Investigação Operacional

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1 Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores Investigação Operacional Recurso Duração: 2 horas Nome: Teórica Responda a cada afirmação com (V) Verdadeira ou (F) Falsa. Por cada alínea certa: +0.4 valores. Por cada alínea errada: -0.4 valores (a) Para resolver um problema de transportes pelo método u-v, a utilização da regra dos custos mínimos para a determinação da solução inicial (em vez da regra do canto NW) resulta sempre numa solução final com um custo mais baixo. (b) Na resolução de problemas de caminho mínimo pelo algoritmo de Dijkstra, a etiqueta definitiva de qualquer nó dá-nos a distância mínima desse nó ao nó final. (c) O número médio de clientes no sistema de uma Fila de Espera M/M/1 é proporcional à taxa de ocupação ρ. (d) No método CPM as folgas totais são sempre maiores ou iguais às folgas livres, mesmo que digam respeito a actividades do caminho crítico. (e) Em Teoria da Decisão, para o cálculo do Valor Esperado da Informação Perfeita assume-se que o futuro é conhecido e como tal as melhores decisões para cada um dos futuros possíveis podem ser conhecidas. Para as alíneas restantes considere que PL é um problema de Programação Linear, tendo A como conjunto das soluções admissíveis, e que PI é o problema de Programação Inteira associado (A restrito a variáveis inteiras). (f) Se x é uma solução óptima de PL então é um vértice de A, mesmo quando A é ilimitado. (g) Se A não é limitado então a solução do problema é impossível ou ilimitada. (h) Se PL tiver uma e uma só solução óptima x então é sempre possível modificar os coeficientes da função objectivo de PL de forma a que x ainda seja solução óptima. (i) Ao resolver PL pelo método simplex, as variáveis não básicas valem sempre zero, enquanto as variáveis básicas podem ou não valer zero. (j) Supondo x uma solução óptima e f(x ) o valor óptimo de PL (problema de maximização), então PI tem solução óptima e o seu valor é menor ou igual a f(x ). 1

2 Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores Investigação Operacional Recurso Duração: 2 horas Nome: Teórica Responda a cada afirmação com (V) Verdadeira ou (F) Falsa. Por cada alínea certa: +0.4 valores. Por cada alínea errada: -0.4 valores (a) Em Teoria da Decisão, para o cálculo do Valor Esperado da Informação Perfeita assume-se que o futuro é conhecido e como tal as melhores decisões para cada um dos futuros possíveis podem ser conhecidas. (b) Na resolução de problemas de caminho mínimo pelo algoritmo de Dijkstra, a etiqueta definitiva de qualquer nó dá-nos a distância mínima desse nó ao nó final. (c) Para resolver um problema de transportes pelo método u-v, a utilização da regra dos custos mínimos para a determinação da solução inicial (em vez da regra do canto NW) resulta sempre numa solução final com um custo mais baixo. (d) O número médio de clientes no sistema de uma Fila de Espera M/M/1 é proporcional à taxa de ocupação ρ. (e) No método CPM as folgas totais são sempre maiores ou iguais às folgas livres, mesmo que digam respeito a actividades do caminho crítico. Para as alíneas restantes considere que PL é um problema de Programação Linear, tendo A como conjunto das soluções admissíveis, e que PI é o problema de Programação Inteira associado (A restrito a variáveis inteiras). (f) Supondo x uma solução óptima e f(x ) o valor óptimo de PL (problema de maximização), então PI tem solução óptima e o seu valor é menor ou igual a f(x ). (g) Ao resolver PL pelo método simplex, as variáveis não básicas valem sempre zero, enquanto as variáveis básicas podem ou não valer zero. (h) Se A não é limitado então a solução do problema é impossível ou ilimitada. (i) Se PL tiver uma e uma só solução óptima x então é sempre possível modificar os coeficientes da função objectivo de PL de forma a que x ainda seja solução óptima. (j) Se x é uma solução óptima de PL então é um vértice de A, mesmo quando A é ilimitado. 2

3 Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores Investigação Operacional Recurso Duração: 2 horas Nome: Teórica Responda a cada afirmação com (V) Verdadeira ou (F) Falsa. Por cada alínea certa: +0.4 valores. Por cada alínea errada: -0.4 valores (a) No método CPM as folgas totais são sempre maiores ou iguais às folgas livres, mesmo que digam respeito a actividades do caminho crítico. (b) Na resolução de problemas de caminho mínimo pelo algoritmo de Dijkstra, a etiqueta definitiva de qualquer nó dá-nos a distância mínima desse nó ao nó final. (c) O número médio de clientes no sistema de uma Fila de Espera M/M/1 é proporcional à taxa de ocupação ρ. (d) Para resolver um problema de transportes pelo método u-v, a utilização da regra dos custos mínimos para a determinação da solução inicial (em vez da regra do canto NW) resulta sempre numa solução final com um custo mais baixo. (e) Em Teoria da Decisão, para o cálculo do Valor Esperado da Informação Perfeita assume-se que o futuro é conhecido e como tal as melhores decisões para cada um dos futuros possíveis podem ser conhecidas. Para as alíneas restantes considere que PL é um problema de Programação Linear, tendo A como conjunto das soluções admissíveis, e que PI é o problema de Programação Inteira associado (A restrito a variáveis inteiras). (f) Supondo x uma solução óptima e f(x ) o valor óptimo de PL (problema de maximização), então PI tem solução óptima e o seu valor é menor ou igual a f(x ). (g) Se PL tiver uma e uma só solução óptima x então é sempre possível modificar os coeficientes da função objectivo de PL de forma a que x ainda seja solução óptima. (h) Ao resolver PL pelo método simplex, as variáveis não básicas valem sempre zero, enquanto as variáveis básicas podem ou não valer zero. (i) Se x é uma solução óptima de PL então é um vértice de A, mesmo quando A é ilimitado. (j) Se A não é limitado então a solução do problema é impossível ou ilimitada. 3

4 Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores Investigação Operacional Recurso Duração: 2 horas Nome: Teórica Responda a cada afirmação com (V) Verdadeira ou (F) Falsa. Por cada alínea certa: +0.4 valores. Por cada alínea errada: -0.4 valores (a) O número médio de clientes no sistema de uma Fila de Espera M/M/1 é proporcional à taxa de ocupação ρ. (b) No método CPM as folgas totais são sempre maiores ou iguais às folgas livres, mesmo que digam respeito a actividades do caminho crítico. (c) Em Teoria da Decisão, para o cálculo do Valor Esperado da Informação Perfeita assume-se que o futuro é conhecido e como tal as melhores decisões para cada um dos futuros possíveis podem ser conhecidas. (d) Na resolução de problemas de caminho mínimo pelo algoritmo de Dijkstra, a etiqueta definitiva de qualquer nó dá-nos a distância mínima desse nó ao nó final. (e) Para resolver um problema de transportes pelo método u-v, a utilização da regra dos custos mínimos para a determinação da solução inicial (em vez da regra do canto NW) resulta sempre numa solução final com um custo mais baixo. Para as alíneas restantes considere que PL é um problema de Programação Linear, tendo A como conjunto das soluções admissíveis, e que PI é o problema de Programação Inteira associado (A restrito a variáveis inteiras). (f) Se PL tiver uma e uma só solução óptima x então é sempre possível modificar os coeficientes da função objectivo de PL de forma a que x ainda seja solução óptima. (g) Ao resolver PL pelo método simplex, as variáveis não básicas valem sempre zero, enquanto as variáveis básicas podem ou não valer zero. (h) Supondo x uma solução óptima e f(x ) o valor óptimo de PL (problema de maximização), então PI tem solução óptima e o seu valor é menor ou igual a f(x ). (i) Se A não é limitado então a solução do problema é impossível ou ilimitada. (j) Se x é uma solução óptima de PL então é um vértice de A, mesmo quando A é ilimitado. 4

5 Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores Investigação Operacional Recurso Duração: 2 horas Nome: Teórica Responda a cada afirmação com (V) Verdadeira ou (F) Falsa. Por cada alínea certa: +0.4 valores. Por cada alínea errada: -0.4 valores (a) Em Teoria da Decisão, para o cálculo do Valor Esperado da Informação Perfeita assume-se que o futuro é conhecido e como tal as melhores decisões para cada um dos futuros possíveis podem ser conhecidas. (b) Na resolução de problemas de caminho mínimo pelo algoritmo de Dijkstra, a etiqueta definitiva de qualquer nó dá-nos a distância mínima desse nó ao nó final. (c) Para resolver um problema de transportes pelo método u-v, a utilização da regra dos custos mínimos para a determinação da solução inicial (em vez da regra do canto NW) resulta sempre numa solução final com um custo mais baixo. (d) O número médio de clientes no sistema de uma Fila de Espera M/M/1 é proporcional à taxa de ocupação ρ. (e) No método CPM as folgas totais são sempre maiores ou iguais às folgas livres, mesmo que digam respeito a actividades do caminho crítico. Para as alíneas restantes considere que PL é um problema de Programação Linear, tendo A como conjunto das soluções admissíveis, e que PI é o problema de Programação Inteira associado (A restrito a variáveis inteiras). (f) Se A não é limitado então a solução do problema é impossível ou ilimitada. (g) Se PL tiver uma e uma só solução óptima x então é sempre possível modificar os coeficientes da função objectivo de PL de forma a que x ainda seja solução óptima. (h) Supondo x uma solução óptima e f(x ) o valor óptimo de PL (problema de maximização), então PI tem solução óptima e o seu valor é menor ou igual a f(x ). (i) Ao resolver PL pelo método simplex, as variáveis não básicas valem sempre zero, enquanto as variáveis básicas podem ou não valer zero. (j) Se x é uma solução óptima de PL então é um vértice de A, mesmo quando A é ilimitado. 5

6 Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores Investigação Operacional Recurso Duração: 2 horas Nome: Teórica Responda a cada afirmação com (V) Verdadeira ou (F) Falsa. Por cada alínea certa: +0.4 valores. Por cada alínea errada: -0.4 valores (a) Para resolver um problema de transportes pelo método u-v, a utilização da regra dos custos mínimos para a determinação da solução inicial (em vez da regra do canto NW) resulta sempre numa solução final com um custo mais baixo. (b) Na resolução de problemas de caminho mínimo pelo algoritmo de Dijkstra, a etiqueta definitiva de qualquer nó dá-nos a distância mínima desse nó ao nó final. (c) Em Teoria da Decisão, para o cálculo do Valor Esperado da Informação Perfeita assume-se que o futuro é conhecido e como tal as melhores decisões para cada um dos futuros possíveis podem ser conhecidas. (d) O número médio de clientes no sistema de uma Fila de Espera M/M/1 é proporcional à taxa de ocupação ρ. (e) No método CPM as folgas totais são sempre maiores ou iguais às folgas livres, mesmo que digam respeito a actividades do caminho crítico. Para as alíneas restantes considere que PL é um problema de Programação Linear, tendo A como conjunto das soluções admissíveis, e que PI é o problema de Programação Inteira associado (A restrito a variáveis inteiras). (f) Se x é uma solução óptima de PL então é um vértice de A, mesmo quando A é ilimitado. (g) Ao resolver PL pelo método simplex, as variáveis não básicas valem sempre zero, enquanto as variáveis básicas podem ou não valer zero. (h) Se A não é limitado então a solução do problema é impossível ou ilimitada. (i) Se PL tiver uma e uma só solução óptima x então é sempre possível modificar os coeficientes da função objectivo de PL de forma a que x ainda seja solução óptima. (j) Supondo x uma solução óptima e f(x ) o valor óptimo de PL (problema de maximização), então PI tem solução óptima e o seu valor é menor ou igual a f(x ). 6

7 1. (4 valores) Prática NOSLEVAMOS é uma grande empresa de transportes. Está em fase de equipar 6 novas filiais com uma frota adequada de veículos automóveis, destinada ao transporte de mercadorias diversas. Dados os tipos diferentes de produtos a transportar, variáveis conforme as zonas abarcadas pelas filiais da empresa, as necessidades de cada tipo de veículo serão, naturalmente, diferentes para cada filial. De entre várias marcas e modelos de veículos, a empresa optou por adquirir apenas entre 4 tipos diferentes de automóveis: ligeiros de passageiros, ligeiros mistos, furgões e pesados de mercadorias (identificados pelos números 1 a 4, respectivamente). Para cada tipo de veículo, são conhecidos os preços unitários, fornecidos pela empresa vendedora: Tipo Preço (ke) Tabela 1 A empresa dispõe de 1900 (ke) para gastar na compra de novos veículos. Por outro lado, existem actualmente alguns veículos ainda em bom estado, que podem ser igualmente usados para a constituição da frota: Tipo Unidades existentes Tabela 2 Em cada uma das filiais, a NOSLEVAMOS prevê a contratação de condutores profissionais, habilitados para a condução de qualquer um dos tipos de veículos a adquirir. A direcção da empresa estabeleceu valores máximos para o número de condutores a contratar em cada uma das filiais, dados na tabela 3: Filial F1 F2 F3 F4 F5 F6 N o condutores Tabela 3 Por outro lado, em cada filial deve existir pelo menos um automóvel ligeiro (de passageiros ou misto) para eventuais deslocações de pessoal e transporte de pequenas embalagens. Com base em estudos feitos e na experiência de negócio já existente na empresa, foi possível estimar os resultados anuais relativamente a todos veículo, para cada uma das 6 filiais. Os valores estão na tabela 4 (numa escala de 0 a 100) e foram obtidos entrando em conta com variados aspectos, como o lucro esperado, a imagem da empresa e a expansão da quota de mercado: 7

8 F1 F2 F3 F4 F5 F Tabela 4 Com base nos dados apresentados, pretende-se conhecer o número de veículos de cada tipo a adquirir bem como a composição da frota seleccionada para cada filial, por forma a maximizar o resultado total anual para a NOSLEVAMOS. (a) Construa um modelo de optimização para o problema dado. Refira-se ao tipo de modelo apresentado. (b) Considere agora que o custo dos veículos ligeiros mistos (tipo 2) decresce com o número de veículos comprados (tabela 5), mantendo-se os custos dos outros tipos de veículos iguais aos fornecidos na tabela 1. Número Preço/unidade (ke) de 1 a 6 17 de 7 a mais de Tabela 5 Apresente um novo modelo de optimização, que resultará da consideração desta nova situação. 8

9 2. (4 valores) O Secretário de Estado dos Assuntos Europeus do Governo da República Portuguesa, no âmbito das primeiras negociações do Quadro Comunitário de Apoio IV Portugal (ainda negociações de bastidores, mas de vital importância para Portugal) vai ter que fazer, no próximo mês de Março, quatro viagens de ida e volta a Bruxelas, nas datas apresentadas na tabela seguinte: Partida de Lisboa Segunda, 1 de Março Segunda, 8 de Março Segunda, 15 de Março Terça, 22 de Março Retorno de Bruxelas Sexta, 5 de Março Quarta, 10 de Março Sexta, 19 de Março Sexta, 26 de Março O preço de uma viagem de ida e volta (Lisboa Bruxelas Lisboa) é dee400. Motivado pelos cortes orçamentais promovidos pela Ministra das Finanças, o Secretário de Estado dos Assuntos Europeus começou a estudar uma forma de fazer estas viagens pelo menor preço possível. Assim, descobriu que se as datas de ida e volta incluírem um fim de semana no meio, então o bilhete terá um desconto de 25%. Se a diferença entre as datas de ida e volta for superior a 21 dias, então o desconto será de 30%. Por outro lado, um bilhete apenas de ida (ou volta) entre Lisboa e Bruxelas custae250. (a) Tomando como objectivo a determinação do esquema de bilhetes que minimiza o custo total das viagens, formule este problema como um problema de afectação, representando-o num quadro de afectação. (b) Resolva o problema pelo método húngaro, indicando a solução óptima, interpretandoa em termos de bilhetes a comprar, e indicando eventuais soluções óptimas alternativas. Diga ainda quanto poupa o Secretário de Estado face à solução óbvia, mas não óptima, de mandar emitir 4 bilhetes com idas a 1, 8, 15 e 22 e regressos a, respectivamente, 5, 10, 19 e 26. 9

10 3. (4 valores) A figura seguinte apresenta uma rede de comunicações sobre a qual circula tráfego IP (Internet Protocol). Os nós 1 a 8 são routers, entre os quais estão disponíveis as ligações representadas na figura, aí caracterizadas pela respectiva largura de banda (em Gbps) (a) Determine a máxima largura de banda disponível para um fluxo de tráfego do router 1 para o router 8. (b) Confirme a optimalidade da solução encontrada, determinando um corte mínimo para a rede em análise. (c) Sugira uma interpretação prática para um corte, no contexto apresentado. Particularize essa interpretação para o corte mínimo. 10

11 4. (4 valores) Considere a seguinte tabela, onde está representada uma matriz de decisão para 4 acções a i e 3 estados da natureza θ j e onde os valores representados são proveitos. Estados da natureza Acções θ 1 θ 2 θ 3 a 1 X a a a P(θ i ) 0,3 0,5 0,2 (a) Para que valores de X é que a acção a 1 é dominada pela acção a 2? (b) Para X = 500, obtenha a matriz da perda de oportunidade esperada a partir da matriz de decisão apresentada. (c) Qual seria o máximo valor a pagar por informação perfeita? 11

12 Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores Investigação Operacional Recurso Resolução Teórica Responda a cada afirmação com (V) Verdadeira ou (F) Falsa. Por cada alínea certa: +0.4 valores. Por cada alínea errada: -0.4 valores (a) Para resolver um problema de transportes pelo método u-v, a utilização da regra dos custos mínimos para a determinação da solução inicial (em vez da regra do canto NW) resulta sempre numa solução final com um custo mais baixo. (F) (b) Na resolução de problemas de caminho mínimo pelo algoritmo de Dijkstra, a etiqueta definitiva de qualquer nó dá-nos a distância mínima desse nó ao nó final. (F) (c) O número médio de clientes no sistema de uma Fila de Espera M/M/1 é proporcional à taxa de ocupação ρ. (F) (d) No método CPM as folgas totais são sempre maiores ou iguais às folgas livres, mesmo que digam respeito a actividades do caminho crítico. (V) (e) Em Teoria da Decisão, para o cálculo do Valor Esperado da Informação Perfeita assume-se que o futuro é conhecido e como tal as melhores decisões para cada um dos futuros possíveis podem ser conhecidas. (V) Para as alíneas restantes considere que PL é um problema de Programação Linear, tendo A como conjunto das soluções admissíveis, e que PI é o problema de Programação Inteira associado (A restrito a variáveis inteiras). (f) Se x é uma solução óptima de PL então é um vértice de A, mesmo quando A é ilimitado. (F) (g) Se A não é limitado então a solução do problema é impossível ou ilimitada. (h) Se PL tiver uma e uma só solução óptima x então é sempre possível modificar os coeficientes da função objectivo de PL de forma a que x ainda seja solução óptima. (V) (i) Ao resolver PL pelo método simplex, as variáveis não básicas valem sempre zero, enquanto as variáveis básicas podem ou não valer zero. (V) (j) Supondo x uma solução óptima e f(x ) o valor óptimo de PL (problema de maximização), então PI tem solução óptima e o seu valor é menor ou igual a f(x ). (F) (F) 12

13 1. Variáveis de decisão: Prática X ij n o de veículos do tipo i (1,..., 4) para a filial j (1,..., 6) Y i n o de veículos a adquirir do tipo i (1,..., 4) (a) Modelo de optimização inteira: R resultado total anual r ij - resultado anual estimado (entrada i, j na tabela 4) p i preço tipo i (entrada i na tabela 1) a i unidades existentes (entrada i na tabela 2) b j condutores a contratar (entrada j na tabela 3) v valor disponível para as aquisições max R = i,j r ij X ij suj. a : X ij Y i a i, (i = 1,..., 4) j X ij b j, (j = 1,..., 6) i p i Y i v i X 1j + X 2j 1, (j = 1,..., 6) X ij, Y i 0, e inteiras, (i, j) (b) (a) Neste problema pretende-se afectar as datas de ida com as datas de volta, de forma a minimizar o custo total dos bilhetes. è ainda possível fazer viagens com bilhetes apenas de ida ou apenas de volta. Note-se que, dado o custo de um bilhete de ida isolada mais um bilhete de volta isolada e250 +e250 ser superior ao de um bilhete de ida e volta (mesmo sem descontos) e400, nunca faz sentido considerar sequer a hipótese de fazer duas viagens de ida isoladas e duas de volta isoladas, pois nesse caso poder-se-ia sempre combinar duas delas e comprar um bilhete, mais barato, de ida e volta. Sendo assim, no quadro de afectação, onde teremos as datas de ida nas linhas e as datas de regresso nas colunas, será de considerar apenas uma linha que, se for afectada a um regresso, corresponderá a um regresso isolado, e uma coluna que, se for afectada a uma ida, corresponderá a uma ida isolada. Os custo dessa linha e dessa coluna será dee250, excepto para a célula onde se cruzam que terá um custo nulo (corresponde a não se fazer nenhuma viagem com bilhete só de ida ou só de volta). Note que as viagens são sempre emparelhadas, porque se se comprar um bilhete só de ida terá que se comprar necessariamente um bilhete só de volta. O quadro de afectação, que formula este problema, será então o seguinte: X X

14 Custos em centenas de euros. (b) Na seguinte resolução pelo método húngaro, começa-se por subtrair o menor valor de cada linha a toda a linha e, em seguida, o menor valor de cada coluna a toda a coluna. Depois inicia-se o algoritmo habitual. As linhas ou colunas riscadas são representadas com os valores a carregado. O menor valor, de entre os não riscados, é representado em itálico Este quadro é óptimo uma vez que são necessários 5 riscos para riscar todos os zeros. Isso significa que existem 5 zeros independentes, que se representam a carregado no quadro seguinte: Note-se que esta solução óptima é única uma vez que não há outro conjunto de zeros independentes. Em termos de bilhetes, esta solução corresponde ao seguinte esquema: Tipo de bilhete Data da ida Data da volta Custo (e) Ida e volta Ida e volta Ida e volta Ida Volta Custo total 1400 Relativamente à solução óbvia de 4 bilhetes de ida e volta, a poupança será de: 3. (a) Ordem de saturação: i) : 3 Gbps 4 e400 e1400 =e200 14

15 ii) : 2 Gbps iii) : 1 Gbps iv) : 2 Gbps v) : 2 Gbps vi) : 4 Gbps Total: 14 Gbps (b) Corte mínimo: - 2-5: 3 Gbps - 3-5: 3 Gbps - 6-8: 4 Gbps - 7-8: 4 Gbps Total: 14 Gbps (c) Corte: conjunto de ligações cuja indisponibilidade simultânea impede por completo a chegada de tráfego IP do router 1 ao router 8. Corte mínimo: dos vários cortes, aquele que apresenta uma largura de banda total mínima. 4. (a) A acção a 1 é dominada pela acção a 2 para valores de X entre e 250. (b) A matriz da perda de oportunidade esperada está representada na tabela seguinte: Estados da natureza Acções θ 1 θ 2 θ 3 a a a a (c) Cálculo do máximo valor esperado: max{ ; ; ; } = 250, correspondente à acção a 1. Cálculo do valor esperado com informação perfeita: 0, , , = 360 O máximo valor a pagar por informação perfeita seria =