Transparências de apoio à lecionação de aulas teóricas. c 2012, 2011, 2009, 1998 José Fernando Oliveira, Maria Antónia Carravilla FEUP

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1 Programação Linear Transparências de apoio à lecionação de aulas teóricas Versão 4 c 2012, 2011, 2009, 1998 José Fernando Oliveira, Maria Antónia Carravilla FEUP

2 Programação Linear Problema de planeamento da produção A fábrica de Avintes da Barbosa e Almeida (BA) produz embalagens de vidro por injecção. A BA ganhou recentemente dois novos clientes e pretende afectar essa produção a um dos seus fornos. As encomendas foram de garrafas de Vinho do Porto Ruby Sandeman (75cl) e de garrafas de litro de azeite Oliveira da Serra. Ambos os clientes compram todas as garrafas que a BA conseguir fabricar. Devido a diferenças produtivas (número de cavidades e diferentes tempos de ciclo), cada lote de garrafas de Vinho do Porto demora 50 horas a produzir, enquanto que para produzir cada lote de garrafas de azeite apenas são necessárias 30 horas. Para satisfazer estas duas encomendas o forno tem disponíveis 2000 horas de laboração. Por outro lado, há restrições na capacidade de armazenamento das garrafas, antes da sua expedição. O armazém tem 300m 3 de espaço disponível e cada lote de garrafas de vinho do Porto ocupa 6m 3 de espaço no armazém, enquanto cada lote de garrafas de azeite ocupa 5m 3. Finalmente há ainda a considerar a capacidade disponível no sector de decoração (e.g. etiquetas, embalagem), que é de 200 horas de laboração. As garrafas de vinho do Porto gastam 3 horas por lote e as garrafas de azeite 5 horas por lote. O objetivo da Barbosa e Almeida é maximizar o lucro proveniente destas duas encomendas, sabendo que o lucro unitário de cada lote é de 50e e 60e, respectivamente.

3 Programação Linear Modelo Variáveis de decisão: x V P Número de lotes de garrafas de Vinho do Porto Ruby Sandeman a produzir x A Número de lotes de garrafas de Azeite Oliveira da Serra a produzir max Z = 50x V P + 60x A sujeito a: 50x V P + 30x A 2000 (tempo no forno) 6x V P + 5x A 300 (espaço no armazém) 3x V P + 5x A 200 (capacidade na decoração) x V P, x A 0 Neste modelo não vamos exigir que x V P e x A sejam inteiros.

4 Programação Linear Resolução gráfica Restrições ativas e restrições redundantes 80 X A 70 50X VP + 30X A = 2000 (restrição ativa) Sentido de crescimento de Z 60 Z = 50X VP + 60X A X VP = X VP + 5X A = 200 (restrição ativa) Tempo no Forno Espaço no armazém Capacidade na decoração Função objectivo X A =0 6X VP + 5X A = 300 (restrição redundante) X VP

5 Programação Linear Resolução gráfica Solução ótima X A X VP + 30X A = 2000 Z = 50X VP + 60X A 50x V P + 30x A = x V P + 5x A = 200 x V P = 25 x A = X VP + 5X A = X VP + 5X A = 300 Tempo no Forno Capacidade na decoração Espaço no armazém Função objectivo X VP Solução ótima: x V P = 25, x A = 25, Z = 2750 Solução ótima está necessariamente num vértice; Nenhuma solução dentro região admissível pode ser ótima porque o lucro pode crescer aumentando x V P, x A ou ambas.

6 Programação Linear Resolução gráfica Relação entre vértices e soluções básicas X A A B 50X VP + 30X A = 2000 U Tempo no forno D Z = 50X VP + 60X A C W X = (X VP; X A; Folga f ; Folga a ; Folga d ) A = (0; 40; 800; 100; 0) B = (0; 0; 2000; 300; 200) C = (40; 0; 0; 60; 80) D = (25; 25; 0; 25; 0) U = (10; 20; 900; 140; 70) W = (50; 0; -500; 0; 50) 3X VP + 5X A = 200 6X VP + 5X A = 300 Capacidade na decoração X VP Aos vértices da região admissível correspondem soluções básicas admissíveis. Aos outros vértices correspondem soluções básicas não admissíveis (variáveis com valor negativo). Aos pontos dentro da região admissível correspondem soluções não básicas. A, B, C e D são soluções básicas admissíveis; W é uma solução básica não admissível; U não é uma solução básica. Espaço no armazém Função objectivo Observação: Quando se passa de um vértice para um outro vértice adjacente, uma só variável básica passa a não básica e uma só variável não básica passa a básica.

7 Programação Linear Resolução gráfica Análise de sensibilidade Coeficientes da função objetivo X A X VP + 30X A = 2000 Z = 50X VP + 60X A 3X VP + 5X A = X VP + 5X A = 300 X VP Função objetivo com outro declive (ótimo salta de vértice em vértice). A solução ótima mantém-se inalterada enquanto o declive da função objetivo se mantiver entre o declive da restrição tempo no forno e o declive da restrição capacidade na decoração. Tempo no Forno Espaço no armazém Capacidade na decoração Função objectivo

8 Programação Linear Resolução gráfica Análise de sensibilidade Coeficientes da função objetivo Para determinar a variação do coeficiente de x V P (C V P x V P + 60x A ) podemos escrever as duas restrições ativas na solução ótima com coeficiente 60 em x A : 100x V P + 60x A 4000 (tempo no forno) 36x V P + 60x A 2400 (capacidade na decoração) Os coeficientes de x V P nas duas restrições serão então os valores limite para variação de C V P para que a solução ótima não mude. 36 C V P 100 Para determinar a variação do coeficiente de x A (50x V P + C A x A ) podemos escrever as duas restrições ativas na solução ótima com coeficiente 50 em x V P : 50x V P + 30x A 2000 (tempo no forno) 50x V P x A (capacidade na decoração) 3 Os coeficientes de x A nas duas restrições serão então os valores limite para variação de C A para que a solução ótima não mude. 30 C A 250 3

9 Programação Linear Resolução gráfica Análise de sensibilidade Coeficientes da função objetivo Note-se que em ambas as situações apresentadas, o valor inicial dos coeficientes está dentro do intervalo de variação calculado: 36 C V P (valor inicial 50) C A (valor inicial 60) E no caso em que os valores iniciais não estivessem contidos nesse intervalo? Que intervalos considerar nesse caso?

10 Programação Linear Resolução gráfica Análise de sensibilidade Lados direitos das restrições X A X VP + 30X A = b 1 Z = 50X VP + 60X A 3X VP + 5X A = X VP + 5X A = 300 Tempo no Forno Capacidade na decoração X VP Restrição ativa com outro declive (valor ótimo altera-se mas não muda de vértice). Alterar o lado direito de uma restrição (termo independente) faz a restrição deslocar-se para uma posição paralela. Espaço no armazém Função objectivo

11 Programação Linear Resolução gráfica Análise de sensibilidade Lados direitos das restrições Aumentar o número de horas disponíveis no tempo no forno (b 1 ) fará a reta deslocar-se para cima. Se a reta passar para além do ponto de interseção das restrições espaço no armazém e capacidade na decoração (ponto (x V P, x A ) = (33 1, 20)), a restrição 3 tempo no forno deixa de ser uma restrição ativa e o vértice ótimo muda. (33 1 3, 20) reta tempo no forno = b 1 b 1 = Diminuir o número de horas disponíveis no tempo no forno (b 1 ) fará a reta deslocar-se para baixo. Se a reta passar para além do ponto de interseção das restrições capacidade na decoração e x V P 0 (ponto (x V P, x A ) = (0, 40)), a restrição capacidade na decoração deixa de ser uma restrição ativa e o vértice ótimo muda. (0, 40) reta tempo da máquina = b 1 b 1 = 1200 Então, o vértice ótimo manter-se-à enquanto: 1200 b

12 Programação Linear Resolução gráfica Preços sombra das restrições O preço sombra associado a uma restrição representa a variação do valor da função objetivo por unidade de aumento no valor do lado direito da restrição. Ao preço sombra também se dá o nome de variáveis duais, valores marginais ou valores pi. Exemplo: Quanto aumentaria o lucro se se pudéssemos ter mais uma hora de laboração no sector da decoração (passar de 200 para 201 o lado direito da respectiva restrição)? Solução ótima: x V P 50x V P + 30x A = x V P + 5x A = 201 = , x A = , Z = x V P = x A = A restrição capacidade na decoração tem um preço sombra de

13 Programação Linear Resolução gráfica Preços sombra das restrições Notas: O preço sombra só se mantém enquanto não houver alteração do vértice ótimo (ver análise de sensibilidade aos lados direitos das restrições). O preço sombra de uma restrição não ativa é, obviamente, zero (porquê?).

14 Resolução gráfica de problemas de Programação Linear Solução ótima única max Z = 4x 1 + x 2 Z = 4 x 1 + x 2 0 x sujeito a: x 1 x 2 2 x 1 + 2x 2 8 x 1, x 2 0 x 1 - x 2 = 2 x 1 + 2x 2 = 8 x 1

15 Resolução gráfica de problemas de Programação Linear Solução ótima não única x Z = x 1 - x 2-30 max Z = x 1 x sujeito a: x 1 - x 2 = 2 x 1 x 2 2 x 1 + 2x 2 8 x 1, x 2 0 x 1 + 2x 2 = 8 x 1

16 Resolução gráfica de problemas de Programação Linear Solução ilimitada Z = 4 x 1 + x 2 0 x max Z = 4x 1 + x 2 sujeito a: x 1 - x 2 = 2 x 1 x 2 2 x 1, x 2 0 x 1

17 Resolução gráfica de problemas de Programação Linear Sem solução admissível x 2 max sujeito a: Z x 1 - x 2 = -5 x 1 x 2 5 x 1 + 2x 2 8 x 1, x 2 0 x 1 + 2x 2 = 8 x 1

18 Programação Matemática Consideramos modelos muito especiais de Programação Matemática: Todas as variáveis tomam valores em R ou em Z. Há só um objetivo a maximizar ou a minimizar. O objetivo e as restrições são lineares. Modelos de Programação Linear se todas as variáveis tomam valores em R. Modelos de Programação Inteira se todas as variáveis tomam valores em Z.

19 Programação Matemática: Conceitos Fundamentais Função objetivo min f(x) Restrições g i (X) 0 i {1,...,m} h i (X) = 0 i {1,...,l} Conjunto admissível Todos os pontos S R n que satisfazem as restrições. Solução admissível Qualquer X S é solução admissível. Solução ótima X S f(x ) f(x) X S

20 Programação Matemática Exemplo de Programação Não-Linear Curvas de nível de f x 2 (3, 6) min f(x) = (x 1 3) 2 + (x 2 6) 2 suj a : x 2 x x 2 + x 1 6 x 1, x 2 0 Conjunto admissível Sol: x 1 = 3 2, x 2 = 9 2, f = 9 2 x 1 x 2 = x 1 2 x 1 + x 2 = 6

21 Classificação dos modelos de Programação Matemática 1. Programação Linear vs Programação não linear. 2. Modelos estáticos (apenas um período de tempo) vs modelos de problemas em várias fases (múltiplos períodos de tempo): Programação Dinâmica. 3. Modelos determinísticos vs modelos estocásticos: a incerteza nos parâmetros é tratada através de distribuições de probabilidades Programação Estocástica. 4. Modelos paramétricos: variação sistemática dos parâmetros Programação Paramétrica. 5. Modelos contínuos vs modelos discretos ou inteiros (mistos): domínios das variáveis de decisão Programação Inteira. Modelos inteiros são de muito mais difícil resolução. A excepção são os modelos de fluxos em redes, que tendo uma estrutura especial, têm modelos de programação linear que resultam automaticamente em soluções ótimas inteiras.

22 Bibliografia Bradley, Hax, and Magnanti (1977). Applied Mathematical Programming. Addison-Wesley. Guimarães, Rui Campos (1983). Introdução à Programação Linear. FEUP. Hillier, Frederick S. e Lieberman, Gerald (1995). Introduction to Operations Research, Mc Graw-Hill. Ravindram, Philips e Solberg (1987). Operations Research, Principles and Practice. John Wiley & Sons. Taha, Hamdy A. (1997). Operations Research, an Introduction. Prentice Hall.