Manuela Magalhães Hill Mariana Marques dos Santos VOL. INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL PROGRAMAÇÃO LINEAR EDIÇÕES SÍLABO

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1 Manuela Magalhães Hill Mariana Marques dos Santos VOL. 1 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL PROGRAMAÇÃO LINEAR EDIÇÕES SÍLABO

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3 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL PROGRAMAÇÃO LINEAR Manuela Magalhães Hill Mariana Marques dos Santos 3ª Edição Revista e Corrigida EDIÇÕES SÍLABO

4 É expressamente proibido reproduzir, no todo ou em parte, sob qualquer meio ou forma, nomeadamente FOTOCÓPIA, esta obra. As transgressões serão passíveis das penalizações previstas na legislação em vigor. Visite a Sílabo na rede: FICHA TÉCNICA Título: Investigação Operacional Vol. 1 Programação Linear Autoras: Manuela Magalhães Hill, Mariana Marques dos Santos Belmar da Edições Sílabo e autoras Capa: Pedro Mota 1ª Edição Lisboa, Setembro de ª Edição Lisboa, Setembro de Impressão e acabamentos: Europress, Lda. Depósito legal: /15 ISBN: EDIÇÕES SÍLABO, LDA R. Cidade de Manchester, Lisboa Telf: Fax: silabo@silabo.pt

5 Índice Prefácio 13 Capítulo 1 Introdução 1. Os modelos de programação linear e a investigação operacional O problema de programação linear O problema de programação linear em substituição da análise intuitiva O problema de programação linear e a definição do objectivo Aspectos a considerar na análise, resolução e implementação de um processo de decisão A escolha da abordagem A formulação do problema A resolução do problema A tomada de decisão A análise pós-optimal Conclusão 29

6 Capítulo 2 O modelo geral de programação linear 1. A representação matemática de um problema de programação linear A formulação de uma situação real A análise do processo de formulação Os problemas standard do tipo máximo e do tipo mínimo A representação dos modelos na forma matricial As hipóteses que assistem ao modelo geral de programação linear Proporcionalidade Divisibilidade Não negatividade Aditividade Linearidade da função objectivo 55 Capítulo 3 Formulação 1. Casos práticos de formulação Problemas tipo Problema de produção geral Problema de produção sequencial Problema da mochila Problema de misturas ou de dietas Problema de trim-loss Problema de Investimentos Problema de transportes problema de transexpedição Problema de afectação 112 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 115

7 Capítulo 4 Resolução gráfica 1. Resolução gráfica de um problema standard tipo máximo Resolução gráfica de um problema standard do tipo mínimo Resolução gráfica de um problema misto Problema original Problema revisto A representação gráfica de uma solução múltipla Problema original Problema revisto 143 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 146 Capítulo 5 Resolução pelo algoritmo do simplex e sua interpretação económica 1. O algoritmo Formulação Resolução gráfica Forma canónica Quadro inicial do simplex Melhoria da solução Teste de optimalidade Melhoria da solução Novo teste de optimalidade 164

8 2. A interpretação do algoritmo do simplex Forma canónica Algoritmo do simplex 179 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 199 Capítulo 6 Casos especiais 1. Solução degenerada Solução óptima múltipla Solução ilimitada 218 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 222 Capítulo 7 Resolução de problemas com variáveis artificiais 1. O método do grande M ou das penalidades O método das duas fases Casos práticos Problema de maximização Problema de minimização 259 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 264 Capítulo 8 Dualidade 1. O problema dual Os preços sombra As funções objectivo primal e dual 276

9 1.3. Os custos reduzidos Conclusão da apresentação do problema dual Relações entre uma formulação primal e o seu dual Regras de transformação primal-dual Os procedimentos matemáticos de transformação de problemas Relações entre uma solução primal e o seu dual Importância da dualidade A questão da dualidade na noção de valor Casos práticos de dualidade Problema standard do tipo máximo Problema standard do tipo mínimo Problema misto 308 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 312 Capítulo 9 Relações primal-dual 1. Introdução Relações primal-dual Análise da solução óptima Relações primal-dual Relações de complementaridade Apresentação e cálculo das relações de complementaridade Interpretação económica das relações de complementaridade Caso prático de aplicação das relações primal-dual O problema Formulação Quadro inicial do simplex 342

10 4.4. Resolução gráfica A solução óptima, obtida com base nas relações primal-dual Interpretação das relações de complementaridade 347 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 354 Capítulo 10 Análise de sensibilidade e de variação 1. Análise de sensibilidade Introdução Análise de sensibilidade para os coeficientes da função objectivo original Análise de sensibilidade para os lados direitos das restrições originais Análise de sensibilidade para os coeficientes técnicos das restrições originais Análise de variação Variação dos coeficientes da função objectivo Variação dos lados direitos das restrições Variação dos coeficientes técnicos Casos práticos de análise pós-optimal Problema de maximização Problema de minimização Conclusões 421 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 422

11 Capítulo 11 Análise de outputs 1. Introdução Exemplo de produção O problema O output A interpretação da solução óptima Análise pós-optimal Exemplo de comercialização O problema O output Interpretação da solução óptima Análise pós-optimal O quadro final do simplex Exemplo de minimização de custos O problema A formulação O output A interpretação da solução óptima Os intervalos de sensibilidade 462 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 466 Capítulo 12 Caso prático de programação linear 1. A situação Formulação do problema Resolução gráfica do problema Resolução pelo algoritmo do simplex Apresentação do problema dual 489

12 1.5. Análise e interpretação do problema dual Interpretação do quadro óptimo do simplex Aplicação das relações primal-dual Análise de sensibilidade para os termos independentes das restrições Análise de sensibilidade para um coeficiente original da função objectivo Análise de variação considerando a solução óptima apresentada no quadro do simplex Análise do output que traduz a solução do problema 518 Exercícios propostos (saídos em exames) 519 Bibliografia 527

13 Prefácio Os desenvolvimentos ocorridos nas últimas décadas na área dos métodos quantitativos aplicados à tomada de decisão, resultantes da revolução informática, fizeram com que no dia a dia de muitas organizações a Investigação Operacional se tenha tornado de extrema utilidade. Uma das áreas onde o impacto se tornou mais notório foi na área da Programação Linear onde os modelos desenvolvidos procuram encontrar a melhor solução para um problema que envolva utilizações alternativas e competitivas com recursos limitados. Este livro resulta da experiência das autoras no ensino da Investigação Operacional nas licenciaturas em Gestão no ISCTE e foi escrito para dois tipos de leitores. O primeiro, é o gestor ou executivo que precisa de melhorar a sua agilidade para reconhecer e formular quantitativamente problemas práticos de programação linear, bem como interpretar os resultados obtidos sem se sentir perdido com o suporte matemático. O segundo, é o gestor de amanhã, ou seja, o jovem aluno de uma licenciatura em Gestão, Economia ou Matemática que pretende ter uma visão aplicada da Investigação Operacional e uma compreensão da utilidade prática que os modelos de programação linear têm na tomada de decisão. É nosso objectivo contribuir para uma melhor compreensão do tema apresentando uma abordagem interpretativa dos modelos de programação linear por forma a colmatar a lacuna existente entre uma visão matemática (de difícil leitura por parte dos gestores) e uma abordagem demasiado introdutória e superficial que não foca todas as virtudes técnicas dos modelos. Esperamos assim que este livro tenha valor prático tanto para os alunos como para os gestores. Para isso tentámos enfatizar três aspectos essenciais: formulação de problemas, interpretação económica dos passos para a sua resolução e análises subsequentes à obtenção da solução. Parte dos exercícios apresentados no fim de cada capítulo foram seleccionados de testes e exames finais em Escolas Superiores e procuram fazer 13

14 uma síntese dos conhecimentos adquiridos ao longo do livro. A sua resolução será objecto de volume separado. Antes de terminar queremos deixar aqui expresso aos nossos alunos e aos colegas da equipa de Investigação Operacional o nosso profundo obrigada pela inspiração e apoio que nos deram durante a elaboração do livro. Uma palavra de agradecimento especial à colega Anabela Costa que se prontificou a ajudar-nos na dura tarefa da revisão do texto da primeira edição. Às colegas Ana Líbano Monteiro e Maria João Lopes um reconhecimento muito particular pelos contributos válidos na revisão do texto desta segunda edição. Contudo, quaisquer erros que o leitor possa encontrar são inteiramente da nossa responsabilidade e não deles. As autoras 14

15 1 Introdução INTRODUÇÃO

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17 INTRODUÇÃO OS MODELOS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR E A INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL A Investigação Operacional traduz o estudo e desenvolvimento de modelos de optimização que servem de apoio à tomada de decisão. Dentro do universo alargado de modelos de optimização, existe um grupo específico de modelos de gestão, designados por modelos de Programação Matemática, que permitem determinar em que condições se pode maximizar ou minimizar um dado objectivo dada a existência de um conjunto de limitações. Os modelos de Programação Matemática incluem por sua vez quer os modelos de Programação Linear, quer os modelos de Programação Não Linear. A presente publicação trata apenas de modelos de Programação Linear (PL). Estes modelos são os mais simples e constituem a base fundamental da Investigação Operacional, sendo ainda os mais largamente aplicados em matérias de gestão. A simplicidade dos modelos de Programação Linear deve-se principalmente aos seguintes aspectos: tal como o nome o indica, qualquer expressão matemática utilizada nestes modelos é linear. estes modelos são determinísticos, ou seja, traduzem uma realidade clara e única, não deixando margem para aproximações, estimativas, valores esperados ou probabilidades de ocorrência. Se por um lado o facto de ser um modelo linear conduz à criação de um modelo menos complexo, por outro pode-se afirmar que poderá eventualmente traduzir um maior desafio ao nível da sua construção, pois a codificação de uma realidade que pode ser deveras complexa, terá neste caso de se traduzir em simples equações lineares. Paralelamente, estes modelos permitem a introdução de incerteza após obtida a solução óptima, podendo testar-se o seu efeito sobre os resultados encontrados, através de uma análise de sensibilidade. Esta técnica permite assim fazer simulações da realidade que acabam por dar resposta ao gestor ou técnico sobre o que acontecerá 17

18 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL se determinadas alterações ocorrerem. Optar por um modelo determinístico ou por um modelo dinâmico, e portanto mais complexo, dependerá da natureza do problema e duma análise custo-benefício das possíveis aproximações a utilizar. Deste modo, podemos afirmar que, se a Programação Linear é tão comumente aplicada, a sua utilidade prende-se com duas razões opostas. Por um lado, exige a representação «adaptada» da realidade, em modelos lineares e deterministicos; por outro, permite a obtenção de resultados que podem ser realisticamente implementados, desde que complementados com informações qualitativas e avaliações subjectivas que os possam enriquecer ou complementar. A larga aplicação da Programação Linear deve-se ao seu cariz prático. A gestão da produção é talvez o domínio dentro da gestão onde as aplicações da Programação Linear são mais numerosas. Contudo, tanto em marketing, na determinação de políticas de preços ou na afectação da força de vendas, como em finanças (escolha de programas de investimento), logística (gestão dos transportes) ou recursos humanos (afectação de pessoal), a Programação Linear é um auxiliar precioso para a determinação eficaz da solução que melhor satisfaz o objectivo ou os objectivos definidos inicialmente. O PROBLEMA DE PROGRAMAÇÃO LINEAR Em muitas situações da nossa actividade profissional, quer seja empresarial ou não, encontramo-nos perante a necessidade de atingir objectivos bem definidos. Porém, estes objectivos encontram-se geralmente condicionados a certas limitações, nomeadamente à disponibilidade dos recursos que estão ao nosso dispor para serem utilizados. 18

19 INTRODUÇÃO Por exemplo, Uma empresa que produz dois produtos distintos com lucros unitários diferentes está interessada em encontrar a combinação adequada de produção que lhe permita obter um lucro total tão grande quanto possível. Contudo, as quantidades a produzir de cada um dos produtos estão limitadas pela disponibilidade das matérias primas, pelo tempo diário de laboração da fábrica, pela capacidade do equipamento produtivo ou pela quantidade de mão-de-obra existente. Este tipo de situação é um problema clássico de Programação Linear. A sua resolução deverá pois passar pelo desenvolvimento de um processo adequado, que permita encontrar a solução de lucro máximo, de acordo com as preferências do gestor ou do accionista da empresa O PROBLEMA DE PROGRAMAÇÃO LINEAR EM SUBSTITUIÇÃO DA ANÁLISE INTUITIVA A maior parte dos problemas que surgem em ambientes de gestão tendem a ser resolvidos de modo intuitivo. Esta abordagem procura, quer na experiência passada, quer na discussão sobre considerações qualitativas, um indício dos resultados a que cada solução alternativa poderá eventualmente conduzir. Contudo, se perante situações simples a intuição pode funcionar bastante bem, ela tende a falhar quando a organização é de grande dimensão e o problema se apresenta mais complexo. Vejamos a seguinte situação: A empresa de aparelhos de ar condicionado Friar tem três fábricas instaladas em três cidades do país: Leiria, Setúbal e Viseu. Estas fábricas têm respectivamente 140, 120 e 50 aparelhos disponíveis para entrega. Os armazéns que procedem à distribuição dos aparelhos estão localizados em Lisboa, Aveiro e Beja, pelo que é necessário planear o seu transporte das fábricas para os armazéns. As encomendas em carteira de cada um dos armazéns são de 150, 100 e 60 aparelhos, respectivamente. Os custos de deslocação por aparelho transportado de cada fábrica para cada armazém, são dados na tabela que se segue: 19

20 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL CUSTO POR UNIDADE TRANSPORTADA DA FÁBRICA PARA O ARMAZÉM (u.m.) Fábricas Leiria Setúbal Viseu Necessidades dos armazéns Armazéns Lisboa Aveiro Beja Disponibilidades da fábrica Qual o melhor esquema de distribuição a adoptar pela empresa? Por exemplo, o custo de deslocação de um aparelho da fábrica de Setúbal para o armazém de Lisboa é de 3 u.m. Se forem transportadas 10 unidades, esse custo será igual a 30 u.m. Então, o encarregado da secção que tiver de planear o transporte dos aparelhos, pensará que a forma mais lógica de o fazer seja começar por escolher o percurso com o custo unitário mais baixo. Neste caso seria Setúbal Lisboa, cuja quantidade máxima que seria possível transportar se elevaria a 120 aparelhos (o número máximo de aparelhos disponível em Setúbal). Feito isto, ele iria de seguida escolher o percurso com o segundo custo mais baixo, que seria Leiria Aveiro, e colocaria 100 aparelhos nesse armazém, pois esta é a sua capacidade máxima. O percurso a considerar numa terceira escolha seria Setúbal Beja, mas como já nada se poderia transportar neste caminho, passar-se-ia para o percurso de custo mais baixo seguinte, ou seja Leiria Lisboa. Como Setúbal já tinha fornecido 120 unidades, seriam necessários apenas mais 30 aparelhos para satisfazer as necessidades de Lisboa, ficando a fábrica de Leiria com 10 aparelhos por distribuir. Seguindo este raciocínio, o esquema de distribuição que seria montado, tal como se apresenta de seguida, corresponderia a um custo total de transporte de 2730 u.m.: QUANTIDADES TRANSPORTADAS DA FÁBRICA PARA O ARMAZÉM Fábricas Leiria Setúbal Viseu Necessidades dos armazéns Armazéns Lisboa Aveiro Beja Disponibilidades da fábrica

21 INTRODUÇÃO Ora, este é um raciocínio perfeitamente lógico à primeira vista, mas na verdade é enganoso. Se analisarmos melhor a tabela, verificamos que este não é o percurso óptimo, pois consegue-se transportar todos os aparelhos, satisfazendo as necessidades dos armazéns, com um custo mínimo de u.m. Esse plano de distribuição óptimo, o qual se encontra com o apoio da programação linear, traduz o transporte das seguintes quantidades nos seguintes percursos indicados: QUANTIDADES TRANSPORTADAS DA FÁBRICA PARA O ARMAZÉM Fábricas Leiria Setúbal Viseu Necessidades dos armazéns Armazéns Lisboa Aveiro Beja Disponibilidades da fábrica Este exemplo leva-nos também a concluir que, quanto mais complexas as situações a estudar, mais difícil se torna encontrar a solução óptima sem o uso de um método adequado, como a Programação Linear O PROBLEMA DE PROGRAMAÇÃO LINEAR E A DEFINIÇÃO DO OBJECTIVO Vejamos outro exemplo que põe em destaque a necessidade de se definir com precisão as características que se pretende optimizar. A empresa Movex fabrica três modelos de estantes para escritório os modelos Artic, Baltic e Celtic para os quais utiliza três processos de fabrico os processos P, Q e R os quais não podem funcionar em simultâneo, por questões de logística. Os preços de venda das estantes são 70, 60 e 50 u.m., respectivamente. As capacidades de produção da fábrica são dadas na tabela que se apresenta de seguida: 21

22 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Processo de Fabrico P Q R Preço de venda (u.m.) Procura diária Estante Artic Estante Baltic Estante Celtic Custo de Produção / hora De acordo com a tabela anterior, podemos constatar que o processo P custa 100 u.m. por hora e produz duas estantes Artic e duas Baltic. Por outro lado, também podemos concluir que o máximo número de estantes Artic que a empresa pode vender por dia são 7, sendo as Baltic 10 e as Celtic 6. O dono da empresa está interessado em conhecer qual o melhor modo de utilizar as linhas de fabrico disponíveis por forma a satisfazer as necessidades do mercado. Do quadro ressalta que bastaria utilizar uma hora diária do processo P, outra do processo Q e quatro horas do processo R. O custo total seria então de 1080 u.m. por dia e o correspondente valor de venda seria de 1390 u.m., conduzindo a um lucro de 310 u.m. Contudo, é natural que seja pretensão do dono da empresa, não só satisfazer as encomendas mas obter com isso o máximo lucro possível tendo em atenção as restrições de produção. Neste caso, a utilização de apenas 3 horas do processo R e duas do processo P custariam 800 contos, mas trariam um lucro de 440 u.m., pois as estantes seriam vendidas por 1240 u.m. A produção diária de estantes tipo Artic, Baltic e Celtic seria respectivamente de 7, 10 e 3, pelo que embora o lucro fosse superior, as necessidades não seriam totalmente satisfeitas. Encontramos pois duas soluções possíveis para este problema, as quais satisfazem objectivos diferentes. Assim, convém definir de forma muito consciente aquilo que se pretende atingir com uma eventual decisão, para que a resolução do problema sirva eficazmente os objectivos reais da situação a analisar. Adicionalmente, podemos observar com este exemplo que a própria definição do contexto de decisão também afecta o nível de adequação do objectivo que se pretende atingir. A inclusão de mais restrições a este problema, como por exemplo o limite de matéria prima disponível e o número de trabalhadores necessários, dificultaria de certa forma a conclusão sobre o tipo de solução ideal e criaria com certeza a necessidade de contar com estes factores no tipo de objectivo a definir. 22

23 INTRODUÇÃO ASPECTOS A CONSIDERAR NA ANÁLISE, RESOLUÇÃO E IMPLEMENTAÇÃO DE UM PROCESSO DE DECISÃO 3.1. A ESCOLHA DA ABORDAGEM A escolha de um determinado modelo pode ditar o sucesso ou insucesso de uma análise considerando que um modelo matemático traduz sempre uma representação simplificada da realidade, e que quanto mais esse modelo se aproximar dessa realidade maior a sua aplicabilidade prática e real. Assim, é nesta fase que se deverão visualizar e antecipar as limitações da futura aplicação de cada um dos modelos alternativos, incluindo a interpretação e implementação dos resultados a que os mesmos nos permitam chegar. Posto isto e, numa tentativa de sistematização dos aspectos a considerar na selecção da abordagem mais adequada de uma determinada situação, conclui-se que se deve ter em atenção: a adequabilidade da situação ao algoritmo a utilizar, ou seja, o nível de simplificação ou de alteração das informações recolhidas que o algoritmo exigir para que possa ser aplicado; a adequabilidade do algoritmo a utilizar em termos da sua eficiência, ou seja, o nível de esforço ou trabalho que este exigirá face à precisão ou rigôr dos resultados obtidos; a adequabilidade do algoritmo a utilizar em termos da sua eficácia, ou seja, a sua maior ou menor aproximação à solução ou informação que realmente se pretende obter; a aplicabilidade dos resultados obtidos à realidade estudada, nomeadamente em termos de descodificação da solução óptima e forma como esta deverá ser interpretada e posteriormente implementada. 23

24 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 3.2. A FORMULAÇÃO DO PROBLEMA Quando nos encontramos perante um problema de decisão é necessário descrevê-lo através de expressões matemáticas, de forma tão exaustiva e fidedigna quanto possível. Assim, formular um problema não é mais do que representar em termos matemáticos os aspectos que traduzem a situação real que se pretende estudar: a especificação do objectivo com base no qual se pretende tomar a decisão; a definição clara do critério de decisão ou medidas de avaliação da grandeza em que o objectivo é definido; a descrição de todas as limitações, regras e/ou condições que definem a realidade em causa. Uma mesma realidade pode ser codificada de diferentes formas, sendo que tudo começa na definição do objectivo e posteriormente das variáveis de decisão, ou seja aquelas que são controláveis ou manipuláveis pelo decisor no sentido da obtenção de um determinado resultado. Assim, vejamos dois exemplos em que uma situação real poderá ser tratada de forma diversa. A DEFINIÇÃO DO OBJECTIVO Num problema de optimização dos resultados de exploração de uma unidade produtiva, podemos considerar alternativamente quer o objectivo de minimização dos custos das operações quer o objectivo de maximização dos lucros. Esta segunda grandeza é muito mais abrangente que a primeira mas poderá ser equivalente à primeira, em determinadas situações. Se o decisor optar por uma abordagem de maximização dos lucros, ele poderá querer garantir um limite máximo de custos de produção, bem como, que a produção, e consequentemente, as vendas estejam a ser devidamente limitadas pela garantia da utilização restrita dos recursos produtivos existentes. Se o decisor considerar seu objectivo a minimização dos custos, ele poderá exigir como condição que as margens de exploração tenham um valor mínimo garantido. Adicionalmente, neste contexto de minimização de custos de produção, o decisor deve partir do princípio que está perante uma situação de produção óptima, garantindo assim que 24

25 MANUELA MAGALHÃES HILL licenciou-se em Matemática Aplicada pela Faculdade de Ciências de Lisboa, frequentou o curso de pós-graduação em Matemática Aplicada à Investigação Operacional da Fundação Calouste Gulbenkian e, em 1987, doutorou-se em Economia (Universidade de Keele, R. U.). Actualmente é Professora Catedrática no Departamento de Métodos Quantitativos do ISCTE onde coordena o mestrado em Prospecção e Análise de Dados e lecciona nas licenciaturas e mestrados em Gestão de Empresas e Economia. Tem coordenado e participado em vários projectos de investigação na especialização de métodos estatísticos e econométricos aplicados às Ciências Sociais. De 1972 a 1988 acumulou as funções docentes com as de técnica no Gabinete de Estudos e Planeamento do Ministério da Educação. MARIANA MARQUES DOS SANTOS BELMAR DA COSTA é licenciada em Gestão de Empresas pela Universidade Católica Portuguesa e detém um MBA pelo INSEAD (Fontainebleau), tendo também frequentado o mesmo programa em Kellogg Northwestern University, em Chicago. De 1989 a 2006, afecta ao Departamento de Métodos Quantitativos, foi docente universitária no ISCTE. A par das actividades académicas, desenvolveu uma carreira empresarial ligada a diversas áreas e funções. Começando por colaborar com uma instituição financeira internacional na área de gestão de carteiras de títulos, ingressou depois numa equipa de capital de risco, onde foi analista de projectos, noutra instituição financeira nacional. Foi também consultora em Madrid, numa empresa multinacional, estando associada a diversos projectos entre os quais o lançamento da sucursal portuguesa. Assumiu de seguida uma sucessão de pelouros internacionais, dentro de um grupo de empresas na área da construção e engenharia civil, nomeadamente em Moçambique e na Alemanha, gerindo projectos em diversas áreas como a alimentar ou a produção e distribuição de materiais de construção. Finalmente, iniciou um projecto empresarial próprio na área do comércio internacional de medicamentos, ao qual se dedica actualmente. Esta obra resulta da experiência das autoras no ensino da Investigação Operacional e pretende ser um contributo útil para iniciar ou consolidar os conhecimentos nesta área. Destina-se quer aos estudantes das licenciaturas em Gestão, Economia, Matemática, Engenharia ou alunos de pós-graduação e mestrados, quer a todos aqueles que na sua vida profissional necessitam de ter uma visão prática da Programação Linear. Ao longo do livro previligia-se a resolução de problemas concretos, sua interpretação e análise de outputs relativamente às técnicas matemáticas necessárias à sua obtenção. Numa linguagem simples, a exposição teórica apresentada é sempre acompanhada com exemplos práticos ilustrativos. O último capítulo é dedicado ao estudo completo de um caso que sintetiza todos os conhecimentos transmitidos e permite uma visão completa das potencialidades da Programação Linear como ferramenta auxiliar à tomada de decisão. 220 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Vol. 1 Programação Linear Vol. 2 Exercícios de Programação Linear Vol. 3 Transportes, Afectação e Optimização em redes ISBN