Universidade da Beira Interior Departamento de Matemática. Ficha de exercícios nº4 Pós-Optimização e Análise de Sensibilidade

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1 Ano lectivo: 2008/2009 Universidade da Beira Interior Departamento de Matemática INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Ficha de exercícios nº4 Pós-Optimização e Análise de Sensibilidade Cursos: Gestão e Economia 1. Uma fábrica de objectos de mármore produz quatro tipos de objectos: jarras (J), cinzeiros (C), formas livres (FL) e estátuas (E). Para produzir os objectos são necessários os números de horas presentes no quadro que se segue: Secção Produtos Disponibilidades J C FL E Corte Cinzelagem Polimento Lucro/unidade (Cênt.) Nestas condições, o plano de fabrico corresponde ao seguinte quadro Simplex (óptimo): x B x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 b x /10 15/2 0 1/10 1/5 0 6 x x 4 0-7/ /15-1/ zj cj a) Qual o valor do lucro total? b) Supondo que a produção de bustos (B) pode ser realizada nas seguintes condições: Secção B Corte 15 Cinzelagem 10 Polimento 20 Lucro/unidade (Cênt.) 240 Deverá a empresa alterar o plano de produção no sentido de produzir bustos? c) Qual o valor mínimo pelo qual deve ser aumentado o lucro das formas livres (FL) de modo a que esta actividade se torne lucrativa? 2. Uma Companhia Vidreira (CV) fabrica em três centros de produção (CP) produtos de vidro de alta qualidade, incluindo janelas e portas. No CP1 são produzidos caixilhos de alumínio, no CP2 caixilhos de madeira e o CP3 é usado para produzir o vidro e fazer a montagem final dos produtos. Devido a uma diminuição das receitas, a administração resolveu introduzir algumas alterações na linha de produção. Alguns produtos que não se revelaram lucrativos deixaram de ser fabricados, de modo a libertar capacidade de produção para fabricar outros produtos para os quais existe procura potencial. Um dos produtos (P1) é uma porta de vidro com caixilho de alumínio e o outro (P2) é uma janela com caixilho de madeira. O departamento de marketing concluiu que a CV conseguirá vender toda a produção que for possível com a capacidade disponível. Os dados do problema estão agrupados na seguinte tabela: Centro de Capacidade usada por unidade Capacidade produção Produto 1 Produto 2 disponível CP CP CP Lucro/unidade ( ) 3 5 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 2008/2009 Ficha de exercícios nº4 1

2 a) Formule o problema de forma a maximizar o lucro da CV. b) Resolva o problema com o método Simplex. Qual seria a melhoria do valor da função objectivo se fosse possível dispor de mais uma unidade de capacidade disponível no CP2? (E nos outros centros de produção?) c) A CV pretende produzir um novo produto (P3) na sua linha de produção. Estudos preliminares indicam que uma unidade de P3 usará 2, 3 e 1 unidade(s) de capacidade produtiva dos centros CP1, CP2 e CP3, respectivamente. O lucro unitário de P3 foi estimado em 4. Será vantajoso produzir P3? Em caso negativo, qual o valor mínimo do lucro unitário de P3 para que não dê prejuízo o fabrico deste produto? d) Remodelações no CP3 vão aumentar a respectiva capacidade em 1 unidade por mês. Face a esta alteração, durante quanto tempo se manterá óptimo o actual esquema de produção? e) A CV decidiu estender as remodelações aos 3 CP, os quais verão aumentada a sua capacidade disponível ao ritmo de 1, 2 e 3 unidades por mês, respectivamente. Face a estas alterações conjuntas, durante quanto tempo se manterá óptimo o actual esquema de produção? f) Alterações de mercado indicam que os lucros unitários de P1 e P2 variarão a uma taxa mensal de +1 e 1. Face a estas alterações conjuntas, durante quanto tempo se manterá óptimo o actual esquema? g) A entrada em vigor de nova legislação que impõe um maior controlo de qualidade obrigou à criação de um novo centro de produção (CP4) dedicado a esta tarefa. Cada unidade de P1 e P2 usará 2 e 3 unidades de capacidade produtiva em CP4, respectivamente. A capacidade disponível em CP4 é 24. Quais as alterações que a introdução de CP4 implica no esquema de produção óptimo? 3. Suponha que lhe saiu um prémio de euros no Totoloto e que pretende investir a totalidade deste dinheiro ou apenas uma parte. Sabendo disto, dois amigos seus (o José e o Manuel) ofereceram-lhe sociedade em dois negócios diferentes que pretendem realizar. Em ambos os casos, a sua participação envolve a disponibilização de dinheiro e a colaboração com trabalho. Tornar-se sócio a parte inteira do José, implica um investimento de euros e 400 horas de trabalho, e o lucro esperado é de euros (sem levar em conta o valor do seu tempo). Os valores correspondentes relativos à participação (a parte inteira) no negócio do Manuel são euros e 500 horas de trabalho, e euros para o lucro esperado. Contudo, ambos os amigos são flexíveis e permitem-lhe participar com qualquer fracção de sócio a parte inteira; obviamente que a sua parte nos lucros será também proporcional a esta fracção. Dado que pretende também algum tempo livre no Verão, não quer dedicar mais de 600 horas ao trabalho. Cabe-lhe então decidir qual a combinação de participação num ou em ambos os projectos dos seus amigos, de modo a maximizar o lucro. a) Construa um modelo matemático de PL para o problema, explicitando as variáveis de decisão, restrições e função objectivo. b) Resolva o problema graficamente e também com o algoritmo Simplex. c) Qual a gama de valores dentro da qual pode variar o número de horas de trabalho, de modo a que a solução actual se mantenha óptima. Qual a variação correspondente no lucro? 4. A Companhia Pintado de Fresco produz tinta para interiores e exteriores. A tinta é fabricada através da transformação de dois tipos de matéria-prima, A e B. A companhia dispõe diariamente de um máximo de 6 toneladas de A e 8 toneladas de B. Para produzir 1 tonelada de tinta de exteriores, são necessárias 1 tonelada de A e 2 toneladas de B, enquanto que para produzir 1 tonelada de tinta de interiores, são necessárias 2 toneladas de A e 1 tonelada de B, em cada dia. Um estudo de mercado concluiu que a procura diária de tinta de interiores não pode exceder a da tinta de exteriores em mais de 1 tonelada. Este estudo, também mostrou que a procura diária de tinta de interiores está limitada a 2 toneladas. O preço de venda por tonelada é 3 para a tinta de exteriores e 2 para a tinta de interiores. Pretende-se determinar o esquema de produção a adoptar que maximiza a receita diária. a) Formule o problema linear associado, explicitando as variáveis de decisão, as restrições e a função objectivo b) Resolva o problema graficamente e também com o algoritmo Simplex. INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 2008/2009 Ficha de exercícios nº4 2

3 c) Qual a gama de valores dentro da qual pode variar a disponibilidade de matéria-prima do tipo A, de modo a que a solução actual se mantenha óptima. Qual a variação correspondente para a receita diária? d) Estudos de mercado indicam que o preço da tinta de exteriores diminuirá a um ritmo de 0,2 por mês, enquanto que o preço da tinta de interiores aumentará a um ritmo de 0,4 por mês. Com esta tendência, quantos meses se manterá óptima a solução actual? 5. Considere o seguinte problema de PL : Maximizar Z = 8 x x 2 + x 4 Sujeito a x x x x 4 30 (recurso 1) 4 x x 2 + x x 4 20 (recurso 2) x 1, x 2, x 3, x 4 0 cujo plano óptimo corresponde ao seguinte quadro Simplex (óptimo): x B x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b x 5 0 3/2 15/4 3/2 1 1/4 25 x 1 1 1/2 1/4 1/2 0 1/4 5 z j c j a) Em relação ao plano óptimo: Qual a quantidade de produto a fabricar? E qual a quantidade não usada de cada um dos recursos? b) Será que a solução óptima é única? Se existirem óptimos alternativos, determine todos. c) Supondo que o coeficiente de x 4 na função objectivo, c 4, aumentou 4 unidades, verifique se a solução se mantém óptima. Se deixou de o ser, indique: Que processo utilizar no sentido de determinar a solução óptima deste novo problema. Que variável vai entrar na base e qual vai deixar a base. d) Supondo que a disponibilidade do recurso 2 foi alterado de 20 para 140, verifique se a solução se mantém óptima. Se deixou de o ser, determine a solução óptima do novo problema. e) Qual a gama dentro da qual pode variar o coeficiente de x 1 na função objectivo de modo que a solução se mantenha óptima. Qual a variação correspondente do valor da função objectivo? f) Pretende-se avaliar a viabilidade da introdução de um novo produto, representado pela variável de decisão x 7. Os coeficientes de x 7 nas restrições são [5; 8] e na função objectivo é c 7. Qual a gama admissível para c 7 de modo a ser rentável iniciar a produção do novo produto? 6. Os produtos 1, 2 e 3 são manufacturados em três operações: A, B e C. Os tempos (em minutos) requeridos por unidade de cada produto, a capacidade diária das operações de fabrico (em minutos/dia) e o lucro por unidade vendida, de cada produto, são: Operação Tempo por unidade Capacidade Operativa Produto 1 Produto 2 Produto 3 (min./dia) A B C Lucro unitário ( ) Pretende-se conhecer o esquema de produção mensal que optimize a margem de lucro total. Para o efeito, o modelo de PL a resolver é o seguinte: INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 2008/2009 Ficha de exercícios nº4 3

4 Maximizar Z = 3 x x x 3 Sujeito a x x 2 + x x x x x x 1, x 2, x 3 0 onde x 1, x 2 e x 3 medem os níveis de produção dos produtos 1, 2 e 3, respectivamente. O quadro óptimo é o seguinte: x B x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b x 2 1/ /2 1/ x 3 3/ / x z j c j onde x 4, x 5 e x 6 são variáveis folga das restrições 1, 2 e 3, respectivamente. a) Indique o valor óptimo da função objectivo, os valores óptimos de x j (j = 1,..., 6) e os seus significados económicos. b) Indique a matriz básica óptima do problema. c) Porque motivo o produto 1 não foi produzido? d) O produto 1 não figura no esquema óptimo, apesar de ter uma maior margem de lucro unitário que o produto 2. Condições de mercado não permitem aumentar o lucro marginal do produto 1. Assim, foi decidido melhorar a rentabilidade do produto 1, reduzindo os seus tempos de operação (coeficientes tecnológicos: a 1i, i = 1, 2, 3). Indique, justificando, qual das alterações seguintes leva a produzir o produto 1, com melhoria do valor da função objectivo. i) [1 3 1] T [1 2 3] T ii) [1 3 1] T [1/2 7/2 2] T iii) [1 3 1] T [1 1/2 11/2] T e) Para a alteração efectuada em a), determine qual o novo esquema de produção óptimo, indicando a nova solução e o correspondente valor óptimo, bem como a indicação da alteração do valor das variáveis duais. f) Suponha que era possível aumentar o lucro unitário do produto 1 em 1. Qual o valor exacto de 1 > 0 para que o produto 1 venha a ser produzido e o lucro total máximo se mantenha inalterado em 1350? g) Suponha que relativamente ao problema original, é proposta a produção dum 4º produto com os seguintes dados: Operação A B C Tempo(min.) Determine a solução óptima quando a margem de lucro unitário do novo produto é de O quadro seguinte dá uma solução óptima para um problema de PL com três variáveis de decisão e duas restrições e cujos coeficientes de custo são c 1 =2, c 2 =3 e c 3 = 1. x x z j c j c 2 =1. a) De quanto pode variar c 2 sem afectar a solução óptima? Determine a sol. óptima para INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 2008/2009 Ficha de exercícios nº4 4

5 b) Determine o intervalo [a, b] de variação para para o qual a base óptima se mantenha, quando o vector b é substituído por b +.b* onde b* = [1 1] T e < <. Determine ainda a solução óptima para = 1/2. (Admita que (x 4, x 5 ) eram as variáveis básicas iniciais). c) Determine a solução óptima quando é adicionada a nova restrição x 1 + x 3 3 ao problema inicial. 8. Considere o seguinte problema de PL : Maximizar Z = x x 2 Sujeito a x 1 + x x 1 + x 2 26 x 1 + x 2 4 x 1, x 2 0 Após a adição das variáveis de folga, x 3, x 4 e x 5, a aplicação do método Simplex produziu o seguinte quadro óptimo: x /2 0 1/2 2 x /2 1 3/2 12 x /2 0 1/2 6 z j c j a) Suponha que a função objectivo é alterado para Z = 3 x x 2 A solução manter-se-á óptima? Caso não se mantenha, determine a nova solução óptima. b) Se a restrição x x 2 12 for adicionada ao PL inicial, determine a nova solução óptima para o problema resultante. 9. Considere o seguinte quadro Simplex (óptimo) relativo a um problema de PL de maximização com todas as restrições de : cj X B x 1 x 2 x 3 x 4 b x /2 4 x /4 3 z j c j /2 6 Tomando sempre como base este quadro óptimo, resposta, justificando, às questões seguintes: a) Quais as soluções óptimas dos problemas primal e dual, e respectivos valores de Z e W. Verifique se o problema primal tem óptimos alternativos. Se sim, mencione apenas que variável básica passa a não básica e que variável não básica passa a básica. b) Supondo que o coeficiente da variável x 1 na função objectivo, c 1, sofreu uma diminuição de 1 unidade, verifique se a solução corrente continua óptima. Se não, determine a nova solução óptima. c) Supondo que a quantidade de recurso 1, b 1, sofreu uma diminuição de 5 unidades, verifique se a solução corrente continua óptima. Se não continuar, determina a nova solução óptima e interprete a evolução (diminuição/aumento) dos valores Z das soluções associadas aos quadros analisados. d) Pretende-se introduzir um novo produto no esquema produtivo desta fábrica, ao qual se associa uma nova variável, x 5. Sabendo que a contribuição deste novo produto nas restrições é A. 5 = [2 4] T, determine a gama de valores para c 5 para a qual se torna viável a produção deste novo produto. INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 2008/2009 Ficha de exercícios nº4 5

6 (Exame Normal) 10. Seja dado o seguinte Problema Linear: Maximizar Z = 5x x x 3 Sujeito a x 1 + x x x x x 3 90 x 1, x 2,x 3 0 Se considerarmos as variáveis x 4 e x 5 como sendo as variáveis de folga, então o quadro Simplex óptimo é o seguinte: x B x 1 x2 x 3 x 4 x 5 b x x zj-cj a) Admitamos que o valor do termo independente da primeira restrição, b 1, é modificado para b 1 =30. A base mantém-se óptima? Caso não se mantenha, determine a nova base óptima. b) Suponha que os coeficientes de x 1 são modificados, sendo c 1 = 2 e A 1 =[0 5] T. Verifique se a solução se mantém óptima e, caso não se mantenha, determine a nova solução. c) Qual a gama dentro da qual pode variar o coeficiente de custo de x 2 de modo que a solução se mantenha óptima. Qual a variação correspondente da função objectivo? 11. Considere o seguinte problema em Programação Linear, em que a i-ésima restrição diz respeito a um determinado recurso i disponível, com i=1, 2, 3, todos eles necessários para a produção de dois artigos com elevada procura: Maximizar Z = 25 x x 2 Sujeito a x 1 + x x 1 + x x x x 1, x 2 0 O quadro óptimo deste problema é: x B x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 b x x x z j-c j a) Sabe-se que é possível aumentar as quantidades disponíveis de cada recurso ao ritmo de 2, 3 e 2 unidades por mês, respectivamente. Determine durante quanto tempo a base óptima não se altera. b) A empresa que comercializa os artigos referidos, apresenta agora alguma flexibilidade relativamente ao preço de venda do 2º produto. Não admite, no entanto, alterações da base óptima encontrada. Determine entre que valores se pode colocar à venda o 2º produto, satisfazendo as exigências da empresa, e indique a variação correspondente do valor da função objectivo. c) A empresa pode (ou não) fabricar um 3º artigo. Cada unidade deste produto consome 1, 2 e 4 unidades de cada recurso, respectivamente. Qual o intervalo da valores do respectivo (do novo artigo) coeficiente na função objectivo para o qual é vantajoso produzir efectivamente esse novo produto? d) Para melhorar a qualidade final dos seus produtos, a empresa impõe agora uma nova restrição: x 1+3x Estude o seu impacto. INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 2008/2009 Ficha de exercícios nº4 6

7 12. Uma empresa de telemóveis pretende introduzir no mercado dois novos modelos (1 e 2). Para tal, cada um deles terá que passar por uma linha de produção composta por duas etapas (A e B). As horas necessárias que um telemóvel de cada tipo terá que passar em cada etapa, bem como as disponibilidades (semanais) de cada uma destas, em horas, encontram-se na tabela seguinte: Modelo 1 Modelo 2 Disponibilidades Etapa A Etapa B A empresa acredita que é possível vender cada unidade dos modelos 1 e 2 a 300 e 200, respectivamente. Definindo x i como a quantidade de telemóveis de modelo i a fabricar por semana, com i=1,2, a empresa formulou o seu problema da seguinte forma: Maximizar Z = 3 x x 2 (em centenas de ) Sujeito a x x x 1 + x x 1, x 2 0. Cujo quadro óptimo é: x B x 1 x 2 x 3 x 4 b x /3-1/3 10 x /3 2/3 20 z j-c j 0 0 1/3 4/3 80 a) Relativamente aos telemóveis do modelo 1, i) A que preço pode a empresa vendê-los, de modo que a base se mantenha óptima? ii) Qual a variação correspondente do valor da função objectivo? iii) Com base nas alíneas anteriores, o que aconselharia a administração da empresa a fazer? b) Repita a alínea anterior em relação aos telemóveis de modelo 2. c) Se fosse possível aumentar a disponibilidade da etapa de produção B em 10 horas, a base actual manter-se-ia óptima? d) Se fosse possível aumentar a disponibilidade da etapa A em apenas 6 horas, quanto estaria a empresa disposta a pagar por esse aumento? e) A empresa está a considerar a produção de um terceiro modelo de telemóveis. Sabendo que cada unidade deste consome 2 horas em ambas as etapas de fabrico e é vendido a 320, determine se a empresa deve fabricar telemóveis deste tipo. (Exame Recurso) 13. Considere o seguinte Problema Linear: O quadro Simplex óptimo é: Max Z = 2x 1 + 7x 2-3x 3 s.a: x 1 + 3x 2 + 4x 3 30 (recurso 1) x 1 + 4x 2 - x 3 10 (recurso 2) x 1, x 2, x 3 0 onde x 4 e x 5 são variáveis de folga. x B x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 b x x z j-c j INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 2008/2009 Ficha de exercícios nº4 7

8 a) Ao problema foi imposta uma nova restrição: 3x 1+12x 2+2x Verifique que a solução actual não é óptima e obtenha a nova solução. b) Suponha que o recurso 1 aumenta uma unidade por mês e o recurso 2 diminui 1 unidade por mês. Durante quanto tempo se manterá óptima a actual base? c) Qual o valor máximo que se pode atribuir ao coeficiente de custo de x 1 sem que a actual base deixe de ser óptima? d) Qual o valor mínimo do coeficiente de custo da variável x 2 para que esta variável se torne básica? e) Qual a gama dentro da qual pode variar o valor do segundo recurso, b 2, de modo que a solução se mantenha óptima? Determine a correspondente variação da função objectivo. f) Considere que a quantidade não utilizada do recurso 2 passa a ser valorizada em 2 adicionais por unidade. Estude as eventuais modificações do plano óptimo de produção face a esta alteração. (Frequência) 14. Seja dado o seguinte Problema Linear: Maximizar Z = 3x 1 + 2x 2 + 4x 3 Sujeito a 2x 1 + 3x 2 x 3 12 x 1 + x 2 + 2x 3 10 x 1, x 2, x 3 0 O quadro Simplex óptimo para este problema é o seguinte: x B x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 b x 1 1 1,4 0 0,4 0,2 6,8 x 3 0-0,2 1-0,2 0,4 1,6 z j-c j 0 1,4 0 0,4 2,2 26,8 onde x 4 e x 5 são variáveis de folga. a) Se o coeficiente de custo da variável básica x1 for alterado de 3 para 2, a base mantém-se óptima? Caso não se mantenha, calcule a nova solução óptima. b) Suponha que uma nova variável, x 6, é introduzida no problema. Os coeficientes de x6 nas restrições são [3 1]T e na função objectivo é 3. Qual o valor de x 6 no plano óptimo? c) Ao problema foi imposta uma nova restrição: 3x1+2x2+x3 16. Verifique se a solução actual continua óptima. Se tal não se verificar, obtenha a nova solução do problema. d) Qual a gama de variação de b2 para que a base óptima se mantenha? (Exame Recurso) 15. Considere o seguinte problema de programação Linear: Max Z = 3x 1 + 2x 2 s.a: 4x 1 + 3x x 1 + 3x 2 60 x 1, x 2 0 O quadro óptimo do Simplex é: x B x 1 x 2 x 3 x 4 b x 1 1 3/4 1/ x 4 0 9/4-1/ z j-c j 0 1/4 3/ onde x 3 e x 4 são variáveis de folga. a) Admita que o coeficiente de custo da variável x2 sofre uma diminuição de uma unidade. Verifique se a actual solução se mantém óptima e, caso não se mantenha, determine a nova solução óptima. INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 2008/2009 Ficha de exercícios nº4 8

9 b) Suponha que ao problema é imposta a nova restrição: x1 + x2 20. Verifique que a solução actual deixa de ser óptima e obtenha a nova solução do problema. c) Suponha que os coeficientes de x2 são modificados, sendo A2 =[2 2]T. Verifique se a solução se mantém óptima e, caso não se mantenha, determine a nova solução. (Trabalho de avaliação 03/04) 16. Seja dado o seguinte problema em Programação Linear: Max Z = -5x 1 +5x 2+ 13x 3 s.a: -x 1 + x 2 + 3x x 1 +4x 2 +10x 3 90 x 1, x 2, x 3 0 (milhares de ) Se considerarmos as variáveis x 4 e x 5 como sendo as variáveis de folga, então o quadro Simplex óptimo é o seguinte: x B x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 b x x z j c j a) i) Qual o intervalo de valores a que o termo independente da primeira restrição pode pertencer, sem que a base óptima se altere? ii) Qual a correspondente consequência relativamente ao valor da f.o.? (A) i) [-20, 5/2]; ii) Z* [-100, 25/2] (B) i) [-20, 5/2]; ii) Z* [0, 225/2] (C) i) [0, 45/2]; ii) Z* [-100, 25/2] (D) i) [0, 45/2]; ii) Z* [0, 225/2] b) Por 20 mil euros a empresa poderá encomendar 5 unidades adicionais de recurso 2. Será esta opção vantajosa para a empresa? c) Qual a gama dentro da qual pode variar o preço de venda do artigo 2 sem que a actual base se altere? Indique também a correspondente variação do valor da f.o.. d) Interprete economicamente os valores óptimos das variáveis duais principais, relacionando-os com os valores óptimos das variáveis de folga primais. e) Por que razão não foi produzido o artigo 3? (Frequência 03/04) 17. Considere o seguinte problema de Programação Linear, em que se pretende maximizar a receita de uma empresa, expressa em, obtida com a venda de três artigos (cujas quantidades a produzir são representadas por x 1, x 2 e x 3). A produção destes artigos utiliza dois recursos cujas disponibilidades são, respectivamente, 6 e 9 unidades. Assim, tem-se: (P) Max Z = 4x 1+x 2-x 3 (em ) s.a: 2x 1-x 2+2x 3 6 (recurso 1) x 1+ 1 x 2+x 3 9 (recurso 2) 2 x 1, x 2, x 3 0. O quadro óptimo obtido é: x /2 1 6 x /4 1/2 6 z j c j / Relativamente a este problema, considere as seguintes questões: INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 2008/2009 Ficha de exercícios nº4 9

10 a) Suponha que a disponibilidade do recurso 2 sofre uma diminuição de 7 unidades. Quais as consequências desta alteração? b) Considere que a quantidade não utilizada do recurso 2 passa a ser valorizada em 4 adicionais por unidade. Estude as eventuais modificações do plano óptimo de produção face a esta alteração. c) É acrescentada ao problema uma nova restrição: x 1+2x 2+4x 3+3x 5-2, onde x 5 é a variável de folga da segunda restrição. Averigue as consequências da introdução desta nova condição. d) A empresa pretende iniciar a produção de um novo artigo. Cada unidade deste produto gasta 3 e 4 unidades dos recursos 1 e 2, respectivamente. A que preços deve a empresa colocar à venda o novo artigo de modo que a sua produção seja rentável? e) Suponha que o preço de venda do produto 2 pode aumentar 0,5 por mês. Durante quanto tempo a actual base se mantém óptima? f) Indique a solução óptima do problema Dual associado a (P), sem resolver esse problema. Interprete economicamente o valor das variáveis principais do Dual. (Exame Época Normal 03/04) 18. Uma empresa pretende maximizar a sua receita (em ), obtida com a venda de dois artigos (cujas quantidades a produzir são representadas por x 1 e x 2). Para produzir estes artigos são necessários três recursos cujas disponibilidades são, respectivamente, 5, 3 e 4 unidades. A formulação do problema em Programação Linear é a seguinte: (P) Max Z = 4x 1+x 2 ( ) s.a: x 1+x 2 5 (recurso 1) x 1 - x 2 3 (recurso 2)..x 2 4 (recurso 3) x 1, x 2 0. Sendo o quadro óptimo: x /2-1/2 0 1 x /2 1/2 0 4 x /2 1/2 1 3 z j c j 0 0 5/2 3/ Relativamente a este problema, considere as seguintes questões: a) De futuro, as quantidades existentes de cada recurso irão sofrer alterações: os fornecedores passarão a disponibilizar 1, 5 e 1 unidades dos recursos 1, 2 e 3, respectivamente. A solução mantém-se óptima? Caso não se mantenha, determine a nova solução óptima. b) Interprete economicamente o valor do custo reduzido de x 3. c) Qual a gama dentro da qual pode variar o preço de venda do artigo 1, de modo que a solução se mantenha óptima. Qual a variação correspondente do valor da função objectivo? d) i) Indique a solução óptima do problema Dual associado a (P), sem resolver esse problema. ii) Interprete economicamente os valores das variáveis principais do problema Dual. iii) Relacione esses valores com os das variáveis de folga do Primal. e) Considere que a quantidade não utilizada do recurso 1 passa a ser valorizada em 2 adicionais por unidade. Estude as eventuais modificações do plano óptimo de produção face a esta alteração. INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 2008/2009 Ficha de exercícios nº4 10

11 (Exame Época Recurso 03/04) 19. Uma empresa pretende maximizar a sua receita (em ), obtida com a venda de três artigos (cujas quantidades a produzir são representadas por x 1, x 2 e x 3). Para produzir estes artigos são necessários dois recursos cujas disponibilidades são, respectivamente, 25 e 20 unidades. A formulação do problema em Programação Linear é a seguinte: (P) Max Z = 3x 1+x 2+4x 3 ( ) s.a: 6x 1+3x 2+5x 3 25 (recurso 1) 3x 1+4x 2 +5x 3 20 (recurso 2) x 1, x 2, x 3 0. Sendo o quadro óptimo: x /5 2/5 3 x 1 1-1/3 0 1/3-1/3 5/3 z j c j /5 3/5 17 Relativamente a este problema, considere as seguintes questões: a) Problemas no abastecimento do recurso 2 fazem com que a sua disponibilidade diminua 15 unidades. A solução mantém-se óptima? Caso não se mantenha, determine a nova solução óptima. b) Qual a gama dentro da qual pode variar o preço de venda do artigo 1, de modo que a solução se mantenha óptima. Qual a variação correspondente do valor da função objectivo? c) i) Indique a solução óptima do problema Dual associado a (P), sem resolver esse problema. ii) Interprete economicamente os valores das variáveis principais do problema Dual. iii) Relacione esses valores com os das variáveis de folga do Primal. d) Considere que a quantidade não utilizada do recurso 2 passa a ser valorizada em 0,5 adicionais por unidade. A solução mantém-se óptima? Caso não se mantenha, determine a nova solução óptima. e) Suponha que a empresa pode adquirir apenas uma unidade adicional de um e um só recurso (1 ou 2). O transporte dessa unidade adicional custará à empresa 0,5, independentemente do tipo de recurso. Indique qual o recurso cuja disponibilidade a empresa tem vantagem em aumentar uma unidade. Justifique a sua resposta. f) Por que razão no plano óptimo não é produzido o artigo 2? Justifique a sua resposta. (Exame Época Especial) 21. Considere o seguinte problema de Programação Linear, em que se pretende maximizar o lucro obtido com a venda de dois artigos (representados por x 1 e x 2), cuja produção necessita da utilização de três recursos (cujas disponibilidades são, respectivamente, 30, 24 e 18 unidades): Max Z = 80x 1+60x 2 (em ) s.a: 5x 1+3x 2 30 (recurso 1) 2x 1+3x 2 24 (recurso 2) x 1+3x 2 18 (recurso 3) x 1, x 2 0. O quadro óptimo obtido é: x /4 0-1/4 3 x /4 1-3/4 3 x /12 0 5/12 5 z j c j INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 2008/2009 Ficha de exercícios nº4 11

12 Relativamente a este problema, considere as seguintes questões: a) Problemas no abastecimento do recurso 1 fazem com que a sua disponibilidade diminua 20 unidades. A solução mantém-se óptima? Caso não se mantenha, determine a nova solução óptima. b) Qual a gama dentro da qual pode variar o preço de venda do artigo 1, de modo que a solução se mantenha óptima. Qual a variação correspondente do valor da função objectivo? c) Suponha que é adicionada uma nova restrição ao problema: 2x 1+x 2+x 3-2. Quais as consequências da introdução desta nova condição? d) Suponha que a quantidade não utilizada do recurso 3 é valorizada em 4 adicionais por unidade. Estude as eventuais modificações do plano óptimo de produção face a esta alteração. (Frequência 04/05) 22. Uma empresa pretende maximizar a sua receita (em milhares de euros), obtida com a venda de dois artigos (cujas quantidades a produzir são representadas por x 1 e x 2). Para produzir estes artigos são necessários dois recursos cujas disponibilidades são, respectivamente, 3 e 4 unidades. A formulação do problema em Programação Linear é a seguinte: (P) Max Z = 5x 1+x 2 (milhares de ) s.a: x 1+x 2 3 (recurso 1) 2x 1+x 2 4 (recurso 2) x 1, x 2 0. Sendo o quadro óptimo: x B x 1 x 2 x 3 x 4 b x 3 0 1/2 1-1/2 1 x 1 1 1/2 0 1/2 2 z j c j 0 3/2 0 5/2 10 Relativamente a este problema, considere as seguintes questões independentes entre si: a) A disponibilidade do recurso 2 dobrará de valor. A solução mantém-se óptima? Caso não se mantenha, determine a nova solução óptima. b) Qual a gama dentro da qual pode variar o preço de venda do artigo 1 sem que a actual base se altere? Indique também a correspondente variação do valor da f.o.. c) A quantidade não utilizada de recurso 2 será, de futuro, valorizada em 2 adicionais por unidade. A solução mantém-se óptima? Caso não se mantenha, determine a nova solução óptima. d) Por que razão não foi produzido o artigo 2? (Exame P1, Gestão, 2005/2006) 23. O quadro seguinte fornece a solução óptima para um problema de PL com três variáveis de decisão, duas restrições de " " relativas a dois recursos (com disponibilidades não negativas), e cujos coeficientes da f.o. são c 1 = 2, c 2 = 3 e c 3 = 1 (valores em ). x x z j c j (Na alínea (a) indique a opção correcta; as alíneas (b) e (c) devem ser resolvidas na sua folha de teste) a) Quando é adicionada a nova restrição 2x 2 + x 3 3 ao problema original, a nova solução óptima é: INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 2008/2009 Ficha de exercícios nº4 12

13 x = (4/3,4/3,1/3,0,0,0) e Z = 7 O problema fica impossível x = (3/2,3/2,0,0,1/2,0) e Z = 15/2 A solução optima original mantém-se x = (1,2,0,0,0,3) e Z = 8 x = (2,0,1,0,0,2) e Z = 5 b) Qual terá que ser o aumento necessário da disponibilidade de recurso 1, para que se atinja um valor óptimo de 11? c) Pretende-se colocar no mercado um novo produto ao preço de 15e. Sabe-se que cada unidade do novo produto consumirá 1 unidade de recurso 1. Qual a quantidade que esse novo produto poderá consumir de recurso 2, por forma a ser vantajosa a sua produção? (Exame P1, ME+MI+MA+EPGI+EI+EC, 2005/2006) 24. Uma empresa pretende maximizar o valor das suas vendas (em milhares de ), obtido com a venda de três artigos (cujas quantidades a produzir são representadas por x 1, x 2 e x 3). Para produzir estes artigos são necessários dois recursos cujas disponibilidades são, respectivamente, 90 e 20 unidades. A formulação do problema em Programação Linear é a seguinte: (P) Max Z = -5x 1+5x 2+13x 3 (milhares de ) s.a: 12x 1+4x 2+10x 3 90 (recurso 1) -x 1+x 2+3x 3 20 (recurso 2) x 1,x 2,x 3 0. Sendo o quadro Simplex óptimo: x x z j c j Relativamente a este problema, considere as seguintes questões independentes entre si: a) A empresa poderá vender a quantidade não utilizada de recurso 1. Qual deverá ser o preço de venda por forma a obter um lucro de 105 milhares de e? Assinale a resposta correcta: mil 5500 Impossível b) Devido a uma recente norma europeia, os artigos terão que ser sujeitos a um rigoroso controlo de qualidade. A desigualdade que modela essa norma é: x1 + x2 + x3 10. O impacto desta imposição é: x =(0,0,20/3,70/3,0,10/3) e Z =260/3 mil O problema fica impossível x =(0,5,5,20,0,0) e Z =90 mil A solução optima original mantém-se x =(0,10,0,-30,10,0) e Z =50 mil x =(0,20,0,10,0,10) e Z =100 mil c) A empresa pretende colocar no mercado um novo artigo ao preço muito competitivo de 1 milhar de. Quais as quantidades que esse novo artigo poderá consumir de cada recurso, por forma a ser vantajosa a sua produção? INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 2008/2009 Ficha de exercícios nº4 13