PROGRAMAÇÃO LINEAR 1. A TEORIA DA PROGRAMAÇÃO LINEAR 2. MÉTODO GRÁFICO 3. MÉTODO SIMPLEX 4. ANÁLIDE DE SENSIBILIDADE 5. APLICAÇÕES

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA - UFBA ESCOLA POLITÉCNICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA DEM CURSO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO PROGRAMAÇÃO LINEAR PESQUISA OPERACIONAL PARTE II 1. A TEORIA DA PROGRAMAÇÃO LINEAR 2. MÉTODO GRÁFICO 3. MÉTODO SIMPLEX 4. ANÁLIDE DE SENSIBILIDADE 5. APLICAÇÕES ADONIAS MAGDIEL SILVA FERREIRA, 18/05/2010 A TÉCNICA DA PROGRAMAÇÃO LINEAR A TEORIA DA PROGRAMAÇÃO LINEAR OBJETIVO GERAL: Encontrar a melhor distribuição possível dos recursos escassos entre as diversas atividades ou tarefas, de modo a alcançar um valor ótimo do objetivo estabelecido (Andrade, 2009). CARACTERÍSTICAS: 1. Existência de um OBJETIVO que possa ser explicitado em termos das variáveis de decisão do problema Kantorovich 1939, Algoritmo Antecedente: Fourier George Dantzig 1940, Simplex Problema da dieta Charles Koopmans 1975, Nobel Academia Real de Ciência 2. Existência de RESTRIÇÕES à aplicação dos recursos, tanto na disponibilidade quanto no modo de utilização MODELAGEM DE PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR DEFINIÇÃO DAS VARIÁVEIS O que queremos saber? RELAÇÕES MATEMÁTICAS DAS RESTRIÇÕES A que condições devemos obedecer? EQUAÇÃO DA FUNÇÃO OBJETIVO Como o objetivo pode ser escrito em termos das variáveis? MODELO COMPLETO MODELAGEM DE PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR Solução Qualquer especificação de valores para variáveis de decisão. Solução Viável Uma solução em que todas as restrições são satisfeitas. Solução Ótima Uma solução viável que tem o valor mais favoráveis da funçãoobjetivo. 1

2 MODELAGEM DE PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR - HIPÓTESES Proporcionalidade - O valor da função-objetivo é diretamente proporcional ao nível de atividade de cada variável de decisão. Aditividade - Considera as atividades (variáveis de decisão) do modelo como entidades totalmente independentes, não permitindo que haja interdependência entre as mesmas. Divisibilidade - Assume que todas as unidades de atividade possam ser divididas em qualquer nível fracional. Certeza - Assume que todos os parâmetros do modelo são constantes conhecidas. PROPOSIÇÃO: Uma refinaria produz três tipos de gasolina: verde, azul e comum. Cada tipo requer gasolina pura, octana e aditivo que estão disponíveis nas quantidades de , e litros por semana, respectivamente. As especificações de cada tipo são: um litro de gasolina verde requer 0,22 litro de gasolina pura, 0,50 litro de octana e 0,28 litro de aditivo; um litro de gasolina azul requer 0,52 litro de gasolina pura, 0,34 litro de octana e 0,14 litro de aditivo; um litro de gasolina comum requer 0,74 litro de gasolina pura, 0,20 litro de octana e 0,06 litro de aditivo. Como regra de produção, com base na demanda de mercado, o planejamento da refinaria estipulou que a quantidade de gasolina comum deve ser no mínimo igual a 16 vezes a quantidade de gasolina verde, e que a quantidade de gasolina azul seja no máximo igual a litros por semana. A empresa sabe que cada litro de gasolina verde, azul e comum dá uma margem de contribuição para o lucro de $ 0,30, $ 0,25 e $ 0,20, respectivamente, e seu objetivo é determinar o programa de produção que maximiza a margem total de contribuição para o lucro. PROBLEMA-PROTÓTIPO * : Uma pequena fábrica produz: PROD. 1 e PROD.2 Limites de capacidade de fabricação: DEPARTAMENTO A: 160 Homens-horas/semana disponível DEPARTAMENTO B: 120 Homens-horas/semana disponível DEPARTAMENTO C: 280 Homens-horas/semana disponível Tempo de fabricação em horas: PROD.1: 2h depto A, 1h depto B e 4h depto C PROD. 2: 2h depto A, 2h depto B e 2h depto C MARGENS UNITÁRIAS: PROD.1 = $ 1,00 PROD.2 = $ 1,50 OBJETIVO: Calcular quanto produzir de cada produto para maximizar a margem de contribuição total. * Extraído do Livro Pesquisa Operacional Uma abordagem básica, cap. 10. Autores: James E. Shamblin, G.T. Stevens Jr. 1 a Edição MODELO COMPLETO: MAXIMIZAR L = 1 x 1 + 1,5 x 2 LUCRO PROD.1 LUCRO DO PROD.2 sujeito a: 2 x x DEPARTAMENTO A DISPONIBILIDADE 1 x x DEPARTAMENTO B DISPONIBILIDADE 4 x x DEPARTAMENTO C DISPONIBILIDADE com x 1 e x 2 0 1) Uma marcenaria deseja estabelecer uma programação diária de produção. Atualmente, a oficina faz apenas dois produtos: mesa e armário, ambos de um só modelo. Para efeito de simplificação, vamos considerar que a marcenaria tem limitações em somente dois recursos: madeira e mão-deobra, cujas disponibilidades diárias são mostradas na tabela a seguir. Recurso Disponibilidade Madeira 12m 2 Mão-de-obra 8 H.h O processo de produção é tal que, para fazer uma mesa a fábrica gasta 2 m 2 de madeira e 2 H.h de mão-de-obra. Para fazer um armário, a fábrica gasta 3 m 2 de madeira e 1 H.h de mão de obra. Além disso, o fabricante sabe que cada mesa dá uma margem de contribuição para o lucro de $ 4 e cada armário de $ 1. O problema é encontrar o programa de produção que maximiza a margem de contribuição total para o lucro. 2) Uma pequena metalúrgica deseja maximizar sua receita com a venda de dois tipos de finas fitas de aço que se diferenciam em qualidade no acabamento de corte. As fitas são produzidas a partir do corte de bobinas de grande largura. Existem duas máquina em operação. Uma das máquinas é mais antiga e permite o corte diário de 4000 m de fita. A outra, mais nova, corta 6000 m. A venda das chapas no mercado varia com a qualidade de cada uma. Fitas produzidas na máquina antiga permitem um lucro de 3 u.m. por mil metros de produção. Fitas cortadas na máquina moderna produzem um lucro de 5 u.m. por mil metros de produção. Cada mil metro de fita cortada na máquina antiga consome 3 homens X hora de mão-de-obra. Na máquina moderna são gastos apenas 2 homens X hora. Diariamente são disponíveis 18 homens X hora para operação de ambas as máquinas. Determinar a produção que otimiza o lucro da metalúrgica. 2

3 3) Um fabricante de móveis fornece os seguintes produtos: mesas, armários e cadeiras. A fabricação de cada tipo de produto requer chapas de mogno e dois tipos de mão de obra, uma para acabamento e outra para carpintaria. A quantidade de recursos para cada tipo de produto é dada na tabela abaixo. Recurso Armário Mesa Cadeira Disponibilidade Mogno 8 m 2 6 m 2 1 m 2 30 m 2 Horas de 4 2 1,5 10 acabamento Horas de carpintaria 2 1,5 0,5 10 Sendo que cada mesa, armário e cadeira dão um lucro de 3, 4 e 5 u.m. Formular o modelo matemático para maximizar seu lucro semanal. 4) Giapetto fabrica dois tipos de brinquedos de madeira: soldados e trens. Um soldado é vendido por 27 u.m. e usa 10 u.m de matéria prima. Cada soldado que é fabricado tem um custo adicional de 14 u.m. relativo a mão de obra. Um trem é vendido por 21 u.m. e gasta 9 u.m. de matéria prima. O custo de mão de obra adicional para cada trem é de 10 u.m.. A fabricação destes brinquedos requer dois tipos de mão de obra: carpintaria e acabamento. Um soldado necessita de 2 horas para acabamento e 1 de carpintaria. Um trem necessita de 1 hora para acabamento e 1 hora de carpintaria. Cada semana, Giapetto pode obter qualquer quantidade de matéria prima, mas tem a disposição até 100 horas de acabamento e 80 de carpintaria. A demanda por trens é ilimitada, mas a venda de soldados é de no máximo 40 por semana. Giapetto que maximizar seu lucro diário (receitas-custos). Formular o modelo matemático que poderá ser usado por Giapetto para maximizar seu lucro semanal. MÉTODO GRÁFICO MÉTODO GRÁFICO PROD Payoff: 1.0 PROD PROD2 = : 4.0 PROD PROD2 = : 1.0 PROD PROD2 = : 2.0 PROD PROD2 = Optimal Decisions(PROD1,PROD2): (40.0, 40.0) (60.0, 20.0) : 2.0PROD PROD2 <= : 1.0PROD PROD2 <= : 4.0PROD PROD2 <= MÉTODO SIMPLEX PASSO 1: Introdução das variáveis de folga PASSO 2: Montagem do quadro de coeficientes, incluindo-se a função objetivo com os sinais trocados PASSO 3: Criação da solução básica inicial, geralmente atribuindo-se valor 0 às variáveis originais PASSO 4: Variável que entra na base: A. Aquela que tem o maior valor negativo na linha da função objetivo transformada B. Quando não houver mais coeficiente negativo na linha da função objetivo, a solução encontrada é ótima. PASSO 5: Variável que sai da base: A. Dividir os termos independentes pelos respectivos coeficientes positivos da variável que entra. B. O menor quociente indica, pela equação em que ocorreu, a variável que deve sair da base. PASSO 6: Transformar a matriz, encontrando-se a nova base. QUADRO FINAL Para U 1 = 1 temos: X 1 = -1 X 2 = 1/2 U 3 = 3 BASE X 1 X 2 U 1 U 2 U 3 b X X / U Z 0 0-1/4 1/ Z = 1/4 Coeficientes de U 1 com os sinais trocados Coeficientes de X 5 com os sinais trocados Para U 2 = 1 temos: X 1 = 1 X 2 = -1 U 3 = 2 Z = 1/2 3

4 Problema Primal: MÉTODO DUAL Maximizar Z = n c sujeito a: j x j j=1 para i = 1, 2,..., m n a ij x j b i com: j=1 x j 0 para j = 1, 2,..., n (X 1, X 2, U 1, U 2, U 3, Z) = (40; 40; 0,25; 0,50; 40; 100) Problema Dual: Minimizar z = m b i y i sujeito a: i=1 para j = 1, 2,..., n m a ij y i c com: i=1 y j 0 para i = 1, 2,..., m (Y 1, Y 2, Y 3, W 1, W 2, Z) = (0,25; 0,50; 40; 40; 40; 100) 4

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7 Microsoft Excel 12.0 Relatório de resposta Planilha: [Problema_UFBA_Politécnica.xls]Plan1 Relatório criado: 17/5/201016:33:30 Célula de destino (Máx) Célula Nome Valor original Valor final $D$8 Coeficientes Maximizar Células ajustáveis Célula Nome Valor original Valor final $B$5 SOLUÇÃO X $C$5 SOLUÇÃO X Restrições Célula Nome Valor da célula Fórmula Status Transigência $D$11 Coeficientes 1 Equação 160 $D$11<=$F$11 Agrupar 0 $D$12 Coeficientes 2 Equação 120 $D$12<=$F$12 Agrupar 0 $D$13 Coeficientes 3 Equação 240 $D$13<=$F$13 Sem agrupar 40 Microsoft Excel 12.0 Relatório de limites Planilha: [Problema_UFBA_Politécnica.xls]Relatório de limites 1 Relatório criado: 17/5/ :33:31 Microsoft Excel 12.0 Relatório de sensibilidade Planilha: [Problema_UFBA_Politécnica.xls]Plan1 Relatório criado: 17/5/ :33:30 Destino Célula Nome Valor $D$8 Coeficientes Maximizar 100 Ajustável Inferior Destino Superior Destino Célula Nome Valor Limite Resultado Limite Resultado $B$5 SOLUÇÃO X $C$5 SOLUÇÃO X Células ajustáveis Final Reduzido Objetivo Permissível Permissível Célula Nome Valor Custo Coeficiente Acréscimo Decréscimo $B$5 SOLUÇÃO X ,5 0,25 $C$5 SOLUÇÃO X ,5 0,5 0,5 Restrições Final Sombra Restrição Permissível Permissível Célula Nome Valor Preço Lateral R.H. Acréscimo Decréscimo $D$11 Coeficientes 1 Equação 160 0, , $D$12 Coeficientes 2 Equação 120 0, $D$13 Coeficientes 3 Equação E

8 ESTUDO DE CASO 1: PROGRAMAÇÃO DA PRODUÇÃO DE MESA E ARMÁRIO MODELO: PROPOSIÇÃO: MAXIMIZAR L = 4 x x 2 Uma marcenaria produz: MESA e ARMÁRIO Usa dois recursos: MADEIRA, com disponibilidade igual a 12 m 2 MÃO-DE-OBRA, com disponibilidade igual a 8 H.h 1 MESA gasta: 2 m 2 de madeira e 2 H.h de mão-de-obra 1 ARMÁRIO gasta: 3 m 2 de madeira e 1 H.h de mão-de-obra MARGENS UNITÁRIAS: Mesa = $ 4 Armário = $ 1 OBJETIVO: Calcular quanto produzir de cada produto para maximizar a margem de contribuição total LUCRO DA MESA LUCRO DO ARMÁRIO sujeito a: 2 x x 2 12 UTILIZAÇÃO DE MADEIRA DISPONIBILIDADE 2 x x 2 8 UTILIZAÇÃO DE MÃO-DE-OBRA DISPONIBILIDADE com x 1 e x 2 0 ESTUDO DE CASO 2: PROBLEMA DE MISTURA PROPOSIÇÃO: Uma refinaria produz três tipos de gasolina: verde, azul e comum. Cada tipo requer gasolina pura, octana e aditivo que estão disponíveis nas quantidades de , e litros por semana, respectivamente. As especificações de cada tipo são: um litro de gasolina verde requer 0,22 litro de gasolina pura, 0,50 litro de octana e 0,28 litro de aditivo; um litro de gasolina azul requer 0,52 litro de gasolina pura, 0,34 litro de octana e 0,14 litro de aditivo; um litro de gasolina comum requer 0,74 litro de gasolina pura, 0,20 litro de octana e 0,06 litro de aditivo. Como regra de produção, com base na demanda de mercado, o planejamento da refinaria estipulou que a quantidade de gasolina comum deve ser no mínimo igual a 16 vezes a quantidade de gasolina verde, e que a quantidade de gasolina azul seja no máximo igual a litros por semana. A empresa sabe que cada litro de gasolina verde, azul e comum dá uma margem de contribuição para o lucro de $ 0,30, $ 0,25 e $ 0,20, respectivamente, e seu objetivo é determinar o programa de produção que maximiza a margem total de contribuição para o lucro. MODELO: DEFINIÇÃO DAS VARIÁVEIS: x 1 : quantidade de gasolina verde a produzir x 2 : quantidade de gasolina azul a produzir x 3 : quantidade de gasolina comum a produzir MODELO COMPLETO: Encontrar valores para x 1, x 2 e x 3 de modo a: MAXIMIZAR L = 0,30 x 1 + 0,25 x 2 + 0,20 x 3 respeitando as restrições: 0,22 x 1 + 0,52 x 2 + 0,74 x ,50 x 1 + 0,34 x 2 + 0,20 x ,28 x 1 + 0,14 x 2 + 0,06 x x 1 x 3 0 x x 1 0 x 2 0 x 3 0 ESTUDO DE CASO 3: PROGRAMAÇÃO DA PRODUÇÃO DE CIMENTO PROPOSIÇÃO: Processo simplificado de fabricação de cimento SILO E ENSACA- DEIRA PRÉ- HOMOGE- NEIZADOR BRITADOR JAZIDA PRODUTOS: MOINHO DE CRU E SILO DE FARINHA cimento portland 320: CP320 cimento alto-forno 250: AF250 FORNO DEPÓSITO DE CLÍNQUER ADITIVO GESSO ESCÓRIA DE ALTO-FORNO MOINHO DE CIMENTO FÓRMULA DE FABRICAÇÃO: AF250 CP320 COMPONENTES CP 320 AF 250 Cínquer 85% 50% Escória de Alto-Forno 7% 45% Gesso 3% 3% Aditivo 5% 2% DADOS COMPLEMENTARES: LIMITAÇÕES: Produção de clínquer: t/ano Produção dos dois tipos de cimento: t/ano Venda de clínquer a outros fabricantes de cimento: máximo de t/ano Compra de escória de usinas siderúrgicas: máximo de t/ano Compra de gesso e aditivo (cada um): máximo de t/ano CONTRIBUIÇÕES MARGINAIS E PREÇOS: contribuição marginaldo CP320: $ 41,00/t contribuição marginaldo AF250: $ 37,80/t contribuição marginaldo clínquer: $ 34,40/t preço da escória de siderúrgica: $ 22,10/t preço do gesso: $ 34,20/t preço do aditivo: $ 1,90/t A contribuição marginal é calculada como a receita líquida menos os custos fixos e os custos variáveis, exceto escória, gesso e aditivo. O OBJETIVO DA EMPRESA É CALCULAR A PRODUÇÃO TOTAL ANUAL QUE MAXIMIZA O LUCRO TOTAL. 8

9 MODELO COMPLETO: Achar x 1, x 2 e x 3 de modo a: ESTUDO DE CASO 4: EXEMPLO DE UMA REDE DE TRANSPORTE ROTAS POSSÍVEIS MAXIMIZAR L = 38,33 x ,79 x ,40 x 3 sujeito a: x 1 + x x ,85 x 1 + 0,50 x 2 + x ,07 x 1 + 0,45 x ,03 x 1 + 0,03 x ,05 x 1 + 0,02 x x 1 0 x 2 0 x 3 0 FÁBRICA 1 FÁBRICA 2 FÁBRICA 3 DEPÓSITO 1 DEPÓSITO 2 DEPÓSITO 3 CAPACIDADE DE FORNECIMENTO FONTE 1 FONTE 2 EXEMPLO CUSTOS UNITÁRIOS DE TRANSPORTE DESTINO 1 DESTINO 2 DESTINO 3 CAPACIDADE DE ABSORÇÃO MODELO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR Minimizar Z = 10. x x x x x x 23 Sujeito às restrições: De capacidade das fontes: x 11 + x 12 + x 13 = 15 x 21 + x 22 + x 23 = 25 De absorção pelos destinos: x 11 + x 21 = 20 x 12 + x 22 = 10 x 13 + x 23 = 10 Com x 11, x 12, x 13, x 21, x 22 e x