negativas 11 PL: O exemplo Wyndor Glass Co. Solução gráfica: Como este problema de programação matemática só tem duas variáveis de decisão nós podemos representá-lo graficamente tendo x 1 e x 2 como eixos. O primeiro passo consiste em identificar os valores de (x 1, x 2 ) que são permitidos pelas restrições. Para começar, veja-se que as restrições de não negatividade x 1 0 e x 2 0 obrigam (x 1, x 2 ) a situar-se no lado positivo dos eixos, ou seja, no primeiro quadrante. Depois, observe-se que x 1 4 significa que (x 1, x 2 ) não estar situado à direita da recta x 1 =

7 PL: O exemplo Wyndor Glass Co. De modo semelhante, a restrição 2x 2 12 (ou x 2 6) implica que a recta 2x 2 = 12 deverá ser adicionada à fronteira da região permitida. A restrição final 3x 1 + 2x 2 18 requer adicionar uma nova linha de fronteira 3x 1 + 2x 2 = 18 A região de valores permissíveis para (x 1, x 2 ), assinalada a cinzento no gráfico, é designada por região admissível. 13 PL: O exemplo Wyndor Glass Co. O passo final consiste em escolher o ponto da região admissível que maximiza o valor de Z = 3x 1 + 5x 2. Podemos começar por tentativa e erro. Primeiro tentamos, arbitrariamente, Z = 10. Desenhando a recta 3x 1 + 5x 2 = 10 podemos ver que existem muitos pontos desta linha que estão dentro da região admissível. De seguida experimentamos 3x 1 + 5x 2 = 20, que também tem muitos pontos dentro da região. Notem que as duas rectas (Z = 10 e Z = 20) são paralelas 14 7

8 PL: O exemplo Wyndor Glass Co. Não se trata de uma coincidência, pois qualquer recta assim construída tem a forma Z = 3x 1 + 5x 2 para o valor escolhido de Z, o que implica que x 2 = 3/5 x 1 + 1/5 Z Esta última equação demonstra que o declive da recta é 3/5 (uma vez o incremento de uma unidade em x 1 corresponde a um incremento de 3/5 em x 2, enquanto que a intersecção da recta com o eixo x 2 é 1/5 Z. O facto de o declive estar fixado em 3/5 significa que todas as rectas construídas desta forma são paralelas. 15 PL: O exemplo Wyndor Glass Co. Comparando as rectas 3x 1 + 5x 2 = 10 e 3x 1 + 5x 2 = 20, verificamos que a que tem o maior valor de Z (Z = 20) está mais para cima e mais afastada da origem do que a outra recta (Z = 10). Estas observações implicam que o nosso procedimento de tentativa e erro para construir rectas não envolve mais do que desenhar uma família de rectas paralelas que contenham pelo menos um ponto da região admissível e selecionar a recta que corresponda ao maior valor de Z. 16 8

9 PL: O exemplo Wyndor Glass Co. A recta paralela que contém o ponto (2, 6), indica que a solução óptima é x 1 = 2 e x 2 = 6. A equação desta recta é 3x 1 + 5x 2 = 3(2) + 5(6) = 36 = Z, a qual indica que o valor óptimo de Z é 36. Depois do que vimos como é que podemos encontrar a solução óptima de uma forma expedita? 17 PL: O exemplo Wyndor Glass Co. Este procedimento é referido como o método gráfico de programação linear. Pode ser utilizado para resolver qualquer problema de programação linear com duas variáveis de decisão. Já será mais difícil, mas possível, utilizar este método para resolver problemas com três variáveis de decisão, mas não mais de três. Quando temos problemas de programação linear mais complexos recorremos ao algoritmo simplex. Conclusão do exemplo A equipa de IO utilizou esta abordagem para encontrar a melhor solução, x 1 = 2 e x 2 = 6, com Z = 36. Esta solução indica que a empresa Wyndor Glass Co. deverá produzir os produtos 1 e 2 com as taxas de produção de 2 lotes por semana e 6 lotes por semana, respectivamente, de que resultará um lucro total de 36 mil dólares por semana. De acordo com o modelo, nenhuma outra combinação de produção dos dois produtos será mais rentável. 18 9

10 O modelo de PL: Terminologia Um modelo de PL coloca o problema em termos da decisão acerca dos níveis de actividade, em que x 1, x 2,..., x n são designadas por variáveis de decisão. Os valores de c j, b i, e a ij (com i = 1, 2,..., m e j = 1, 2,..., n) são as constantes (inputs) do modelo, que também são designados por parâmetros do modelo. (Uma) forma normalizada do modelo (Hillier and Lieberman) Este problema genérico de afectar recursos a actividades pode ser formulados através de um modelo matemático. Em particular, este modelo servirá para encontrar os valores de x 1, x 2,..., x n de modo a maximizar sujeito às restrições e 19 O modelo de PL: Terminologia 20 10

11 O modelo de PL: Terminologia Qualquer situação cuja formulação matemática se adeque a este modelo é um problema de programação linear. Verifique-se que o modelo para o problema Wyndor Glass Co. se adequa à forma normalizada, com m = 3 e n = 2. A terminologia usual para um problema de programação linear pode agora ser sumarizada. A função a ser maximizada, c 1 x 1 + c 2 x c n x n, é designada por função objectivo. As limitações (ou constrangimentos) são normalmente referidas como restrições. As primeiras m restrições (aquelas que são função de todas as variáveis a i1 x 1 + a i2 x 2 + a in x n no primeiro termo) são designadas como restrições funcionais (or restrições estruturais). As restrições x j 0 são chamadas restrições de não negatividade (ou condições de não negatividade). 21 O modelo de PL: Terminologia Outras formas O modelo precedente não se ajusta à forma natural de alguns problemas lineares. Outras formas legítimas são as seguintes: 1. Minimizar a função objectivo ao invés de a maximizar: Minimizar Z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n. 2. Algumas restrições funcionais utilizarem uma inequação com sinal de maior ou igual: a i1 x 1 + a i2 x a in x n b i para alguns valores de i. 3. Algumas restrições funcionais em forma de equação: a i1 x 1 + a i2 x a in x n = b i para alguns valores de i. 4. Algumas variáveis de decisão sem a restrição de não negatividade: x j para alguns valores de j. Qualquer problema que combine algumas ou todas estas formas com partes do modelo precedente continua a ser um problema de programação linear

12 O modelo de PL: Terminologia Terminologia para as soluções do modelo Quaisquer valores definidos para as variáveis de decisão (x 1, x 2,..., x n ) constituem uma solução, independentemente de ser ou não uma solução desejável ou admissível (possível). Diferentes tipos de soluções são identificadas utilizando adjectivos apropriados. Um solução admissível (possível) é uma solução que satisfaz todas as restrições. Um solução não admissível (impossível) é uma solução que viola pelo menos uma restrição. No exemplo, os pontos (2, 3) e (4, 1) na figura são soluções admissíveis (possíveis) enquanto que os pontos ( 1, 3) e (4, 4) são soluções não admissíveis. A região admissível (assinalada a cinzento na figura) corresponde ao conjunto de todas as soluções admissíveis. 23 O modelo de PL: Terminologia Um problema pode não ter soluções admissíveis 24 12

13 O modelo de PL: Terminologia Se existirem soluções admissíveis, o objectivo da programação linear é encontrar a melhor solução admissível, medida pelo valor da função objectivo do modelo. Uma solução óptima é uma solução admissível que tem o melhor valor na função objectivo. A maior parte dos problemas só terá uma solução óptima. Contudo, é possível terem mais do que uma. Como é o caso ilustrado na figura à esquerda. Tal como neste caso, qualquer problema que tenha múltiplas soluções óptimas terá infinitas soluções óptimas, cada uma delas com o mesmo valor óptimo. 25 O modelo de PL: Terminologia Outra possibilidade é um problema não ter soluções óptimas. Isso somente poderá ocorrer se (1) não tiver soluções admissíveis (2) as restrições não impedirem que o valor da função objectivo melhore (Z) infinitamente. O último caso é referido como um problema não limitado. Como ilustração, esse caso poderá ocorrer caso as duas restrições funcionais forem erradamente apagadas no exemplo, como se ilustra na figura à esquerda

14 O modelo de PL: Terminologia Um tipo de solução que tem um papel-chave no algoritmo simplex é o chamado ponto extremo da região admissível. Relação entre soluções óptimas e pontos extremos: Considere qualquer problema de programação linear com soluções admissíveis e uma região admissível limitada. O problema tem de ter soluções em pontos extremos e pelo menos uma solução óptima. Adicionalmente, a melhor solução admissível de um ponto extremo será uma solução óptima. Consequentemente, se um problema tem uma única solução óptima, essa solução será um ponto extremo. Se o problema tiver múltiplas soluções óptimas, pelo menos duas delas são pontos extremos. 27 O modelo de PL: Assunções Assunção da proporcionalidade (função objectivo e restrições funcionais) A contribuição de cada actividade para o valor da função objectivo Z é proporcional ao nível da actividade x j, tal como é representada pelo termo c j x j na função objectivo. De forma semelhante, a contribuição de cada actividade para o membro esquerdo de cada restrição funcional é proporcional ao nível da actividade x j, tal como é representada pelo termo a ij x j na restrição

15 O modelo de PL: Assunções Assunção da aditividade Todas as funções de um modelo de programação linear (seja a função objectivo ou a função constante no membro esquerdo de uma restrição funcional) é a soma das contribuições individuais das respectivas actividades. 29 O modelo de PL: Assunções Assunção da divisibilidade (está relacionada com os valores permitidos para as variáveis de decisão) As variáveis de decisão podem tomar num problema de programação linear podem tomar qualquer valor incluindo valores não inteiros, que satisfaçam as restrições funcionais e as restrições de não negatividade. Assunção da certeza (está relacionada com os parâmetros do modelo, designadamente, com os coeficientes da função objectivo c j, os coeficientes das restrições funcionais a ij, e com os termos independentes das restrições funcionais b i ) Assume-se que o valor atribuído a cada parâmetro de um problema de programação linear é uma constante conhecida

16 O modelo de PL: Assunções As assunções em perspectiva Um modelo matemático é uma representação simplificada de um problema real. Valores aproximados e assunções simplificativas são geralmente requeridas para se obter um modelo tratável. Adicionar demasiados pormenores e precisão pode tornar o modelo demasiado complexo para permitir uma análise útil do problema. Tudo o que é realmente necessário é que exista uma alta correlação entre a predição do modelo e o que deverá efectivamente ocorrer no problema real. É muito comum em aplicações reais de programação linear que quase nenhuma das quatro assunções seja completamente cumprida. Exceptuando talvez a assunção da divisibilidade, podem encontrar-se pequenas disparidades. Isto é especialmente verdade para a assunção da certeza, pelo que a análise de sensibilidade normalmente compensa a violação desta assunção. 31 Formular e resolver problemas de PL com o Excel Formular e resolver o exemplo da Wyndor Glass Co. LP no Excel Nota: Existe um solver grátis para o Excel 2011 para Mac. Pode ser descarregado da página da Frontline Solvers:

17 Formular e resolver problemas de PL com o Excel 33 Formular e resolver problemas de PL com o Excel 34 17

18 Formular e resolver problemas de PL com o Excel 35 Formular e resolver problemas de PL com o Excel 36 18

19 Formular e resolver problemas de PL com o Excel 37 Formular e resolver problemas de PL com o Excel 38 19

20 Formular e resolver problemas de PL com o Excel 39 Formular e resolver problemas de PL com o Excel 40 20

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